2.7 有理数的混合运算 讲义 2025-2026学年 苏科版七年级数学上册

2025-2026学年数学苏科版七年级上册 第二章 有理数 2.7 有理数的混合运算（讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解有理数混合运算的顺序规定。 2. 能够正确、熟练地进行有理数的混合运算。 3. 能运用有理数的混合运算解决简单的实际问题。 知识点梳理 1. 有理数混合运算的定义： 有理数的混合运算是指在一个算式中，含有加、减、乘、除、乘方（现阶段只学了正数和0的乘方，以及简单的负数乘方）等多种运算。 2. 有理数混合运算的顺序规定： （这是核心！必须牢记！） 进行有理数的混合运算时，应按照以下顺序进行： · 第一步：先算乘方（即求几个相同因数的积的运算，例如：2的3次方表示3个2相乘）。 · 第二步：再算乘除（乘法和除法是同级运算）。 · 第三步：最后算加减（加法和减法是同级运算）。 · 如果算式中有括号，要先算括号里面的。括号的顺序是：先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 · 对于同级运算（如只有乘除或者只有加减），要按照从左到右的顺序依次进行。 3. 运算中涉及的基本运算回顾： · 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 · 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 · 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 · 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 · 乘方法则：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。在 a 的 n 次方中，a 叫做底数，n 叫做指数。 4. 运算技巧与注意事项： · 在进行混合运算时，要认真审题，明确运算顺序，不要急于下笔。 · 可以根据运算顺序，将算式分成若干步进行计算，逐步得出结果，这样可以减少错误。 · 在每一步运算中，都要注意符号的确定。 · 灵活运用运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律）可以使运算简便，但要注意运算律的适用条件和范围，确保在符合运算顺序的前提下使用。 易错点提醒 1. 运算顺序错误：这是最常见的错误。例如，在没有括号的情况下，先算了加减，后算了乘除；或者在同级运算中没有从左到右依次进行。 2. 符号错误： · 忘记负数相乘或相除的符号法则（同号得正，异号得负）。 · 去括号时，如果括号前面是负号，括号内各项的符号没有全部改变。 · 负数的乘方运算符号容易出错，例如：(-2)的平方是4，而 -2的平方是 -4，注意底数是否包含负号。 3. 漏看或错看运算符号：例如，把“+”看成“-”，把“×”看成“÷”，或者漏掉某个数字前面的符号。 4. 乘方运算理解错误：例如，将 2的3次方错误地理解为 2×3。 5. 括号处理不当：多层括号时，容易混淆运算顺序；或者括号前面是减号或除号时，去掉括号后没有正确处理括号内的运算。 6. 计算不仔细：在进行具体的数字计算时，出现简单的加减乘除错误。 知识点总结 · 有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面的（小括号→中括号→大括号）。 · 关键：牢记运算顺序，细心处理符号，灵活运用运算律简化计算。 · 要求：在理解运算顺序的基础上，能够准确、熟练地进行有理数的混合运算，努力做到计算准确、过程简洁。 预习建议 1. 回顾旧知：复习有理数的加、减、乘、除、乘方的运算法则，确保对单一运算掌握熟练。 2. 认真阅读教材：仔细阅读课本中关于有理数混合运算的内容，重点理解运算顺序的规定，看懂例题的每一步骤及其依据。 3. 动手实践：尝试做教材中的“试一试”或课后练习题中较简单的题目，检验自己对运算顺序的理解和掌握程度。在做题时，严格按照运算顺序进行，步骤可以写得详细一些。 4. 标记疑问：预习过程中遇到不理解的地方或容易出错的地方，用红笔标记出来，带着问题听课，课堂上重点关注。 5. 总结反思：预习结束后，自己尝试总结一下有理数混合运算的要点和需要注意的地方，形成自己的知识框架。 巩固练习 一、选择题 1．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（　　） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 2．对有理数a，b，规定运算如下： 则-2⊗3的值为(　　) A．-10 B．-6 C．6 D．4 3．下列计算结果为正数的是 (　　) A． B． C． D． 4．书店有定价10元/本的某阅读书售卖，书店有两种促销方案，方案一：每买5本，赠送一本；方案二：一次性购买超过5本，每本打八五折出售；某班级需在此书店购进32本此阅读书，至少要花（　　）元． A．268 B．269 C．270 D．272 5．对于有理数a，b，定义一种新运算“☆”，规定：a☆b=（a+b）2÷（b-a），则2☆（-3）的值为 （　　） A． B． C．-5 D．5 6．规定，则的值等于（　　） A．5 B． C． D．或 7．我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示162颗的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．　 　；　 　． 9．有1、3、4、6四个数字，通过加、减、乘、除四则运算，可以使用括号，怎么样能得到24点　 　． 10．材料：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为．那么，　 　． 11．一个正方形的边长增加，则这个正方形的面积增加　 　． 12．有理数a，b，c在数轴上的位置如下图所示，则下列结论中正确的是　 　(填序号) ①a+b+c<0；②abc<0；③(a-b) ÷c<0；④<0 13．温度计有摄氏度和华氏度两种刻度，他们的换算关系是：摄氏度华氏度．今年夏天诸暨温度创历史新高，八月份气象台给出的最高气温达到摄氏度．如果改成华氏度数值则为　 　． 14．如图按下面的程序计算，如输入的数为40，则输出的结果为122，要使输出的结果为32，则输入的正数的所有值是　 　． 三、解答题 15．计算 16．计算： 17．甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山的速度是各自上山速度的1.5倍．而且甲比乙速度快，甲到达山顶时，乙离山顶160米，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰．那么山脚到山顶多少米？ 18． 十几年前我国曾经流行一种叫“二十四点”的数学趣味算题，方法是给出1~13之间的自然数，从中任取四个，将这四个数(四个数都只能用一次)进行“+”“一”“×”“÷”运算，可加括号使其结果等于24。 （1）例如：对1，2，3，4可运算(1+2+3)×4=24，也可以写成4×(1+2+3)=24，但视作相同的方法。 现在郑、付两名同学的手中分别握着四张扑克牌(见下图)；若红桃♥、方块◆上的点数记为负数，黑桃◆、梅花小上的点数记为正数，请你对郑、付两名同学的扑克牌按要求进行记数，并按前面“二十四点”的运算方式对郑、付两同学的记数分别进行列式计算，使其运算结果均为24。(写出一种即可) 依次记为：　 　。 依次记为：　 　。 （2）帮助郑同学列式计算：　 　。 （3）帮助付同学列式计算：　 　。 参考答案 1．A 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．； 9． 10．27 11． 12．①③ 13． 14．10，， 15．解：设 原式 16．解：设 则 a-b=1， ∴原式 17．解： （米） 答：山脚到山顶一共640米． 18．（1）-9，7，-6，2；7，-13，-5，3 （2）(-9+7-2)×(-6)=(-4)×(-6)=24. （3）[-5×(-13)+7]÷3=(65+7)÷3=72÷3=24 学科网（北京）股份有限公司 $$