微专题 解三角形中的中线、角平分线、高线问题学案 ——2025届高三数学二轮复习

微专题　解三角形中的中线、角平分线、高线问题 【高考·定位】 与三角形的中线、角平分线与高线有关的问题是高考的热点问题，解答此类问题一般在两个三角形内运用正、余弦定理，命题灵活，难度稍大． 【典例剖析】 题型一　解三角形中的中线问题 例1 (2024·四川泸州三模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝b2＋c2－48，且△ABC的面积为6. (1)求tan A的值； (2)若D是AC边的中点，B＝，求BD的长． 解：(1)由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－48，即bc cos A＝24， 由面积公式可得S△ABC＝bc sin A＝6，即bc sin A＝12， 则tan A＝. (2)由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos ＝a2＋c2－ac， 又a2＝b2＋c2－48，故a2＝a2＋c2－ac＋c2－48，即2c2＝ac＋48， 由面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝6，即ac＝24， 即有2c2＝24＋48＝72，即c＝6，故a＝4， 由D是AC边的中点，故， 故2＝2 cos )＝(a2＋c2＋ac) ＝×(16＋36＋24)＝19，即BD＝. 归纳总结：三角形中线的结论 在△ABC中，设D是BC的中点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)向量形式：(记忆核心技巧，结论不用记忆) 核心技巧：2＝＋. 结论：2＝ (b2＋c2＋2bccos A)． (2)角形式：∠ADB＋∠ADC＝π⇒cos∠ADB＋cos∠ADC＝0， (在△ADB中有：cos∠ADB＝ 在△ADC中有：cos∠ADC＝)． (3)边的关系： 对点训练1： 记△ABC的内角∠BAC，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知2b cos B cos 2C＝a－2c cos C cos 2B. (1)求∠BAC； (2)若b＋c＝8，且边BC上的中线AD＝，求△ABC的面积． 解：(1)由已知条件及正弦定理，得2sin B cos B·cos 2C＝sin ∠BAC－2sin C cos C cos 2B. 整理，得sin 2B cos 2C＋sin 2C cos 2B＝sin ∠BAC，即sin (2B＋2C)＝sin ∠BAC. 又∠B＋∠C＝π－∠BAC， 所以－sin 2∠BAC＝sin ∠BAC， 即－2sin ∠BAC cos ∠BAC＝sin ∠BAC. 因为sin ∠BAC≠0，所以cos ∠BAC＝－. 又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝. (2)由题意得，2， 所以4，即19＝c2＋b2＋2cb cos ＝(b＋c)2－3bc＝64－3bc，所以bc＝15. 故S△ABC＝bc sin ∠BAC＝×15×sin . 题型二　解三角形中的角平分线问题 例2 （2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【解析】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 归纳总结：角平分线的结论 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)内角平分线定理：或. (2)等面积法： S△ABC＝S△ABD＋S△ADC⇒AB×AC×sin A＝AB×AD×sin AC×AD×sin . (3)角形式：∠ADB＋∠ADC＝π⇒cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0 在△ADB中有：cos ∠ADB＝； 在△ADC中有：cos ∠ADC＝. 对点训练2：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝2，AD＝1，AC＝4，求： (1)BD的长； (2)△ABC的面积． 解：(1)法一：设∠BAC＝2θ，则∠BAD＝∠CAD＝θ. 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，得AB·AD sin θ＋AC·AD sin θ＝AB·AC sin 2θ， 所以×2×1×sin θ＋×4×1×sin θ＝×2×4×sin 2θ，得cos θ＝， 故BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos θ＝22＋12－2×1×2×， 所以BD＝. 法二：由角平分线定理知，不妨设BD＝x，则DC＝2x. 由∠BAD＝∠CAD可知cos ∠BAD＝cos ∠CAD， 即，解得x＝(负值舍去)，即BD＝. (2)法一：由(1)中法一知cos θ＝，所以sin θ＝， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×，所以S△ABC＝AB·AC sin 2θ＝； 法二：由(1)中法二知BC＝3x＝ 在△ABC中，cos ∠BAC＝， sin ∠BAC＝，所以S△ABC＝AB·AC sin ∠BAC＝. 题型三　解三角形中的高线问题 例3 （2023年新课标全国Ⅰ卷T17）已知在中，． (1) 求； (2)设，求边上的高． 【解析】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 归纳总结：高线的结论： 1、高线的两个作用：（1）产生直角三角形； （2）与三角形的面积有关 2、高的性质：h1，h2，h3分别为△ABC中边a，b，c上的高， 则h1∶h2∶h3＝∶∶∶∶. 3、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． 对点训练3：(2024·河南南阳一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a cos B＝2c. (1)证明：tan A＝2tan B； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D，且|BD|＝|CD|，求cos ∠ACB的值． 解：(1)证明：因为3a cos B＝2c， 则由正弦定理得3sin A cos B＝2sin C， 所以3sin A cos B＝2sin (A＋B)＝2sin A cos B＋2sin B cos A， 整理得sin A cos B＝2sin B cos A， 所以tan A＝2tan B． (2)如图所示， 由题意知，在Rt△ADC中，tan A＝， 在Rt△BDC中，tan B＝， 由(1)知，tan A＝2tan B，所以，即BD＝2AD， 所以BD＝c， 所以在Rt△BDC中，BC＝c，在Rt△ADC中，AC＝c， 所以在△ABC中，由余弦定理得cos ∠ACB＝. 故cos ∠ACB的值为. 【课后练习】 1、在△ABC中，角ABC的对边分别abc，已知，点M是BC的中点. （1）求A的值； （2）若，求中线AM长度的最大值. 答案：（1）；（2） 2、已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝8，，且a≠c. (1)求证：B＝2C； (2)已知点M在线段AC上，且∠ABM＝∠CBM，求BM的取值范围． 解：(1)证明：因为， 即，由正弦定理可得， 又a≠c，即a－c≠0，所以，整理得b2＝c2＋ac， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cosB，整理得c＝a－2c cos B， 由正弦定理得sin C＝sin A－2sin C cos B， 故sin C＝sin (B＋C)－2sin C cos B， 即sin C＝sin B cos C＋sin C cos B－2sin C cos B， 整理得sin C＝sin (B－C)， 又因为△ABC为锐角三角形，则C∈，B∈，可得B－C∈，所以C＝B－C，即B＝2C. (2)因为点M在线段AC上，且∠ABM＝∠CBM，即BM平分∠ABC， 又B＝2C，所以∠C＝∠CBM，则∠BMC＝π－C－∠CBM＝π－2C， 在△MCB中，由正弦定理得， 所以BM＝，因为△ABC为锐角三角形，且B＝2C，所以解得<C<. 故<cos C<，所以<BM<4. 因此线段BM长度的取值范围. 3、在△ABC中，BC＝5，AC＝6，cos B＝. (1)求AB的长； (2)求AC边上的高． 解：(1)由题意，a＝5，b＝6，cos B＝，由余弦定理得， ∴，解得c＝4，即AB＝4. (2)在△ABC中，cos B＝，∴sin B＝，设AC边上的高为h， 则ac sin B，即6h＝5×4×，解得h＝.所以AC边上的高为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题　解三角形中的中线、角平分线、高线问题 【高考定位】 与三角形的中线、角平分线与高线有关的问题是高考的热点问题，解答此类问题一般在两个三角形内运用正、余弦定理，命题灵活，难度稍大． 【典例剖析】 题型一　解三角形中的中线问题 例1 (2024·四川泸州三模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2＝b2＋c2－48，且△ABC的面积为6. (1)求tan A的值； (2)若D是AC边的中点，B＝，求BD的长． 【归纳总结】三角形中线的结论： 在△ABC中，设D是BC的中点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)向量形式：(记忆核心技巧，结论不用记忆) 核心技巧：2＝＋. 结论：2＝ (b2＋c2＋2bccos A)． (2)角形式：∠ADB＋∠ADC＝π⇒cos∠ADB＋cos∠ADC＝0， (在△ADB中有：cos∠ADB＝ 在△ADC中有：cos∠ADC＝)． (3) 边的关系： 对点训练1： 记△ABC的内角∠BAC，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知2b cos B cos 2C＝a－2c cos C cos 2B. (1)求∠BAC； (2)若b＋c＝8，且边BC上的中线AD＝，求△ABC的面积． 题型二　解三角形中的角平分线问题 例2 （2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【归纳总结】角平分线的结论 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)内角平分线定理：或. (2)等面积法： S△ABC＝S△ABD＋S△ADC⇒AB×AC×sin A＝AB×AD×sin AC×AD×sin . (3)角形式：∠ADB＋∠ADC＝π⇒cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0 在△ADB中有：cos ∠ADB＝； 在△ADC中有：cos ∠ADC＝. 对点训练2：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝2，AD＝1，AC＝4，求： (1)BD的长； (2)△ABC的面积． 题型三　解三角形中的高线问题 例3 （2023年新课标全国Ⅰ卷T17）已知在中，． (1) 求； (2)设，求边上的高． 【归纳总结】高线的结论： 1、高线的两个作用：（1）产生直角三角形； （2）与三角形的面积有关 2、高的性质：h1，h2，h3分别为△ABC中边a，b，c上的高， 则h1∶h2∶h3＝∶∶∶∶. 3、 求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度． 对点训练3：(2024·河南南阳一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a cos B＝2c. (1)证明：tan A＝2tan B； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D，且|BD|＝|CD|，求cos ∠ACB的值． 【课后练习】 1、在△ABC中，角ABC的对边分别abc，已知，点M是BC的中点. （1）求A的值； （2）若，求中线AM长度的最大值. 2、已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝8，，且a≠c. (1)求证：B＝2C； (2)已知点M在线段AC上，且∠ABM＝∠CBM，求BM的取值范围． 3、在△ABC中，BC＝5，AC＝6，cos B＝. (1)求AB的长； (2)求AC边上的高． 学科网（北京）股份有限公司 $$