2026届高三物理一轮复习讲义第五章第1讲：功与功率

第五章 机械能守恒定律 第1讲　功与功率 【复习目标】 1.理解功的概念，会判断正、负功，会计算功的大小。 2.理解功率的概念，会求解平均功率和瞬时功率。 3.会分析、解决机车启动的两类问题。 【考点突破】 考点一　恒力做功的分析和计算 【知识梳理】 1.判断力是否做功及做正、负功的方法 判断根据 适用情况 根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断 根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动 根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断 2.恒力做功的计算方法 (1)恒力做的功 直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。 (2)合力做的功 方法一:先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。 方法二:先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 方法三:利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化量。 【典例剖析】 例1 (多选)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，则(　　) A.斜面对物体的支持力做功900 J B.斜面对物体的摩擦力做功－300 J C.物体克服重力做功－800 J D.合外力对物体做功400 J 答案　AD 解析　物体置于升降机内随升降机一起匀加速运动过程中，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcos θ－mg＝ma，代入数据解得Ff＝15 N，FN＝15 N，又x＝at2＝40 m，斜面对物体的支持力所做的功WN＝FNxcos θ＝900 J，故A正确;斜面对物体的摩擦力所做的功Wf＝Ffxsin θ＝300 J，故B错误;物体所受重力做的功WG＝－mgx＝－800 J，则物体克服重力做功800 J，故C错误;合外力对物体做的功W合＝WN＋Wf＋WG＝400 J，故D正确。 【即时训练】 1.(2025·东北三省高三大联考)如图所示，倾角为θ＝37°的斜面固定在水平桌面上，用平行斜面向上的推力F1将位于斜面底端的物块推到斜面顶端，推力F1做的功至少为W0。已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，若用水平向左的推力F2将物块推到顶端，推力F2做的功至少为(　　) A.1.2W0 B.1.4W0 C.1.6W0 D.1.8W0 答案　C 解析　对物块做功最少，物块应从斜面底端缓慢运动到斜面顶端，用平行斜面向上的推力将位于斜面底端的物块推到斜面顶端，对物块受力分析如图甲所示，根据平衡条件可得F1＝mgsin θ＋μmgcos θ＝mg，设斜面的长度为L，则W0＝F1L＝mgL;水平推物块时受力分析如图乙所示，根据平衡条件可得F2cos θ＝mgsin θ＋μ(F2sin θ＋mgcos θ)，解得F2＝＝2mg，则W＝F2Lcos θ＝1.6mgL＝1.6W0，故C正确。 考点二　变力做功的分析和计算 【知识梳理】 变力做功常见的五种计算方法 方法 情境说明 方法总结 微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效 转换 法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功为 W＝F· 平均 力法 弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝Δx＝·(x2－x1) 图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功 动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ) 【典例剖析】 例2 (多选)小刘驾驶的汽车后面用水平的绳子系着一质量为m的箱子，已知箱子与水平地面之间的摩擦因数为μ。从某位置开始，汽车拉着箱子在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，经时间T，箱子第一次回到该位置，重力加速度为g，忽略空气的阻力、绳子重力。则下列说法正确的是(　　) A.绳子的拉力与摩擦力的方向相反 B.摩擦力对箱子做的功为零 C.摩擦力对箱子做的功为－2πμmgR D.箱子转动一圈克服摩擦力做功的平均功率为 答案　CD 解析　由题意可知，箱子在水平面内做圆周运动，则摩擦力与拉力的合力提供向心力，受力分析如图所示，显然绳子的拉力与摩擦力不在一条直线上，A错误;箱子做圆周运动的过程中，摩擦力的方向始终与运动方向相反，所以摩擦力为变力，因此求摩擦力做的功时可用微元法，即将轨迹分割成若干微元，有W1＝－μmg·ΔL1、W2＝－μmg·ΔL2、…、Wn＝－μmg·ΔLn，则Wf＝W1＋W2＋…＋Wn＝－μmgL(L为总路程)，L＝2πR，解得Wf＝－2πμmgR，C正确;箱子克服摩擦力做功的平均功率为P＝，D正确。 