精品解析：山东省济南市章丘区2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

章丘区2024---2025学年度下学期期末考试 北师大版七年级数学下册测试题 本试题分选择题和非选择题两部分，选择题部分共40分，非选择题部分满分为110分，本试题满分合计150分，考试时间为120分钟，本次考试不允许使用计算器． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项最符合题目要求，请把它选出来．） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方以及同底数幂的乘法，运用相关运算法则计算出各项结果后再判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； B、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； C、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握利用平行线的性质求角度是解题的关键． 根据“两直线平行，同位角相等”，得出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，计算得出度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为（即）．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键， 根据科学记数法的表示方法，可表示为，从而得到答案． 【详解】解：， 故选：A. 5. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 6. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 太阳从东方升起 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D. 通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随件事件的概念、三角形的三边关系等知识点，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即为随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小来判断相应事件的类型即可解答． 【详解】解：A． 太阳从东方升起，此事件是必然发生的，即必然事件，不符合题意； B． 抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意； C． 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； D． 通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰，是必然事件，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，根据可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，， ， ， 或， 当时，，， ，， 解得，； 当时，，， ，， 解得，； 综上可知，点Q运动速度为或， 故选D． 8. 下列说法不成立的是（ ） A. 若，则 B. C. 等腰三角形两边分别为6和13，则其周长为25或32 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、等腰三角形的性质，A．等号的左右两边都展开，求出a即可；B．根据幂的运算进行计算即可；C．先判断是否构成三角形，再求周长；D．先变形再计算即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B．原式，故本选项不符合题意； C．∵， ∴不符合题意，故本选项符合题意； D．原式，故本选项不符合题意． 故选：C． 9. 如图，在中，，，．①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E；作射线交边于点D；②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线交AD于点F．则的面积为（ ） A. 1.15 B. 1 C. 0.8 D. 0.75 【答案】D 【解析】 【分析】由①可知AD为的角平分线，由②可知MN为AD的垂直平分线，然后由角平分线的性质和线段的垂直平分可知三角形BDF的面积与三角形ABC面积的关系，进而可得到答案． 【详解】解：由①可知AD为的角平分线， ∴点D到AB的距离与点D到AC的距离相等， ∴， 又， ∴， 由②可知MN为AD的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10. 已知：如图（1），长方形中，E是边上一点，且，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（ ） ①；②；③当时，为等腰三角形；④当时， A. ①③④ B. ①③ C. ①②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，由三角形面积公式求出，即可得到长，求出P在上运动的时间，从而求出a的值，求出P在上运动的时间是，即可求出b的值，，当时，由，得到，因此是等腰三角形，当时，求出，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当P在上时，的面积， ∴， ∴， ∴P在上运动的时间是， ∴，故①符合题意； ∵P在上运动的时间是， ∴，故②符合题意； 当时，如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③符合题意； 当时，P运动的路程是， ∴， ∴，故④不符合题意． ∴正确的是①②③． 故选：C． 非选择题共110分 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算及负整数指数幂运算等知识，先由条件得到，再由幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算恒等变形，再将代入，由负整数指数幂运算求解即可得到答案．熟记幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算及负整数指数幂运算等知识是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据图形和七巧板特点可得到阴影部分面积占正方形面积的，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如图所示： 阴影部分面积占正方形面积的， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在2×2的正方形网格中，则∠1＋∠2=________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】由题意得，，，用SAS可证明，根据全等三角形的性质和角之间的关系即可得． 【详解】解：由题意得，，， 在和中， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 14. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 15. 如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查三角形中的翻折变换，根据将、分别沿、向外翻折至、，可得是等腰直角三角形，要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高，根据，且，可得最小为6，即可得面积的最小值为． 【详解】解：∵将、分别沿、向外翻折至、， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高， ∵，且， ∴最小为，即的最小值为6， ∴面积的最小值为， 故答案为：18． 三、解答题（共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算、逆用积的乘方是解题的关键． 先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂、逆用积的乘方、绝对值，进一步计算乘方、乘法、加减计算即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，先利用平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式法则计算，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 18. 每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于今年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率； （2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，求商场这一个月里需支付此活动的费用． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查概率公式，有理数的混合运算，掌握概率公式是解答本题的关键． （1）利用概率公式可得答案． （2）求出邮票的费用，然后根据抽到的概率和奖励计算解答即可． 【小问1详解】 解：总共有8种等可能性的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种， ； 【小问2详解】 解：商场这一个月里需支付邮票的费用为：（元）， 抽到“圆周率”的总次数约为：（次）， 抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”的总次数约为：（次）， 抽到“莫比乌斯带”的总次数约为：（次）， 商场这一个月里需支付此活动的费用为：（元）． 19. 读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图（2），延长交于点． ∵（已知）， ∴（ ① ） 又∵（已知）， ∴ ② ，（ ③ ） ∴（ ④ ） ∴（ ⑤ ）（ ⑥ ） 又∵（已知）， ∴（ ⑦ ） ∴（ ⑧ ） 【答案】两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定推理证明是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，根据“同位角相等，两直线平行”，证明，结合已知，根据“两直线平行，同旁内角互补”、“同角的补角相等”，即可证明． 【详解】证明：如图（2），延长交于点， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 20. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． （1）的形状是______； （2）在图中画出与关于直线成轴对称的； （3）结合所画图形，在直线上画出点，使最小； （4）根据图形，求的面积． 