1.3 空间向量及其运算的坐标表示讲义-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第一册

§1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 考法1：空间直角坐标系及坐标表示 3 考法2：空间点的对称问题 7 考法3：空间向量的坐标运算 9 考法4：空间向量平行与垂直的坐标表示的应用 12 考法5：利用空间向量的坐标运算求模长 17 考法6：利用空间向量的坐标运算求夹角 22 1. 空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底,如图1-3-1.以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系. 2. 右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3. 空间直角坐标系中点的坐标表示 在空间直角坐标系中（图1-3-2），为坐标向量.对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标. 4. 空间向量运算的坐标表示 (1) 设，，则： ①. ②. ③. ④. ⑤共线：当时，，，或. ⑥ 垂直：. ⑦向量长度：，． ⑧向量夹角公式：. (2) 空间两点间的距离公式 若，是空间中任意两点，则 ，于是，. 考法1：空间直角坐标系及坐标表示 方法提炼 1. 确定空间任意一点的坐标的常用方法 (1) 垂面法:即找到点P在三条坐标轴上的投影。方法是过点P作三个平面分别垂直x轴、y轴、z轴于A,B,C三点(A,B,C即为点P在三条坐标轴上的投影),点A,B,C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为a,b,c,则(a,b,c)就是点P的坐标。 (2) 垂线段法:先将点P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上,得到点P1,由P,P1的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z,再在Oxy平面上确定点P1的横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z)。 2. 空间直角坐标系中的中点坐标公式： 若已知空间中两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB的中点P的坐标为. 【例1.1.】 已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.    (1)写出正方体各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标； 【答案】(1) (2)，， 【难度】0.85 【知识点】求空间图形上的点的坐标 【分析】（1）直接利用空间直角坐标系求出结果； （2）利用向量的坐标运算的应用求出结果； 【详解】（1）由题知 （2）因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，所以， 所以：，，． 【例1.2.】 如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求空间图形上的点的坐标 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体中，，，， 可得， 因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为. 故选：A. 【例1.3.】 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠CBB1=60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O—xyz，则点A1的坐标为（    ）    A．（，，1） B．（，2，） C．（，1，1） D．（，0，1） 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间图形上的点的坐标 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量相等的充要条件的应用及空间直角坐标系的应用求出结果. 【详解】三棱柱ABC-A1B1C1中, 因为侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠CBB1=60°，BC1交B1C于点O，所以为等边三角形，所以，.又因为AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，所以，所以点，点，点，设点，，，因为，所以，解得，，，故点的坐标为. 故选：C. 【例1.4.】 在长方体中，若向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在单位正交基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】根据向量的线性与空间向量的基本定理即可求解 【详解】因为， 所以向量在单位正交基底下的坐标为， 故选：B 【例1.5.】 （多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【分析】求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断． 【详解】在等边中，，所以，则，，则. 故选：ABC 【例1.6.】 在空间直角坐标系中，点A的坐标为，则A到平面xOy的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据空间直角坐标系即可得结果. 【详解】由题意可知：点A到平面xOy的距离为该点竖坐标的绝对值，即为3. 故选：C. 考法2：空间点的对称问题 方法提炼 空间中点的对称点有三类: (1) 关于原点对称的点,三个坐标均变为原数的相反数。 (2) 关于哪条坐标轴对称,相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数。 (3) 关于哪个坐标平面对称,点在这个平面上的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数。 简记为:关于谁对称,谁保持不变，其余坐标相反。 【例2.1.】 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】利用点关于轴对称的点的坐标是即可得出. 【详解】关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数， 所以点关于轴对称的点为. 故选：A． 【例2.2.】 已知点，点C与点A关于平面Oxy对称，点B与点A关于z轴对称，则线段BC的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间中两点间的距离 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征求得点B和C的坐标，再代入两点距离公式求解即可. 【详解】点，点C与点A关于平面Oxy对称，所以， 又点B与点A关于z轴对称，所以， 所以. 故选：D 【例2.3.】 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：B. 【例2.4.】 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系中，点在平面上射影点的坐标特点，即可确定在平面内射影坐标. 【详解】点在平面内射影，只需即可，∴在平面内射影的坐标为. 故选：C. 考法3：空间向量的坐标运算 【例3.1.】 已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量坐标运算求得答案. 【详解】空间向量， 所以. 故选：D 【例3.2.】 已知空间向量，，，若，，共面，则实数（   ） A．2 B．3 C．13 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解. 【详解】由空间向量，，共面，得，即， 则，解得. 故选：D. 【例3.3.】 在空间直角坐标系中，已知，若点在平面内，则 . 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【分析】由四点共面得到对应向量共面，建立等量关系，求得的关系式即可. 【详解】点在平面内，所以四点共面， 则， 所以， 所以，则，即， 所以满足即可 故答案为： 【例3.4.】 在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 【例3.5.】 已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 考法4：空间向量平行与垂直的坐标表示的应用 【例4.1.】 已知向量，，且与互相平行，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得，， 与互相平行， ，解得． 故选：B． 【例4.2.】 在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据三点共线，可得空间向量共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 解得． 故选：B. 【例4.3.】 向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，由，得，即， 因此，所以. 故选：B 【例4.4.】 已知长方体中，，，，，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：根据题意，如图，建立空间直角坐标系，因为，，， ，，，， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：C. 【例4.5.】 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（    ） A．存在点P满足 B．存在点P满足 C．满足的点P的轨迹长度为 D．满足的点P的轨迹长度为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决此题，对于A，利用两个特殊点求出的值，判断在此范围内即可；对于B，利用向量垂直数量积等于零解方程即可求点坐标；对于C，D利用向量垂直数量积等于零可求点的轨迹方程，根据图形找到点的轨迹求长度即可． 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则,0,，,0,，，,1,， 动点设为,1,， 对于A，点关于平面的对称点为， 当动点在点时，此时， 当动点在点时，此时， 所以存在点满足，所以A正确； 对于B，，， 若，则， 化简得：，解得，即， 满足题意，所以B正确； 对于C，，， 若，则，即， 取中点，中点，则点的轨迹为线段，长度为，所以C错误； 对于D，，， 若，则，即， 取中点，中点，则点的轨迹为线段，长度为，所以D正确． 故选：C． 【例4.6.】 在正方体中，已知、、、分别是、、和的中点． 证明：（1），； （2）平面. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，通过直线的方向向量共线，证得两条直线平行；通过直线的方向向量的数量积为零，证得两条直线垂直. （2）通过计算，，即证得，，从而证得平面. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则、、、、、、、，由中点性质得、，，. （1）则，，， 因为，， 所以，， 即，. （2）因为，，， ∴， ， ∴，. 又，所以平面. 考法5：利用空间向量的坐标运算求模长 【例5.1.】 已知，，则在方向上的投影向量的模长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】在方向上的投影向量的模长为. 故选：D 【例5.2.】 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】由已知可得，， 所以向量在向量上的投影向量是， 故选：D 【例5.3.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用空间向量的坐标运算求模即可. 【详解】由， 故选：C. 【例5.4.】 在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值. 【详解】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 【例5.5.】 如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】建立直角坐标系，求出相应点的坐标，设, 根据平行，可求得的坐标，进一步求出来结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为平面，所以可设，则， 由于，所以，，解得，， 所以，. 故选：A 【例5.6.】 在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、空间向量模长的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，设，，表达出，进而求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 过点作⊥于点，设，， 则，所以， 显然∽，故，即， 故，则， ， ， ， 故当时，取得最小值，最小值为 故选：B 【例5.7.】 如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间垂直的转化、空间向量模长的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，表示关于坐标的函数，再求函数的值域. 【详解】连接，在中，易得，． 以点为坐标原点，以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，． 设平面平面，因为，平面，平面， 所以平面，又因为平面平面，所以， 当时，可得点在平面内，可得，， 又，所以，，所以即为平面与平面所成角的平面角， 又因为平面平面，所以，所以，． 又因为，，即．， 当时，，其中； 当时，，其中； 的取值范围为， 故选：A． 考法6：利用空间向量的坐标运算求夹角 【例6.1.】 已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】由空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】设与的夹角为， 所以. 则与的夹角的余弦值为. 故选：A. 【例6.2.】 已知，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】 根据空间向量的平行、垂直关系求，再根据空间向量的坐标运算求夹角. 【详解】∵，∴，解得，即. 又∵，注意到，则，使得， ∴，解得，故. ∴， ∴，又， ∴. 故选：B. 【例6.3.】 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【详解】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A 【例6.4.】 已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)或； (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）首先设，再根据条件列出方程组，即可求解； （2）根据（1）的结果，确定向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）设，则由题可知， 解得或， 所以或． （2）因为向量与向量共线，所以． 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为． 【例6.5.】 如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】向量与几何最值、空间向量模长的坐标表示 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录 考法1：空间直角坐标系及坐标表示 3 考法2：空间点的对称问题 5 考法3：空间向量的坐标运算 6 考法4：空间向量平行与垂直的坐标表示的应用 7 考法5：利用空间向量的坐标运算求模长 8 考法6：利用空间向量的坐标运算求夹角 10 1. 空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底,如图1-3-1.以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系. 2. 右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3. 空间直角坐标系中点的坐标表示 在空间直角坐标系中（图1-3-2），为坐标向量.对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标. 4. 空间向量运算的坐标表示 (1) 设，，则： ①. ②. ③. ④. ⑤共线：当时，，，或. ⑥ 垂直：. ⑦向量长度：，． ⑧向量夹角公式：. (2) 空间两点间的距离公式 若，是空间中任意两点，则 ，于是，. 考法1：空间直角坐标系及坐标表示 方法提炼 1. 确定空间任意一点的坐标的常用方法 (1) 垂面法:即找到点P在三条坐标轴上的投影。方法是过点P作三个平面分别垂直x轴、y轴、z轴于A,B,C三点(A,B,C即为点P在三条坐标轴上的投影),点A,B,C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为a,b,c,则(a,b,c)就是点P的坐标。 (2) 垂线段法:先将点P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上,得到点P1,由P,P1的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z,再在Oxy平面上确定点P1的横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z)。 2. 空间直角坐标系中的中点坐标公式： 若已知空间中两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB的中点P的坐标为. 【例1.1.】 已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立空间直角坐标系，如图所示.    (1)写出正方体各顶点的坐标； (2)写出向量，，的坐标； 【例1.2.】 如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【例1.3.】 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠CBB1=60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O—xyz，则点A1的坐标为（    ）    A．（，，1） B．（，2，） C．（，1，1） D．（，0，1） 【例1.4.】 在长方体中，若向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在单位正交基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 在空间直角坐标系中，点A的坐标为，则A到平面xOy的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 考法2：空间点的对称问题 方法提炼 空间中点的对称点有三类: (1) 关于原点对称的点,三个坐标均变为原数的相反数。 (2) 关于哪条坐标轴对称,相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数。 (3) 关于哪个坐标平面对称,点在这个平面上的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数。 简记为:关于谁对称,谁保持不变，其余坐标相反。 【例2.1.】 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知点，点C与点A关于平面Oxy对称，点B与点A关于z轴对称，则线段BC的长为（   ） A． B．4 C． D． 【例2.3.】 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 考法3：空间向量的坐标运算 【例3.1.】 已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知空间向量，，，若，，共面，则实数（   ） A．2 B．3 C．13 D． 【例3.3.】 在空间直角坐标系中，已知，若点在平面内，则 . 【例3.4.】 在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 考法4：空间向量平行与垂直的坐标表示的应用 【例4.1.】 已知向量，，且与互相平行，则（   ） A．1 B． C． D．2 【例4.2.】 在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 【例4.3.】 向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知长方体中，，，，，若则（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．以下四个结论中错误的是（    ） A．存在点P满足 B．存在点P满足 C．满足的点P的轨迹长度为 D．满足的点P的轨迹长度为 【例4.6.】 在正方体中，已知、、、分别是、、和的中点． 证明：（1），； （2）平面. 考法5：利用空间向量的坐标运算求模长 【例5.1.】 已知，，则在方向上的投影向量的模长为（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【例5.3.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 如图，在长方体中，E，F，P分别是，，BD的中点，且，，Q是平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【例5.6.】 在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例5.7.】 如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 考法6：利用空间向量的坐标运算求夹角 【例6.1.】 已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例6.2.】 已知，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【例6.5.】 如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$