【即时训练】 2.如图所示，汽车通过细绳跨过固定在天花板上的光滑的轻质定滑轮牵引着箱子匀速上升，某时刻拴接在汽车上的细绳与竖直方向的夹角为30°，经过一段时间细绳与竖直方向的夹角为45°，已知滑轮的大小可忽略不计，拴接在汽车上的点到滑轮的高度为h，重力加速度为g。则该过程汽车克服绳子的拉力做的功为(　　) A.mgh B.mgh C.mgh D.mgh 答案　D 解析　由几何关系可知该过程箱子上升的高度为Δh＝h，箱子匀速上升，绳子对箱子的拉力大小为F＝mg，则该过程中绳子的拉力对箱子所做的功为W＝F·Δh，解得W＝mgh，所以汽车克服绳子的拉力做的功为mgh，D正确。 3.(2024·广东深圳模拟)如图甲所示，静止于光滑水平面上的小物块，在水平拉力F的作用下从坐标原点O开始沿x轴正方向运动，F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线右半部分为四分之一圆弧，则小物块运动到2x0处时的动能可表示为(　　) A.0 B.Fmx0(1＋π) C.Fmx0 D.Fmx0 答案　C 解析　F－x图线与x轴所围的面积表示拉力F做功的大小，可知F做功的大小W＝Fmx0＋πFmx0，根据动能定理得，Ek＝W＝Fmx0，故C正确。 考点三　功率的分析与计算 【知识梳理】 1.平均功率的计算方法 (1)利用。 (2)利用＝F cos α，其中为物体运动的平均速度。 2.瞬时功率的计算方法 (1)直接代公式P＝Fvcos α计算，其中v为物体的瞬时速度。 (2)先分解再计算，P＝FvF，其中vF为物体的瞬时速度v在力F方向上的分速度;或者P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在瞬时速度v方向上的分力。 【典例剖析】 例3 (2024·浙江6月选考，5)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10 －4 m2，喷水速度约为10 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为(　　) A.10 W B.20 W C.100 W D.200 W 答案　C 解析　 P＝ρSv3P≈100 W，C正确。 【即时训练】 4.(多选)(2025·福建三明高三期中)如图所示，同一高度处有4个质量相同且可视为质点的小球，现使小球A做自由落体运动，小球B做平抛运动，小球C做竖直上抛运动，小球D做竖直下抛运动，且小球B、C、D抛出时的初速度大小相同，不计空气阻力。小球从释放或抛出到落地的过程中(　　) A.重力对4个小球做的功相同 B.重力对4个小球做功的平均功率相等 C.落地前瞬间，重力对4个小球做功的瞬时功率大小关系为PA＝PB<PC＝PD D.重力对4个小球做功的平均功率大小关系为> 答案　AC 解析　4个质量相同的小球从同一高度释放或抛出到落地的过程中，重力做功为WG＝mgh，故重力对4个小球做的功相同，故A正确;小球A做自由落体运动，小球B做平抛运动，小球C做竖直上抛运动，小球D做竖直下抛运动，小球从同一高度抛出到落地，运动时间关系为tD<tA＝tB<tC，重力对4个小球做功的平均功率为，可得重力对4个小球做功的平均功率大小关系为>>，故B、D错误;落地前瞬间，4个小球竖直方向有＝2gh，＝2gh，＝2gh，＝2gh，4个小球竖直方向的速度关系为vyA＝vyB<vyC＝vyD，落地前瞬间，重力对4个小球做功的瞬时功率P＝mgvy，可得PA＝PB<PC＝PD，故C正确。 考点四　机车启动问题 【知识梳理】 模型1:以恒定功率启动 模型2:以恒定加速度启动 【典例剖析】 角度1　恒定功率启动 例4 (2025·广东佛山模拟)国际联运列车从开通至今已经完成2万多次运输。列车采用内燃加锂电池的混合动力电传动方式进行驱动，整车最大功率为750 kW，行驶过程中受到的阻力恒定，速度最高为108 km/h，已知列车的总质量为5×104 kg，列车以最大功率启动，下列说法正确的是(　　) A.行驶过程中列车受到的阻力为2.5×104 N B.以最大速度行驶时，列车1小时内通过的位移一定是108 km C.列车以15 m/s的速度行驶时加速度是1 m/s2 D.列车加速过程中的平均速率是15 m/s 答案　A 解析　当列车匀速行驶时，所受的牵引力等于阻力，即P＝fvmax，解得行驶过程中列车受到的阻力为f＝ N＝2.5×104 N，故A正确;以最大速度行驶时，列车1小时内通过的路程是108 km，但位移不一定是108 km，故B错误;当列车以v1＝15 m/s行驶时，对列车由牛顿第二定律有F1－f＝ma，其中P＝F1v1，联立解得a＝0.5 m/s2，故C错误;作出列车运动的v－t图像如图所示，列车加速过程中的平均速率>＝15 m/s，故D错误。 角度2　恒定加速度启动 例5 (2025·湖南长沙模拟)一辆质量为m的小汽车在水平地面上由静止开始运动，其功率随速度的变化关系如图所示，其中AB段平行于v轴，汽车匀速运动阶段的速度为vB。根据图像，下列说法正确的是(　　) A.速度增大到vA的过程中，汽车的加速度逐渐减小，当v＝vA时，a＝0 B.汽车与地面间的摩擦力大小为Ff＝ C.在OA段汽车的位移为x1＝ D.若AB段汽车的位移为x，则AB段汽车运动的时间t＝ 答案　C 解析　P－v图像斜率表示牵引力，速度增大到vA的过程中，汽车的牵引力不变，加速度不变，故A错误;汽车匀速运动阶段的速度为vB，此时牵引力等于摩擦力，汽车与地面间的摩擦力大小为Ff＝，故B错误;在OA段汽车为匀加速启动，在A点功率为额定功率，牵引力为匀加速运动的牵引力，故匀加速阶段的牵引力为F1＝，a＝＝2ax1，联立得x1＝，故C正确;根据动能定理有P0t－Ffx＝mm，得t＝，故D错误。 【解题妙招】 掌握三个重要关系式 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力大小F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝<vm＝。 (3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的时间或位移等。 【即时训练】 5.(2024·辽宁辽阳一模)一电动玩具汽车启动时，以额定功率沿直线加速并达到最大速度，其加速度a与速度倒数的关系图像如图所示。已知电动玩具汽车受到的阻力大小恒为100 N，重力加速度大小g＝10 m/s2。则电动玩具汽车的额定功率和最大速度分别为(　　) A.200 W　2 m/s B.100 W　4 m/s C.100 W　2 m/s D.200 W　4 m/s 答案　A 解析　设电动玩具汽车的额定功率为P，受到的阻力大小为f，根据牛顿第二定律可得F－f＝ma，又P＝Fv，联立可得a＝·，根据a－图像可得＝2 m/s2， m2/s3＝4 m2/s3，解得P＝200 W，当牵引力等于阻力时，速度达到最大，则有vm＝＝2 m/s，故A正确。 【限时训练】（40min） 1.2024年元旦期间，哈尔滨文旅火爆出圈，南方的小伙伴纷纷赶往哈尔滨体验冰雪盛宴。如图所示为狗拉雪橇的娱乐项目，坐在雪橇上的同学与雪橇的总质量为m，狗拉着雪橇沿水平地面向左移动了一段距离L，假定狗对雪橇的拉力F为恒力且与水平方向成θ角斜向上。已知雪橇与雪地间的动摩擦因数为μ，雪橇受到的(　　) A.支持力做功为mgL B.合外力做功为mgL C.拉力做功为FLcos θ D.滑动摩擦力做功为－μmgL 答案　C 解析　支持力做功为零，A错误;拉力做功为WF＝FLcos θ，C正确;滑动摩擦力做功为Wf＝－μ(mg－Fsin θ)L，D错误;合外力做功为W合＝WF＋Wf＝FLcos θ－μ(mg－Fsin θ)L，B错误。 2.(2024·黑龙江大庆模拟预测)如图所示，质量为m的物块置于倾角为θ的斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左匀加速运动一段距离，运动中物块与斜面体始终相对静止。关于物块，下列说法正确的是(　　) A.摩擦力一定不做功 B.摩擦力一定做负功 C.支持力一定做正功 D.合外力做功可能为零 答案　C 解析　当物块与斜面间的摩擦力为零时，则mgtan θ＝ma0，即a＝a0＝gtan θ时，物块与斜面之间无摩擦力，此时摩擦力不做功;若a>gtan θ，物块受摩擦力沿斜面向下，此时摩擦力与位移夹角小于90°，摩擦力做正功;若a<gtan θ，物块受摩擦力沿斜面向上，此时摩擦力与位移夹角大于90°，摩擦力做负功，故A、B错误;支持力方向与斜面垂直，与位移夹角小于90°，则支持力一定做正功，故C正确;合外力为ma不为零，方向水平，可知合外力做功不可能为零，故D错误。 3.如图所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离s，此时物块刚好滑到小车的左端。物块与小车间的摩擦力为Ff，在此过程中(　　) A.摩擦力对小物块做的功为Ffs B.摩擦力对系统做的总功为0 C.力F对小车做的功为FL D.小车克服摩擦力所做的功为Ffs 答案　D 解析　由题意知，小物块对地的位移方向向右，大小为s－L，小物块受到的摩擦力方向水平向右，则摩擦力对小物块做的功为W1＝Ff(s－L)，故A错误;小物块相对于小车的位移大小为L，则摩擦力对系统做的总功为－FfL，故B错误;小车对地位移大小为s，则力F对小车做的功为Fs，故C错误;小车受到的摩擦力方向水平向左，位移方向向右，大小为s，则小车克服摩擦力所做的功为Ffs，故D正确。 4.(2024·安徽卷，2)某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v，已知人与滑板的总质量为m，可视为质点，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为(　　) A.mgh B.mv2 C.mgh＋mv2 D.mgh－mv2 答案　D 解析　人在下滑的过程中，由动能定理可得mgh－Wf＝mv2－0，可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为Wf＝mgh－mv2，故D正确。 5.(多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Flcos α求得，公式中力F必须是恒力，而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　　) A.甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的为W＝F(lOA－lOC) B.乙图中，全过程中F做的总功为72 J C.丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf D.图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ 答案　AB 解析　等效转换法:甲图中因力对绳做的功等于绳对物块做的功，则物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)，故A正确。 提示:轻绳对物块的拉力一直在变化，但轻绳拉力大小不变，可将变力做功问题转化为恒力做功来处理，轻绳对物块拉力做的功和恒力F做的功相等。 图像法:乙图中，F－x图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B正确。 微元法:丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，方向始终与运动方向相反，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf，故C错误。 动能定理法:图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W＝Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做功，故D错误。 6.(2025·河南信阳一模)如图所示，用一个大小不变的力F拉着滑块(视为质点)使其沿半径为R的水平圆轨道匀速运动半周，若力F的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成60°夹角，则力F做的功为(　　) A. B.2FR C.FR D.FπR 答案　A 解析　将力F分解为切线方向和径向方向两个分力，其中径向方向始终与速度方向垂直，不做功，切线方向分力始终与速度方向相同，则滑块匀速运动半周，力F做的功为W＝Fcos 60°·πR＝，故A正确。 7.(2024·江西卷，5)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为(　　) A.109 W 　　B.107 W C.105 W 　　D.103 W 答案　B 解析　发电功率P＝η，由于W＝mgh，m＝ρV，Q＝，所以P＝＝ηρQgh，代入数据解得P≈107 W，B正确。 8.(2023·山东卷，4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下:两个半径约为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动，每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　) A. B. C. D.nmgωRH 答案　B 解析　由题知，水轮转一圈灌入农田的水的总质量为m总＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，筒车对灌入稻田的水做功的功率为P＝，又T＝，联立解得P＝，故B正确。 9.复兴号动车实现了速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变。动车在时间t内(　　) A.做匀加速直线运动 B.牵引力的功率P＝fvm C.当动车速度为时，其加速度为 D.牵引力做功W＝mm 答案　B 解析　动车以恒定功率启动，由P＝F牵v可知动车的速度增大，则牵引力减小，由牛顿第二定律得F牵－f＝ma，可得动车的加速度逐渐减小，A错误;当动车的加速度为零时，即牵引力等于阻力时，动车的速度最大，则P＝fvm，B正确;当动车速度为时，牵引力为F牵'＝＝3f，根据牛顿第二定律可得F牵'－f＝ma1，则此时其加速度为a1＝，C错误;设动车在时间t内的位移为x，由动能定理得W－fx＝mm，则牵引力所做的功为W＝fx＋mm，D错误。 10.(多选)(2025·湖南长沙高三月考)一辆质量m＝2.0×103 kg的无人萝卜车，以v＝36 km/h的速度在平直路面上匀速行驶，此过程中发动机功率P1＝12 kW。当系统探测到前方有障碍物时，主动刹车系统立即撤去发动机驱动力，同时施加制动力使车辆减速。在制动过程中，系统提供的制动功率P2＝24 kW，萝卜车经过x＝ m停下来，不计传动装置和热损耗造成的能量损失，下列说法正确的是(　　) A.萝卜车匀速行驶过程中所受的阻力大小为800 N B.萝卜车刚进入制动状态的瞬间，其所受合力大小为4 800 N C.制动过程萝卜车的速度为5 m/s时，加速度大小为3 m/s2 D.萝卜车从刹车到停止经历的时间为3.2 s 答案　CD 解析　萝卜车匀速行驶过程中所受的阻力大小为f＝＝1 200 N，故A错误;萝卜车刚进入制动状态的瞬间，主动刹车系统提供的制动力大小为F＝＝2 400 N，萝卜车刚进入制动状态的瞬间，其所受合力大小为F合＝F＋f＝3 600 N，故B错误;萝卜车的速度为5 m/s时，主动刹车系统提供的制动力大小为F'＝＝4 800 N，加速度为a'＝＝3 m/s2，故C正确;刹车过程，根据动能定理有－P2t－fx＝0－mv2，解得t＝3.2 s，故D正确。 11.(2025·八省联考河南卷，13)如图甲所示的水平地面上，质量为1 kg的物体在水平方向力F的作用下从静止开始做直线运动。图乙为F随时间t变化的关系图像。已知物体与水平地面之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小g取10 m/s2，求: (1)在2 s末物体的速度大小; (2)在0~3 s内物体所受摩擦力做的功。 答案　(1)8 m/s　(2)－27 J 解析　(1)物体所受的摩擦力为Ff＝μmg＝0.2×1×10＝2 N 0~2 s，根据牛顿第二定律得F－Ff＝ma 其中F＝6 N，解得a＝4 m/s2 2 s末物体的速度v＝at＝4×2 m/s＝8 m/s 前2 s内物体的位移x1＝at2＝×4×22 m＝8 m。 (2)2~3 s内，根据牛顿第二定律得F'－Ff＝ma' 其中F'＝－3 N 解得a'＝－5 m/s2 2~3 s内，物体的位移x2＝vt'＋at'2 代入数据解得x2＝5.5 m 在0~3 s内物体所受摩擦力做的功Wf＝－Ff(x1＋x2) 代入数据解得Wf＝－27 J。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 机械能守恒定律 第1讲　功与功率 【复习目标】 1.理解功的概念，会判断正、负功，会计算功的大小。 2.理解功率的概念，会求解平均功率和瞬时功率。 3.会分析、解决机车启动的两类问题。 【考点突破】 考点一　恒力做功的分析和计算 【知识梳理】 1.判断力是否做功及做正、负功的方法 判断根据 适用情况 根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断 根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动 根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断 2.恒力做功的计算方法 (1)恒力做的功 直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。 (2)合力做的功 方法一:先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。 方法二:先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 方法三:利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化量。 【典例剖析】 例1 (多选)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速上升4 s的过程中。g取10 m/s2，则(　　) A.斜面对物体的支持力做功900 J B.斜面对物体的摩擦力做功－300 J C.物体克服重力做功－800 J D.合外力对物体做功400 J 【即时训练】 1.(2025·东北三省高三大联考)如图所示，倾角为θ＝37°的斜面固定在水平桌面上，用平行斜面向上的推力F1将位于斜面底端的物块推到斜面顶端，推力F1做的功至少为W0。已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，若用水平向左的推力F2将物块推到顶端，推力F2做的功至少为(　　) A.1.2W0 B.1.4W0 C.1.6W0 D.1.8W0 考点二　变力做功的分析和计算 【知识梳理】 变力做功常见的五种计算方法 方法 情境说明 方法总结 微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做的功为Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 等效 转换 法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做的功为 W＝F· 平均 力法 弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中，克服弹簧弹力做的功为W＝Δx＝·(x2－x1) 图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功 动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ) 【典例剖析】 例2 (多选)小刘驾驶的汽车后面用水平的绳子系着一质量为m的箱子，已知箱子与水平地面之间的摩擦因数为μ。从某位置开始，汽车拉着箱子在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，经时间T，箱子第一次回到该位置，重力加速度为g，忽略空气的阻力、绳子重力。则下列说法正确的是(　　) A.绳子的拉力与摩擦力的方向相反 B.摩擦力对箱子做的功为零 C.摩擦力对箱子做的功为－2πμmgR D.箱子转动一圈克服摩擦力做功的平均功率为 【即时训练】 2.如图所示，汽车通过细绳跨过固定在天花板上的光滑的轻质定滑轮牵引着箱子匀速上升，某时刻拴接在汽车上的细绳与竖直方向的夹角为30°，经过一段时间细绳与竖直方向的夹角为45°，已知滑轮的大小可忽略不计，拴接在汽车上的点到滑轮的高度为h，重力加速度为g。则该过程汽车克服绳子的拉力做的功为(　　) A.mgh B.mgh C.mgh D.mgh 3.(2024·广东深圳模拟)如图甲所示，静止于光滑水平面上的小物块，在水平拉力F的作用下从坐标原点O开始沿x轴正方向运动，F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线右半部分为四分之一圆弧，则小物块运动到2x0处时的动能可表示为(　　) A.0 B.Fmx0(1＋π) C.Fmx0 D.Fmx0 考点三　功率的分析与计算 【知识梳理】 1.平均功率的计算方法 (1)利用。 (2)利用＝F cos α，其中为物体运动的平均速度。 2.瞬时功率的计算方法 (1)直接代公式P＝Fvcos α计算，其中v为物体的瞬时速度。 (2)先分解再计算，P＝FvF，其中vF为物体的瞬时速度v在力F方向上的分速度;或者P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在瞬时速度v方向上的分力。 【典例剖析】 例3 (2024·浙江6月选考，5)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10 －4 m2，喷水速度约为10 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为(　　) A.10 W B.20 W C.100 W D.200 W 【即时训练】 4.(多选)(2025·福建三明高三期中)如图所示，同一高度处有4个质量相同且可视为质点的小球，现使小球A做自由落体运动，小球B做平抛运动，小球C做竖直上抛运动，小球D做竖直下抛运动，且小球B、C、D抛出时的初速度大小相同，不计空气阻力。小球从释放或抛出到落地的过程中(　　) A.重力对4个小球做的功相同 B.重力对4个小球做功的平均功率相等 C.落地前瞬间，重力对4个小球做功的瞬时功率大小关系为PA＝PB<PC＝PD D.重力对4个小球做功的平均功率大小关系为> 考点四　机车启动问题 【知识梳理】 模型1:以恒定功率启动 模型2:以恒定加速度启动 【典例剖析】 角度1　恒定功率启动 例4 (2025·广东佛山模拟)国际联运列车从开通至今已经完成2万多次运输。列车采用内燃加锂电池的混合动力电传动方式进行驱动，整车最大功率为750 kW，行驶过程中受到的阻力恒定，速度最高为108 km/h，已知列车的总质量为5×104 kg，列车以最大功率启动，下列说法正确的是(　　) A.行驶过程中列车受到的阻力为2.5×104 N B.以最大速度行驶时，列车1小时内通过的位移一定是108 km C.列车以15 m/s的速度行驶时加速度是1 m/s2 D.列车加速过程中的平均速率是15 m/s 角度2　恒定加速度启动 例5 (2025·湖南长沙模拟)一辆质量为m的小汽车在水平地面上由静止开始运动，其功率随速度的变化关系如图所示，其中AB段平行于v轴，汽车匀速运动阶段的速度为vB。根据图像，下列说法正确的是(　　) A.速度增大到vA的过程中，汽车的加速度逐渐减小，当v＝vA时，a＝0 B.汽车与地面间的摩擦力大小为Ff＝ C.在OA段汽车的位移为x1＝ D.若AB段汽车的位移为x，则AB段汽车运动的时间t＝ 【解题妙招】 掌握三个重要关系式 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力大小F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝<vm＝。 (3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的时间或位移等。 【即时训练】 5.(2024·辽宁辽阳一模)一电动玩具汽车启动时，以额定功率沿直线加速并达到最大速度，其加速度a与速度倒数的关系图像如图所示。已知电动玩具汽车受到的阻力大小恒为100 N，重力加速度大小g＝10 m/s2。则电动玩具汽车的额定功率和最大速度分别为(　　) A.200 W　2 m/s B.100 W　4 m/s C.100 W　2 m/s D.200 W　4 m/s 【限时训练】（40min） 1.2024年元旦期间，哈尔滨文旅火爆出圈，南方的小伙伴纷纷赶往哈尔滨体验冰雪盛宴。如图所示为狗拉雪橇的娱乐项目，坐在雪橇上的同学与雪橇的总质量为m，狗拉着雪橇沿水平地面向左移动了一段距离L，假定狗对雪橇的拉力F为恒力且与水平方向成θ角斜向上。已知雪橇与雪地间的动摩擦因数为μ，雪橇受到的(　　) A.支持力做功为mgL B.合外力做功为mgL C.拉力做功为FLcos θ D.滑动摩擦力做功为－μmgL 2.(2024·黑龙江大庆模拟预测)如图所示，质量为m的物块置于倾角为θ的斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左匀加速运动一段距离，运动中物块与斜面体始终相对静止。关于物块，下列说法正确的是(　　) A.摩擦力一定不做功 B.摩擦力一定做负功 C.支持力一定做正功 D.合外力做功可能为零 3.如图所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离s，此时物块刚好滑到小车的左端。物块与小车间的摩擦力为Ff，在此过程中(　　) A.摩擦力对小物块做的功为Ffs B.摩擦力对系统做的总功为0 C.力F对小车做的功为FL D.小车克服摩擦力所做的功为Ffs 4.(2024·安徽卷，2)某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v，已知人与滑板的总质量为m，可视为质点，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为(　　) A.mgh B.mv2 C.mgh＋mv2 D.mgh－mv2 5.(多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Flcos α求得，公式中力F必须是恒力，而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　　) A.甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的为W＝F(lOA－lOC) B.乙图中，全过程中F做的总功为72 J C.丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf D.图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ 6.(2025·河南信阳一模)如图所示，用一个大小不变的力F拉着滑块(视为质点)使其沿半径为R的水平圆轨道匀速运动半周，若力F的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成60°夹角，则力F做的功为(　　) A. B.2FR C.FR D.FπR 7.(2024·江西卷，5)“飞流直下三千尺，疑是银河落九天。”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写。设瀑布的水流量约为10 m3/s，水位落差约为150 m。若利用瀑布水位落差发电，发电效率为70%，则发电功率大致为(　　) A.109 W 　　B.107 W C.105 W 　　D.103 W 8.(2023·山东卷，4)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下:两个半径约为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动，每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　　) A. B. C. D.nmgωRH 9.复兴号动车实现了速度350 km/h自动驾驶功能，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。一列质量为m的动车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm，设动车行驶过程所受到的阻力f保持不变。动车在时间t内(　　) A.做匀加速直线运动 B.牵引力的功率P＝fvm C.当动车速度为时，其加速度为 D.牵引力做功W＝mm 10.(多选)(2025·湖南长沙高三月考)一辆质量m＝2.0×103 kg的无人萝卜车，以v＝36 km/h的速度在平直路面上匀速行驶，此过程中发动机功率P1＝12 kW。当系统探测到前方有障碍物时，主动刹车系统立即撤去发动机驱动力，同时施加制动力使车辆减速。在制动过程中，系统提供的制动功率P2＝24 kW，萝卜车经过x＝ m停下来，不计传动装置和热损耗造成的能量损失，下列说法正确的是(　　) A.萝卜车匀速行驶过程中所受的阻力大小为800 N B.萝卜车刚进入制动状态的瞬间，其所受合力大小为4 800 N C.制动过程萝卜车的速度为5 m/s时，加速度大小为3 m/s2 D.萝卜车从刹车到停止经历的时间为3.2 s 11.(2025·八省联考河南卷，13)如图甲所示的水平地面上，质量为1 kg的物体在水平方向力F的作用下从静止开始做直线运动。图乙为F随时间t变化的关系图像。已知物体与水平地面之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小g取10 m/s2，求: (1)在2 s末物体的速度大小; (2)在0~3 s内物体所受摩擦力做的功。 学科网（北京）股份有限公司 $$