2025年九年级中考数学圆辅助圆与切线专题

初三数学圆辅助圆与切线专题 2025.04 题型一：辅助圆最值问题 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点，连接AD，当∠CBP＝∠BAD时，线段CD的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 3．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　） A．2﹣2 B． C．4 D．2 4．如图，点A是半径为8的圆O上一定点，点B是圆O上一动点，点P是弦AB的中点，则点B绕圆周运动一周，点P所经过的路径长为（　　） A．4 B．8 C．4π D．8π 5．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（　　） A． B．7﹣4 C． D．1 6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 　 　． 7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝　 　，CF的最小值是 　 　． 题型二：切线与面积问题 8．△ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若∠B＝20°，则∠C的大小等于（　　） A．50° B．25° C．40° D．20° 9．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，若点C在⊙O上，且不与A，B重合，则∠ACB的度数是 　 　． 10．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．若∠OBA＝30°，PA＝3，则AB的长为 　 　． 11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为 　 　． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弧CD＝弧BC，过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AB＝6，CD＝，求AD的长． 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC延长线于点E，若BC平分∠ACE． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径． 14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为，BD＝3，求CE的长． 15．如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上． （1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由； （2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分BC，BE平分∠ABC交AD于点E．点O在AB边上，以点O为圆心的⊙O经过B、E两点，交AB于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝60°，AC＝12，求阴影部分的面积． 参考答案与试题解析 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 1．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PBC＝∠PAB， ∴∠PAB+∠PBA＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小， ∵OC＝＝＝2， ∴PC的最小值为2﹣4， 故选：C． 2．【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠CBP＝90°， ∵∠CBP＝∠BAD， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝90°， 取AB的中点E，连接DE，CE， ∴DE＝AB＝4， ∴OC＝OB＝4， ∵CD≥CE﹣DE， ∴CD的最小值为4﹣4， 故选：D． 3． A．2﹣2 B． C．4 D．2 【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J． ∵∠BPE＝∠EOB， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O， ∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝3，AE：EB＝1：2， ∴BE＝2， ∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB， ∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°， ∴OQ＝1，OE＝2， ∵OJ⊥AD，OQ⊥AB， ∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°， ∴四边形AQOJ是矩形， ∴AJ＝OQ＝1， JO＝AQ＝2， ∵AD＝5， ∴DJ＝AD﹣AJ＝4， ∴OD＝＝＝2， ∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2， 故选：A． 4．【解答】解：连接OP，OA， ∵点P为AB的中点， ∴∠OPA＝90°， ∴点P在以OA为直径的圆上运动， ∵OA＝8， ∴点P的运动路径长为：2π×4＝8π， 故选：D． 5．【解答】解：如图，连接CE． ∵AP∥BC， ∴∠PAC＝∠ACB＝60°， ∴∠CEP＝∠CAP＝60°， ∴∠BEC＝120°， ∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动， 连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'． ∵∠BE'C＝120° ∴所对圆周角为60°， ∴∠BOC＝2×60°＝120°， ∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4， ∴O′B＝O′C＝4， ∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°， ∴∠ACO'＝90° ∴O'A＝＝5， ∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1． 故选：D． 6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 　　． 【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O， 连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF， ∵∠ACD＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∵OA＝OD， ∴△OAD为等边三角形， ∴OA＝OD＝OC＝AD＝2， ∴∠AFD＝90°，则DF＝， ∵EF是△AOC的中位线， ∴EF＝OC＝1， 在△DEF中，DF﹣EF≤DE， ∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为． ∴DE的最小值为． 7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝　120°　，CF的最小值是 　2　． 【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°， ∵BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE， 又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE， ∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC， ∴∠AFE＝60°， ∴∠AFB＝120°， ∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2）， 连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2． 故答案为：120°，2． 8．【解答】解：连接OA， ∵∠B＝20°， ∴∠AOC＝2∠B＝40°， ∵AC与圆相切于点A， ∴∠OAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣40°＝50°， 故选：A． 9．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，若点C在⊙O上，且不与A，B重合，则∠ACB的度数是 　55°或125°　． 【解答】解：连接OA、OB， ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∵∠P＝70°， ∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°， 当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝55°， 当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣55°＝125°， 则∠ACB的度数为55°或125°， 故答案为：55°或125°． 10．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．若∠OBA＝30°，PA＝3，则AB的长为 　3　． 【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，OB⊥PB， ∵∠OBA＝30°， ∴∠PBA＝90°﹣30°＝60°， ∴△PAB为等边三角形， ∴AB＝PA＝3， 故答案为：3． 11．【解答】解：假设AE与以BC为直径的半圆切于点F，则AB＝AF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°， ∴EC与BC为直径的半圆相切， ∴EC＝EF， ∴DE＝2﹣CE，AE＝2+CE， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，即（2+CE）2＝22+（2﹣CE）2， 解得：CE＝， ∴DE＝2﹣＝， ∴阴影部分的面积＝22﹣×π×12﹣×2×＝， 故答案为：． 12．【解答】（1）证明：连接OC，BD， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AE， ∵CE⊥AE， ∴BD∥CE， ∵＝， ∴OC⊥BD， ∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）作OF⊥AD于F，连接AC， ∵∠CEA＝∠EFO＝∠OCE＝90°， ∴四边形OFEC是矩形， ∴OF＝EC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2， ∴AC2＝62﹣， ∴AC＝， ∵∠ACB＝∠DEC，∠EDC＝∠ABC， ∴△CDE∽△ABC， ∴CE：AC＝CD：AB， ∴CE：＝：6， ∴CE＝， ∴OF＝CE＝， ∵AF2＝AO2﹣OF2， ∴AF2＝32﹣， ∴AF＝， ∴AD＝2AF＝． 13．【解答】（1）证明：连接OB， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠BCE＝∠OCB， ∴∠OBC＝∠BCE， ∴OB∥DE， ∵AC是⊙O直径， ∴AD⊥DE， ∵BE∥AD， ∴BE⊥DE， ∴OB⊥BE， ∵OB是⊙O半径， ∴BE是⊙O切线； （2）解：延长BO交AD于F， ∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°， ∴四边形BEDF是矩形， ∴BF⊥AD，DF＝BE＝3， ∴AD＝2DF＝6， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴AC2＝62+22＝40， ∴AC＝2， ∴⊙O的半径为． 【解答】 （1）证明：连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∴∠ACB＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD 即EF⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接AD， ∵AB是⊙O直径， ∴AD⊥BC， ∵DE⊥AC， ∴∠ADC＝∠DEC， ∵∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAD， ∴CD：CA＝CE：CD， ∵AB＝AC， ∴DC＝DB＝3， ∵AC＝AB＝7， ∴3：7＝CE：3， ∴CE＝． 15．【解答】解：（1）直线AD与圆O相切， 连接OA， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC， ∵AD＝AB， ∴∠D＝∠ABD， ∴∠DBC＝∠ABD＝30°， ∠BAD＝120°， ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABD＝30°， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∵OA是圆的半径， ∴直线AD与圆O相切， （2）连接OC，作OH⊥BC于H， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠BOC＝120°， ∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3， ∴BC＝2BH＝6， ∴扇形OBC的面积为：＝＝12π， ∵S△OBC＝BC•OH＝×6×3＝9， ∴阴影部分的面积为：12π﹣9． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分BC，BE平分∠ABC交AD于点E．点O在AB边上，以点O为圆心的⊙O经过B、E两点，交AB于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝60°，AC＝12，求阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OE，如图， ∵AB＝AC，AD平分BC， ∴AD⊥BC． ∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠EBO， ∵OE＝OB， ∴∠EBO＝∠BEO， ∴∠BEO＝∠DBE． ∴OE∥BC． ∴OE⊥AD． ∵OE是⊙O的半径， ∴AE是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC，AD平分BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠BAC＝30°， ∵OE⊥AD， ∴∠AOE＝90°﹣∠EAO＝60°． ∵∠EAD＝30°，OE⊥AD， ∴OE＝AO． 设圆的半径为r，则AO＝2r，AB＝AO+OB＝3r， ∵AB＝AC，AC＝12， ∴3r＝12， ∴r＝4． ∴AO＝8，OE＝4． ∴AE＝＝4． ∴S阴影＝S△OAE﹣S扇形OEF＝×4﹣＝8﹣π． $$