【答案】（1）直角三角形 （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、作图—轴对称变换、割补法求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理逆定理计算即可得出答案； （2）根据轴对称的性质作出即可； （3）连接交直线于点，点即为所作； （4）利用割补法求三角形面积即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得：，，， ∴， ∴的形状是直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所作， ； 【小问3详解】 解：如图，点即为所作； 【小问4详解】 解：的面积． 21. 为测量一块区域间的距离，提供了以下方案：如图1，先在平地上取一个可直接到达的点，连接，并分别延长至点，延长至点，使，最后测出的长即为间的距离． （1）请你说说该方案可行的理由； （2）由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照题干的方案测出的长，但在图2中可测得，请据此求出间的距离． 【答案】（1）该方案可行，理由见解析 （2），之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）该方案是利用全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）延长，交于，根据平角的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，由知识窗求得，于是得到结论． 【小问1详解】 解：该方案可行，理由如下：； 在和中， ， ， ； 故该方案可行； 【小问2详解】 解：如图②，延长，交于， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知， 故，之间的距离为． 22. 2025端午节济南大明湖举行龙舟赛活动，参赛队伍有15支．设若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）甲队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ； （2）当 分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； （3）求出当甲、乙两队划行的路程相差100米时x的值． 【答案】（1）200米/分，300米/分，100米/分 （2）4 （3）1，3或5 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，一元一次方程，利用数形结合的思想解答和分类讨论的思想解答是解答本题的关键． （1）结合图象，利用速度等于路程除以时间，即可求出甲队的速度以及乙队在时和时的速度； （2）结合图象，可知在时间2分钟后，两者划行的路程相等，根据路程相等列方程求解即可； （3）结合图象，可知在和两个时间段内，都存在甲、乙两队划行的路程相差100米的情况，分两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，甲队划行的速度为：（米/分）； 当时，乙队划行的速度为：（米/分）； 当时，乙队划行的速度为：（米/分）； 故答案为：200米/分，300米/分，100米/分． 【小问2详解】 设时间为x时，甲、乙两队划行的路程相等， 由图象可知，在2分钟后，即划行600米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等， ， 解得， 即分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； 【小问3详解】 根据甲、乙的函数图象可知， ①当，乙比甲快，在时，两者划行的路程相差最大为(米)， 在存在一个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为x分，则， 解得，符合题意； ②当，由于在时，两者划行的路程相差为200米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在时，两者划行的路程相差为， 在存在两个时刻，两者划行的路程相差100米， 设时间为x分，则 或 解得或，符合题意； 综上所述，即当，3或5分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米． 23. 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法，我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是 ； 【拓展应用】 根据（1）中的等量关系及课本所学的知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) ，(2)3，(3)79． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）由，则，利用面积公式和完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：(1)由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积， ∴； (2)由（1）可得， ∵ ， ， ； (3) 设，则， ∵， ∴， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和为 ． 24. 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）略 （2）略 25. 【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 【答案】（1）；说明见详解（2），证明见详解（3），理由见详解 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，再利用全等三角形的性质以及线段的和差关系即可求解； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ∴，， ∵， ∴． （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 章丘区2024---2025学年度下学期期末考试 北师大版七年级数学下册测试题 本试题分选择题和非选择题两部分，选择题部分共40分，非选择题部分满分为110分，本试题满分合计150分，考试时间为120分钟，本次考试不允许使用计算器． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项最符合题目要求，请把它选出来．） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为（即）．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 下列事件中，属于随机事件的是（　　） A. 太阳从东方升起 B. 抛一枚硬币，正面朝上 C. 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D. 通常情况下，温度降到以下，纯净的水会结冰 7. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 下列说法不成立的是（ ） A. 若，则 B. C. 等腰三角形两边分别为6和13，则其周长为25或32 D. 9. 如图，在中，，，．①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，交于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点E；作射线交边于点D；②分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线交AD于点F．则的面积为（ ） A. 1.15 B. 1 C. 0.8 D. 0.75 10. 已知：如图（1），长方形中，E是边上一点，且，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（ ） ①；②；③当时，为等腰三角形；④当时， A. ①③④ B. ①③ C. ①②③ D. ①④ 非选择题共110分 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若，则_____． 12. 如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是______． 13. 如图，在2×2的正方形网格中，则∠1＋∠2=________． 14. ________． 15. 如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为________． 三、解答题（共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值： ，其中，． 18. 每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于今年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率； （2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，求商场这一个月里需支付此活动的费用． 19. 读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图（2），延长交于点． ∵（已知）， ∴（ ① ） 又∵（已知）， ∴ ② ，（ ③ ） ∴（ ④ ） ∴（ ⑤ ）（ ⑥ ） 又∵（已知）， ∴（ ⑦ ） ∴（ ⑧ ） 20. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． （1）的形状是______； （2）在图中画出与关于直线成轴对称的； （3）结合所画图形，在直线上画出点，使最小； （4）根据图形，求的面积． 21. 为测量一块区域间的距离，提供了以下方案：如图1，先在平地上取一个可直接到达的点，连接，并分别延长至点，延长至点，使，最后测出的长即为间的距离． （1）请你说说该方案可行的理由； （2）由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照题干的方案测出的长，但在图2中可测得，请据此求出间的距离． 22. 2025端午节济南大明湖举行龙舟赛活动，参赛队伍有15支．设若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）甲队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ； （2）当 分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； （3）求出当甲、乙两队划行的路程相差100米时x的值． 23. 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法，我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是 ； 【拓展应用】 根据（1）中的等量关系及课本所学的知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 24. 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 25. 【问题初探】 （1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明； 【变式探究】 （2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $