专题 2.5 实数的初步认识（全章常考点梳理 + 题型精析+同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 2.5 实数的初步认识 目录 一.常考点梳理与题型分类精析 1 【考点1】无理数辨析 1 【考点2】实数概念的理解 1 【考点3】平方根概念的理解 2 【考点4】立方根概念的理解 2 【考点5】求一个数的平方根与立方根 2 【考点6】算术平方根的非负性 3 【考点7】已知一个数的平（立）根，求这个数 3 【考点8】平方根与立方根的运算 3 【考点9】近似值 4 【考点10】实数的性质 4 【考点11】实数的大小比较 5 【考点12】与实数相关的初步运算 5 【考点13】与实数相关的程序运算 5 【考点14】无理数的估算 6 【考点15】无理数的整数部分与小数部分 6 二.同步练习 7 基础巩固（22题） 7 能力提升（24题） 9 一.常考点梳理与题型分类精析 【考点1】无理数辨析 【例题1】（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）下列各数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）在，，，，，，这些数中，无理数有 个． 【变式2】（2025·河南漯河·三模）关于的不等式组，写出一个的负无理数解为 ． 【考点2】实数概念的理解 【例题2】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东江门·期末）若是实数，则（   ） A． B． C． D．无法比较 【考点3】平方根概念的理解 【例题3】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）下列各数中没有平方根的是（   ） A． B． C． D．0 【变式1】（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是 D．0没有平方根 【变式2】（24-25八年级上·广东清远·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为 ． 【考点4】立方根概念的理解 【例题4】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【变式1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若取，计算的结果是 ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【考点5】求一个数的平方根与立方根 【例题5】（24-25七年级上·云南临沧·期末）若与是同类项，则的平方根为 ． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如果一个正数的两个平方根分别是和，是的立方根． （1）求和的值． （2）求的算术平方根． 【变式2】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 【考点6】算术平方根的非负性 【例题6】（24-25七年级下·天津·阶段练习）已知，求的平方根． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）若，则的值为 ． 【考点7】已知一个数的平（立）根，求这个数 【例题7】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）一个自然数的算术平方根是x，则它后面的一个数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·广西河池·期中）已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【考点8】平方根与立方根的运算 【例题8】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）（1）计算：． （2）解方程．． 【变式1】（24-25八年级下·湖南娄底·开学考试）计算：． 【变式2】（24-25七年级下·新疆伊犁·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【考点9】近似值 【例题9】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）[四舍五入]截至 2023年1月21 日11 点，2023 河南春晚全网阅读量约127亿．如果这个阅读量是一个两位小数，那么这个两位小数最大是 ，最小是 ． 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）2024年12月27日，伴随着11号线全线贯通，武汉地铁（轨道交通）开通运营总里程已达518.38公里，这个数据精确到十分位的近似值为（   ）公里． A．518.4 B．518 C．518.3 D．520 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）由四舍五入得到的地球半径约为，精确到 位． 【考点10】实数的性质 【例题10】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． （1）填空： ， ， ； （2）先化简，再求值： 【考点11】实数的大小比较 【例题11】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）有四个实数，，0，，其中最小的是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式1】（22-23七年级下·广西柳州·阶段练习） ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各数的大小（填“”“”或“”）： （1） 2；    （2） ；    （3） ． 【考点12】与实数相关的初步运算 【例题12】（2025七年级下·山西·专题练习）（1）计算：； （2） 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）：． 【变式1】（23-24七年级下·吉林白城·期末）计算： 【变式2】（23-24八年级下·山西忻州·期末）（1）计算：． （2）已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【考点13】与实数相关的程序运算 【例题13】（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： （1）当输入的值为25时，输出的的值是________； （2）若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； （3）若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【变式1】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【变式2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为．    【考点14】无理数的估算 【例题14】（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）不用计算器，比较与的大小 【变式2】（24-25七年级下·北京·阶段练习）正整数、分别满足、，则 ． 【考点15】无理数的整数部分与小数部分 【例题15】（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： （1）介于连续的两个整数和之间，且，那么　　　，　　　． （2）是的小数部分，是的整数部分，求　　　，　　　． （3）在（2）的基础上，求的平方根． 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式2】（23-24八年级上·江西南昌·期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： （1） ，的小数部分为 ； （2）若a，b分别是的整数部分和小数部分，求a，b的值． （3）求 （直接写出结果） 二.同步练习 基础巩固（22题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 2．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）下列实数，比小的是（    ） A． B．0 C． D． 3．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）的平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 4．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）的立方根与4的平方根之和是（   ） A．0 B．4 C．0或4 D．0或 5．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）估计的大小应在（ ） A．7~8之间 B．8~9之间 C．9~10之间 D．不知道 6．（24-25七年级下·河南许昌·开学考试）圆周率π，其定义为：圆形的周长与直径之比，在实际应用中，通常都用3.14来代表圆周率去进行近似计算．数字3.14精确到（   ）位． A．个 B．十分 C．百分 D．千分 7．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）下列说法中正确的是（ ） A．9的平方根是3 B． C．64的算术平方根是8 D．1的立方根是 8．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）下列运算中，错误的有（    ） ① ；② ；③ ；④ ． A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 二、填空题 9．（24-25八年级下·上海静安·期末）方程的根是 ． 10．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）若x，y为实数，且满足，则= ． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 12．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）若 ， 则 ． 13．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）数轴上到表示的点距离为的点表示的数是 ． 14．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若，则满足条件的最大整数a是 ． 15．（24-25七年级下·天津滨海新·阶段练习）已知，则的值为 ． 16．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是 ． 17．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ． 18．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我们规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值为 ； 三、解答题 19．（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）求下列各式的值． （1）； （2）． 20．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）已知，b是9的平方根，c是的立方根． （1）求a，b，c的值； （2）若，求的小数部分． 21．（24-25七年级下·全国·期中）如图，数轴上表示的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）写出实数x的值． （2）求的值． 22．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）小星同学探索的近似值的过程如下： 由面积为2的正方形的边长是，可设，画一个边长为的正方形如图1所示，则大正方形的面积． 再由大正方形的面积为2，得到， 当时，可忽略不计，则，解得，． 请你仿照小星的探索过程，求出的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据） 能力提升（24题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）若和是两个连续整数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）把1598000精确到万位，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在，，，，（相邻两个2之间0的个数逐次增加1）五个数中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 6．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 7．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为“勾”，为“股”，为“弦”）若“勾”为，“股”为，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 9．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 10．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）若，则以、为边的等腰三角形的周长为 . 12．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 13．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）若，则立方根为 ． 14．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是： ． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）比较大小： （填“”“”“”） 16．（24-25八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 17．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第10行倒数第二个数是 ； 18．（23-24八年级上·河北承德·期末）实数和数轴上的点是一一对应的，你能找到下面数轴上的两个点表示的实数吗？ （1）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是 ． （2）如图，数轴上的点A表示原点，，垂足为D，且，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ． 三、解答题 19．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）已知正数x的平方根是a和． （1）当时，求a的值； （2）若，求x的值． 20．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）（1）计算：①；②； （2）求下列各式中的值：①；②． 21．（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知a的算术平方根是4，b是的立方根，c是的整数部分． （1）_______，_______，_______； （2）求的立方根； （3）判断是有理数还是无理数，并说明理由． 22．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算＝ ；＝ ． （2）用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． （3）计算：． 23．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． （1）求这个魔方的棱长； （2）图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 24．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是的小数部分．请解答： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得．因为，都是有理数，所以，也是有理数．由于是无理数，所以，，所以，，所． 问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.5 实数的初步认识 目录 一.常考点梳理与考点分类精析 1 【考点1】无理数辨析 1 【考点2】实数概念的理解 2 【考点3】平方根概念的理解 3 【考点4】立方根概念的理解 4 【考点5】求一个数的平方根与立方根 6 【考点6】算术平方根的非负性 7 【考点7】已知一个数的平（立）根，求这个数 9 【考点8】平方根与立方根的运算 10 【考点9】近似值 11 【考点10】实数的性质 12 【考点11】实数的大小比较 14 【考点12】与实数相关的初步运算 15 【考点13】与实数相关的程序运算 17 【考点14】无理数的估算 19 【考点15】无理数的整数部分与小数部分 21 二.同步练习 23 基础巩固（22题） 23 能力提升（24题） 32 一.常考点梳理与考点分类精析 【考点1】无理数辨析 【例题1】（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）下列各数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 解：、是无理数，符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）在，，，，，，这些数中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查无理数，解题的关键是正确理解无理数的概念． 根据无理数的概念，对所给的数进行分类即可． 解：，，是有理数， ，，，是无理数， ∴无理数有个， 故答案为：． 【变式2】（2025·河南漯河·三模）关于的不等式组，写出一个的负无理数解为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的定义，一元一次不等式组的解，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 运算出不等式组的解集后解答即可． 解： 由可得：， 由可得：， ∴不等式的解集为：， ∴的负无理数解可为：（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【考点2】实数概念的理解 【例题2】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）实数的相反数是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与相反数，熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义即可解答． 解：实数的相反数是， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的概念，根据绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 解：， 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·广东江门·期末）若是实数，则（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的性质以及不等式的基本性质，熟练掌握根据的不同取值分类讨论是解题的关键．本题需根据实数的不同取值情况（、、 ），分别比较与的大小关系，进而确定答案． 解：当时： ，不等式两边乘正数，不等号方向不变，即 当时： ，不等式两边乘负数，不等号方向改变，即 当时： 由于取值不同时，与大小关系不同，无法确定唯一大小关系． 故选： ． 【考点3】平方根概念的理解 【例题3】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）下列各数中没有平方根的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根即可得出答案． 解：，， ∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，依据平方根和算术平方根的性质求解即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 解：A. ，原说法错误； B. 2的算术平方根是，原说法错误； C. 1的平方根是，说法正确； D. 0的平方根是0，原说法错误； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·广东清远·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据平方根求参数． 根据平方根求出a的值即可． 解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点4】立方根概念的理解 【例题4】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义，由题意可得，由此即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴是的立方根， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）若取，计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的相关计算，先合并再计算是解题的关键． 先合并，然后进行计算． 解：原式 ， 当取时， 原式 ． 故答案为： ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是．若，两边同时六次方得，解得或（舍去），当时，它的一个平方根1与它的立方根1相等，符合题意； 当时，它没有实数平方根． 综上，这个数是0或1． 故答案为：0或1． 【考点5】求一个数的平方根与立方根 【例题5】（24-25七年级上·云南临沧·期末）若与是同类项，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，同类项，先根据同类项的定义求出、的值，再计算的值，然后根据平方根的定义计算即可．掌握平方根、同类项的定义是解题的关键． 解：∵与是同类项， ∴，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如果一个正数的两个平方根分别是和，是的立方根． （1）求和的值． （2）求的算术平方根． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）利用正数的两个平方根互为相反数这一性质，列出关于的方程，求解后，再根据平方根与原数的关系求出；依据立方根的定义求出． （2）先把（1）中求得的、的值代入计算出结果，再根据算术平方根的定义求出其算术平方根． 本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，熟练掌握这些定义及正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 解：（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和 ∴ 解得 ∴ ∴ ∵是的立方根， ∴； （2）解：把，代入得： ∵， ∴的算术平方根是，即的算术平方根是． 【变式2】（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是掌握各运算法则． 正确按照流程图顺序计算即可． 解：根据程序计算得， 第1步：， 第2步：， 第3步返回：， 输出， 故选：D． 【考点6】算术平方根的非负性 【例题6】（24-25七年级下·天津·阶段练习）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，求平方根，先根据非负数的性质求出，，再代入所求代数式，最后根据平方根的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为，满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质，根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式和完全平方的非负性可得，，求出a与b的值，进而得出答案． 本题考查了二次根式和完全平方公式的非负性，代数式求值，根据非负数的性质求得a与b的值是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【考点7】已知一个数的平（立）根，求这个数 【例题7】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·假期作业）一个自然数的算术平方根是x，则它后面的一个数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据题意，自然数的算术平方根为x，则该自然数为，下一个自然数为，其算术平方根即为． 解：∵一个自然数的算术平方根是x， ∴这个自然数是，下一个自然数是， ∴下一个自然数的算术平方根是：． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·广西河池·期中）已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得，得到，进而得到，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故选：． 【考点8】平方根与立方根的运算 【例题8】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）（1）计算：． （2）解方程．． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或． 【变式1】（24-25八年级下·湖南娄底·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，化简绝对值，乘方，负整数指数幂，先化简立方根，算术平方根，绝对值，乘方，负整数指数幂，再运算加减，即可作答． 解： 【变式2】（24-25七年级下·新疆伊犁·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3；（2）3 【分析】本题考查求算术平方根和立方根，乘方，分配律，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键； （1）先求出算术平方根和立方根，再进行加法计算； （2）先计算乘方，运用分配律进行简便计算，最后进行加减计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【考点9】近似值 【例题9】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）[四舍五入]截至 2023年1月21 日11 点，2023 河南春晚全网阅读量约127亿．如果这个阅读量是一个两位小数，那么这个两位小数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【分析】本题考查四舍五入求解近似数，解题的关键是“四舍和五入”． 根据四舍五入求解近似数的规则，即“四舍和五入”，由原数的取值范围并利用改规则求解即可． 解：根据“四舍”的规则，要使这个两位小数最大， 则这个两位小数最大是； 根据“五入”的规则，要使这个两位小数最小， 则这个两位小数最小是． 故答案为：①；② ． 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）2024年12月27日，伴随着11号线全线贯通，武汉地铁（轨道交通）开通运营总里程已达518.38公里，这个数据精确到十分位的近似值为（   ）公里． A．518.4 B．518 C．518.3 D．520 【答案】A 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入． 解：518.38公里精确到十分位的近似值为518.4公里， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）由四舍五入得到的地球半径约为，精确到 位． 【答案】千 【分析】此题主要考查了科学记数法与近似数，掌握对于用科学记数法表示的数精确到哪一位是解题的关键． 近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 解：近似数，精确到千位． 故答案为：千 【考点10】实数的性质 【例题10】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，相反数和负数，根据绝对值，相反数和负数的定义逐项判断解答即可． 解：A. 当时，实数是正数，原说法错误； B. 实数的相反数是a，说法正确； C. 当时，实数的绝对值是，原说法错误； D. 一定是非负数，原说法错误； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离．根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 解：∵正方形的面积为6，且， ∴， ∵点A表示的数是，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：，故B正确． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． （1）填空： ， ， ； （2）先化简，再求值： 【答案】（1），，；（2）； 【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴可得，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； （2）根据数轴可得，化简各式，再代入数据计算即可求解． 解：（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 【考点11】实数的大小比较 【例题11】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）有四个实数，，0，，其中最小的是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．根据负实数绝对值大的反而小即可比较． 解：∵， ∴最小的是， 故选：B． 【变式1】（22-23七年级下·广西柳州·阶段练习） ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的绝对值，根据和正数的绝对值是它本身进行解答即可． 解： 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）比较下列各数的大小（填“”“”或“”）： （1） 2；    （2） ；    （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，先估算得出，，从而可得，再根据实数的大小比较方法即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵，， ∴，，即，， ∴， （1）， 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）， 故答案为：． 【考点12】与实数相关的初步运算 【例题12】（2025七年级下·山西·专题练习）（1）计算：； （2） 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）：． 【答案】（1）；（2）见分析，． 【分析】本题主要考查实数的运算以及实数的比较及数轴上的表示．本题的解题关键在于理解实数运算的基本法则，包括幂的运算、根号运算和绝对值的计算，以及能够准确比较实数的大小． （1）根据有理数的乘方运算、平方根、立方根的计算，以及绝对值的性质进行计算，计算时需注意负数的偶数次幂和绝对值的性质； （2）先化简各个数，在数轴上表示各个，再比较大小，并用“”号连接即可． 解：（1）原式 ． （2），， 实数表示在数轴上如图所示： 故 ． 【变式1】（23-24七年级下·吉林白城·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根与立方根的计算是关键；计算算式中的算术平方根、绝对值及立方根即可求解． 解：原式= ． 【变式2】（23-24八年级下·山西忻州·期末）（1）计算：． （2）已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式化简，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）先确定m的取值范围，然后利用二次根式性质进行化简即可． 解：（1） ． （2）， ， ． 【考点13】与实数相关的程序运算 【例题13】（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： （1）当输入的值为25时，输出的的值是________； （2）若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； （3）若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【答案】（1）；（2）7和49（答案不唯一）；（3）0，1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据49的算术平方根是7，7的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 解：（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即，5是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是7和49； 故答案为：7和49（答案不唯一） （3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值． 【变式1】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求算术平方根， 根据无理数生成器的计算流程可得输出值为的输入值，即可判断①；再将16输入按要求得出答案并判断②；然后以输出值为例说明③；随后将正整数1输入说明④即可. 解：当输入3时，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入9时，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输入81时，取算术平方根为9，不是无理数，再输入9，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为，是无理数输出； 当输出值为时，输入值为3或9或81或， 所以①不正确； 当输入16时，取算术平方根为4，不是无理数，再输入4，取算术平方根为2，不是无理数，再输入2，取算术平方根为，是无理数输出. 所以②正确； 当输入，取算术平方根为，是无理数，输出，但是不是正整数. 所以③不正确； 当输入正整数1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值. 所以④正确. 则不正确的有①③. 故选：D. 【变式2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为．    【答案】16 【分析】本题考查了算术平方根．根据题意结合算术平方根的定义解答即可． 解：当输出的y的值为时，输入的值为， ， ， 所以当输入的x值为16后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为， 故答案为：16． 【考点14】无理数的估算 【例题14】（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知的立方根为，4的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 解：（1）解：∵的立方根是， ∴， ∵4的算术平方根是， ∴， ∵， ∴即， ∴的整数部分是5， 又是的整数部分， ∴， 综上可知，，； （2）解：∵，，， ∴． ∴的平方根为． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）不用计算器，比较与的大小 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，不等式的性质，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键，利用无理数的估算得，再利用不等式的性质得出，即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·北京·阶段练习）正整数、分别满足、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到值是解答的关键．根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求解． 解：∵，，，， 又∵，是正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点15】无理数的整数部分与小数部分 【例题15】（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： （1）介于连续的两个整数和之间，且，那么　　　，　　　． （2）是的小数部分，是的整数部分，求　　　，　　　． （3）在（2）的基础上，求的平方根． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确的估计无理数的取值范围是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可解答； （2）根据（1）的结论，得到，即可解答； （3）将（2）的结论代入计算即可解答． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，5； （2）解：由（1）知， ∴，， ∵是的小数部分， ∴； ∵是的整数部分， ∴； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴4的平方根是， 即的平方根是． 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·江西南昌·期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： （1） ，的小数部分为 ； （2）若a，b分别是的整数部分和小数部分，求a，b的值． （3）求 （直接写出结果） 【答案】（1）3，；（2），；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，正确进行无理数的大小的估算是解题的关键． （1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分． （3）根据（2）将a、b的值代入求解即可． 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为， 故答案为：3，； （2）， ∵， ∴， ∴，． （3）． 二.同步练习 基础巩固（22题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 解：A、是整数，属于有理数，故不符合题意； B、是无理数，故符合题意； C、0是整数，属于有理数，故不符合题意； D、是分数，属于有理数，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）下列实数，比小的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．利用实数大小的比较方法解答即可． 解：A．∵，∴，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．∵，∴，故不符合题意； D．∵，∴，故符合题意； 故选：D． 3．（22-23七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）的平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了求算术平方根和平方根， 先计算的值，再求其平方根．注意区分算术平方根与平方根的概念． 解：的平方根是． 故选：C． 4．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）的立方根与4的平方根之和是（   ） A．0 B．4 C．0或4 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查立方根和平方根；先求出的立方根，4的平方根，再求和即可． 解：的立方根等于， 4的平方根等于， ∴， ∴的立方根与4的平方根之和是0或； 故选：D． 5．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）估计的大小应在（ ） A．7~8之间 B．8~9之间 C．9~10之间 D．不知道 【答案】B 【分析】： 此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键． 直接得出接近的有理数进而得出答案． 解： ． ． 故选：B． 6．（24-25七年级下·河南许昌·开学考试）圆周率π，其定义为：圆形的周长与直径之比，在实际应用中，通常都用3.14来代表圆周率去进行近似计算．数字3.14精确到（   ）位． A．个 B．十分 C．百分 D．千分 【答案】C 【分析】此题考查了近似数，掌握近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位是本题的关键． 解：数字3.14精确到了百分位， 故选：C． 7．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）下列说法中正确的是（ ） A．9的平方根是3 B． C．64的算术平方根是8 D．1的立方根是 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义．根据平方根，立方根，算术平方根的定义解答即可． 解：A、9的平方根是，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、64的算术平方根是8，故本选项正确； D、1的立方根是1，故本选项错误． 故选：C． 8．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）下列运算中，错误的有（    ） ① ；② ；③ ；④ ． A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了求算术平方根和立方根；根据算术平方根和立方根的性质逐个判断即可． 解：①，错误； ②，原式错误； ③，正确； ④，原式错误； 综上，错误的有①②④，共3个， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25八年级下·上海静安·期末）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的概念，根据立方根的概念即可求解，掌握立方根的概念是解题的关键． 解：∵， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）若x，y为实数，且满足，则= ． 【答案】8 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是理解几个非负数的和为0的条件是各自为0．因为，所以可利用非负数的和为0的条件分析求解． 解：，， ， ， ， 故答案为：8． 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 12．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）若 ， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）数轴上到表示的点距离为的点表示的数是 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 当这个点在左边和右边两种情况，分别列式即可． 解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：； 当这个点在右边时，这个点对应的数为：． 故答案为：0或． 14．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）若，则满足条件的最大整数a是 ． 【答案】8 【分析】本题考查无理数的大小估算，根据题意得出，即可得出答案． 解：∵，即， ∴满足条件的最大整数a是， 故答案为：8． 15．（24-25七年级下·天津滨海新·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】0或2或6 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可得到答案． 解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， ∴或或， 故答案为：0或2或6． 16．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据数值转换器的原理，结合立方根、算术平方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：，， 故输出的y是， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，根式里面的整数为序号，分数的分子为1，分母为序号加2，开方的结果外面的整数为序号加1，根式里面的分数的分子为1，分母为序号加2，据此规律求解即可． 解：， ， ……， 依此类推可知，第n个等式为：， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我们规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值为 ； 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，算术平方根等于它的立方根的数为1或0．根据算术平方根等于它的立方根的数为1或0，得出或，求出a的值即可； 解：∵算术平方根等于它的立方根的数为1或0， ∴或， 解得：或． 故答案为：或． 三、解答题 19．（24-25七年级下·天津静海·阶段练习）求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）7.2． 【分析】本题考查了算术平方根的计算． （1）根据算术平方根的性质计算即可求解； （2）根据算术平方根的性质计算即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）已知，b是9的平方根，c是的立方根． （1）求a，b，c的值； （2）若，求的小数部分． 【答案】（1）；（2）的小数部分是 【分析】本题考查了绝对值的化简，平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算． （1）根据绝对值的化简，平方根的定义，立方根的定义即可得到答案； （2）根据得到，代入后根据无理数的估算得到小数部分． 解：（1）解：∵，b是9的平方根，c是的立方根， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴的整数部分是2， 则小数部分是． 21．（24-25七年级下·全国·期中）如图，数轴上表示的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）写出实数x的值． （2）求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了实数与数轴． （1）先求出，再根据点B到点A的距离与点C到点O的距离相等作答即可； （2）将代入计算即可． 解：（1）解：∵点A，B分别表示1， ， ∵点B到点A的距离与点C到点O的距离相等， ； （2）解： 22．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）小星同学探索的近似值的过程如下： 由面积为2的正方形的边长是，可设，画一个边长为的正方形如图1所示，则大正方形的面积． 再由大正方形的面积为2，得到， 当时，可忽略不计，则，解得，． 请你仿照小星的探索过程，求出的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据） 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，仿照小星同学的探索过程解答即可． 解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，画一个边长为的大正方形（如图）， 图中大正方形的面积． 又， ， 当时，可忽略不计，得方程， 解得， ． 能力提升（24题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）若和是两个连续整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可，掌握夹逼法是解题的关键． 解：∵， ∴， 又∵和是两个连续整数，且， ∴，， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）把1598000精确到万位，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法与有效数字，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．据此求解即可． 解：． 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在，，，，（相邻两个2之间0的个数逐次增加1）五个数中，无理数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的识别、算术平方根等知识点，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无限不循环小数叫做无理数以及算术平方根的知识逐个判断即可． 解：是有限小数，是分数，它们不是无理数； ，，（相邻两个2之间0的个数逐次增加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个； 故选：B． 4．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据算术平方根的定义和勾股定理，逐一进行判断即可． 解：A. 它是一个无理数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 27的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 不能表示为体积为27的正方体的棱长，故该选项不正确，不符合题意；     D. 面积为27的正方形的边长，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，整体思想的正确运用是解题的关键． 根据已知，求出，再求出，根据得出，求出的值即可． 解：， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 7．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为“勾”，为“股”，为“弦”）若“勾”为，“股”为，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，实数与数轴，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式计算后估算其大小，然后确定其在数轴上的位置即可． 解：若“勾”为，“股”为，则， ， ， 则“弦”在如图所示数轴上可表示在点， 故选：C． 8．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的运算，先根据立方根和算术平方根的定义得出a、b的值，再代入计算即可． 解：∵是数a的立方根，是数b的算术平方根， ∴，， ∴， 故选：D． 9．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 10．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是无理数， ∴输出的值是， 故选：． 二、填空题 11．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）若，则以、为边的等腰三角形的周长为 . 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用非负数的性质可得，，即得，，得到以为边的等腰三角形的三边可能为或，再根据三角形的三边关系解答即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 解：∵， ∴，， ∴，， ∴以为边的等腰三角形的三边可能为或， 当三边为时，，三角形不存在； 当三边为时，符合三角形的三边关系，此时等腰三角形的周长为； 故答案为：． 12．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平方根和相反数的应用，解题的关键是求出a的值．一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 根据平方根的定义和相反数，得出，求出，即得． 解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴． 故答案为：9． 13．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）若，则立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，以及立方根，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先根据非负性列式求出的值，进而得到的值，再利用立方根定义求解，即可解题． 解：∵， 且， 解得：，， 则， 则的立方根为； 故答案为：． 14．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，可得，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 解： ， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）比较大小： （填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，不等式的性质，先根据“夹逼法”得出，然后根据不等式的性质判断即可． 解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴，即， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，根据平方大的正实数也大解答即可． 解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第10行倒数第二个数是 ； 【答案】 【分析】本题考查数字规律型，根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根，且每一行的个数分别为2、4、6、8⋯， ∴前10行的总个数为， 即第10行最后一个数是， ∴第10行倒数第二个数是， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·河北承德·期末）实数和数轴上的点是一一对应的，你能找到下面数轴上的两个点表示的实数吗？ （1）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是 ． （2）如图，数轴上的点A表示原点，，垂足为D，且，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了数轴与实数，数轴上两点之间的距离，勾股定理等知识．熟练掌握数轴与实数，数轴上两点之间的距离，勾股定理是解题的关键． （1）由题意知，点A，点B之间的距离为，则点B对应的实数是； （2）由勾股定理得，，则，点C表示的数为，计算求解，然后作答即可． 解：（1）解：由题意知，点A，点B之间的距离为， ∴点B对应的实数是， 故答案为：； （2）解：由勾股定理得，， ∴， ∴点C表示的数为， 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）已知正数x的平方根是a和． （1）当时，求a的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方根的定义，根据求平方根的方法解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正实数的两个平方根互为相反数，得到，由此即可得到答案； （2）根据平方根的定义得到，再由已知条件得到，据此求解即可． 解：（1）解：正数x的平方根是a和， ， 当时，， ； （2）解：正数x的平方根是a和， ， ， ， 即， ， ， ． 20．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）（1）计算：①；②； （2）求下列各式中的值：①；②． 【答案】（1）①；②；（2）①或；②． 【分析】本题考查了算术平方根，平方根、立方根的计算； （1）①先计算根式，再加减计算． ②先计算根式和乘方，再加减计算． （2）①两边除以4，再计算平方根． ②先移项，再两边同时除以2，再计算立方根． 解：（1）① ； ② ； （2）①， ， ∴， 解得：或 ， ②， ， ∴， 解得：． 21．（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知a的算术平方根是4，b是的立方根，c是的整数部分． （1）_______，_______，_______； （2）求的立方根； （3）判断是有理数还是无理数，并说明理由． 【答案】（1），，；（2）；（3）是有理数，理由见分析 【分析】本题主要考查了无理数的估算，算术平方根和立方根，正确得出，，的值是解答本题的关键． （1）利用平方根和立方根的定义，先求出，的值，再利用，估算出，从而确定出的值； （2）由（1）知，，的值，代入，求出的值，最后利用立方根的定义求出最后结果即可； （3）由（1）知，，的值，代入，求出的值，即可得出结论． 解：（1）解：由题意得， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴的立方根为； （3）解：是有理数，理由如下： 由（1）知，，， ∴， ∴是有理数． 22．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算＝ ；＝ ． （2）用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． （3）计算：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 23．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． （1）求这个魔方的棱长； （2）图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】（1）2；（2）阴影部分的面积为2，边长为；（3）或． 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 解：（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； （2）棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 24．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是的小数部分．请解答： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得．因为，都是有理数，所以，也是有理数．由于是无理数，所以，，所以，，所． 问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（1）6；；（2）3；（3）7或 【分析】本题考查的是无理数的估算，利用平方根的含义解方程，求解代数式的值； （1）由可得答案； （2）先判断，，再进一步求解即可； （3）由条件可得，可得，，求解：，，再分情况计算即可. 解：（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 即 ∴， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴由题意的解法得， ，， 解得：， 把代入， 得：， ∴， ∴， ∴当，时， ， 当，时， ， 综上所述，的值为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$