14.3 角的平分线 分层训练 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版（2024）八年级上同步分层训练14.3角的平分线 一、夯实基础 1．如图，已知在中，，，嘉淇通过尺规作图得到，交于点D，根据其作图痕迹，可得的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．98° 2．如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 4．如图，是的角平分线，，交于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为　 　 6．如图，是的平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为　 　． 7．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 8．如图，已知点在第一象限的平分线上，且，点在轴上，点在轴上． （1）求点P 的坐标； （2）当绕点旋转时，的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． 9．如图，，M是的中点，平分，且，求的度数 二、能力提升 10．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、AC、BC的距离OF=OE=OD，若∠BAC=70°，则∠BOC=（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 11．如图，在中，的角平分线交于点于点．若，则的周长为（　　） A．6 B．12 C．15 D．21 12．如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 13．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　． 14．如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于　 　． 15．如图，在中，于点于点，交于，平分交延长线于，连接，．若，，，则　 　，的面积为　 　． 16．问题提出：如图（1），在四边形中，平分，，，，，探究与的数量关系． 问题探究：（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展：如图（3），平分，，，若，求． 17．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A，理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC， ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中， O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 18．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：． （2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分． 三、拓展创新 19．如图， 在中，平分， 点E在上， 若 的面积为64，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 20．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数(　　) ①BP平分∠ABC； ②∠ABC+2∠APC=180°； ③∠CAB=2∠CPB； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，在Rt中，，点是线段上一点，连接平分交于点于点．若，则　 　． 22．综合与实践： 问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接． （1）初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是　 　； （2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由； （3）拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）． 23．以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α． （1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数； （2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）； （3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是　 　． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】2 6．【答案】6 7．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．【答案】（1） （2）的值不发生变化，其值为 2 9．【答案】 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】4：5：6 14．【答案】25 15．【答案】4；72 16．【答案】（1） （2） 问题拓展： 17．【答案】（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－；（3）拓展：结论 18．【答案】（1）证明：∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴（SAS）， ∴． （2）证明：如图，过点A作于G，于H， ∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴（SAS）， ∴， ∵，， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∴AM平分． 19．【答案】B 20．【答案】D 21．【答案】 22．【答案】（1）PC=PD （2）解：还成立，理由如下： 过点P作，，垂足分别为E，F， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：过点P作，垂足分别为， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴，四边形为正方形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．【答案】（1）解：∵∠EAB＝∠CAD， ∴∠EAB＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAD． 在△ABE和△ACD中 AE＝AB，∠EAC＝∠BAE，AC＝AD， ∴△AEC≌△ABD（SAS）， ∴∠AEC＝∠ABD． ∵∠AEC＋∠EAB＝∠ABD＋∠EMB． ∴∠EMB＝∠EAB＝40°． （2）解：连接AG ∵△AEC≌△ABD， ∴EC＝BD；∠ACE＝∠ADB． ∵G、H分别是EC与BD的中点， ