第三讲 一元二次方程根与系数的关系 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第三讲 一元二次方程根与系数的关系 【知识详解】 根与系数 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例分析】 【类型1】求解一元二次方程根与参数 【例1】已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【例2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这两个根的和是（    ） A．6 B．3 C． D． 【变式训练】 1．若x1、x2是x2+x﹣1＝0方程的两个不相等的实数根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．+1 B．﹣2 C．﹣2 D．0 2．若x1，x2是一元二次方程x2+ax﹣8=0的两个根，则x1•x2的值是（　　） A．a B．﹣a C．8 D．﹣8 3．若方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．7 B． C． D．2 4．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 5.【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（   ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 6. 已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 ． 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【类型2】利用根与系数关系的变形 【例1】若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D．6 【变式训练】 1．若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．已知方程的两根分别为和，则的值为 ． 3．，是方程的两个解，则 ． 4. 已知是方程的两个根，那么= ， ， ， 5. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）＝﹣6，则a的值为（　　） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10 【类型3】代数式变形求值 【例1】设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式训练】 1. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．18 B． C．20 D．22 2. 已知α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 3. 若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 4. 已知，是关于的方程的两个实数根，则的值为 ． 【类型4】方程根与系数综合应用 【例1】二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【例2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个实数根是2，求另一个实数根和k值． 【变式训练】 1. 关于x得一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围； (2)若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 2. 已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 3.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 一元二次方程根与系数的关系 【知识详解】 根与系数 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【典例分析】 【类型1】求解一元二次方程根与参数 【例1】已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是（  D  ） A．3 B． C． D． 【例2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则这两个根的和是（  A  ） A．6 B．3 C． D． 【变式训练】 1．若x1、x2是x2+x﹣1＝0方程的两个不相等的实数根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　D　） A．+1 B．﹣2 C．﹣2 D．0 2．若x1，x2是一元二次方程x2+ax﹣8=0的两个根，则x1•x2的值是（　D　） A．a B．﹣a C．8 D．﹣8 3．若方程有一个根是，则另一个根是（  A  ） A．7 B． C． D．2 4．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 -2 ． 5.【新考向】对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，， 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为； 丁：这个方程的解为， 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ C  ） A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁 6. 已知关于x的一元二次方程有两个同正的实数根，则m的取值范围是 -4 ． 7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ B  ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【类型2】利用根与系数关系的变形 【例1】若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（  C  ） A． B． C． D． 【例2】若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（  C  ） A．2 B． C．5 D．6 【变式训练】 1．若方程的两个根是和，则的值为（ C  ） A． B．1 C． D．2 2．已知方程的两根分别为和，则的值为 4 ． 3．，是方程的两个解，则 - ． 4. 已知是方程的两个根，那么= ， ， ， 5. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）＝﹣6，则a的值为（　C　） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10 【类型3】代数式变形求值 【例1】设m，n是方程的两个实数根，则的值为（  B ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式训练】 1. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ A ） A．18 B． C．20 D．22 2. 已知α，β是方程的两个实数根，则的值为 8 ． 3. 若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 4 ． 4. 已知，是关于的方程的两个实数根，则的值为 5 ． 【类型4】方程根与系数综合应用 【例1】二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（ C  ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【例2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个实数根是2，求另一个实数根和k值． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程得， 解得， ∴原方程为 设方程另一个根为t，则， ∴， ∴方程另一个根为，k的值为． 【变式训练】 1. 关于x得一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围； (2)若该方程有两个实数根、（）且，求m的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2. 已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． (3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ， 无论k为任意实数值方程，总有实数根． （2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根， ∴， ∵b、c为直角边，斜边长， ∴， ∴， ∴整理得， 解得，， ， 舍去， ∴， ∴的周长， ， （3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减， 解得：． 设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减， ∴解得， ∴． 又方程①的两根之积等于1， ∴也是方程①的根，则． 又， 两方程相减，得． 若，则方程①无实根， ∴， ∴． ∴， ∴， 由④得：． 又， 解得：，． 3.已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ 故无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：依题意， ∵， ∴， ∴， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $$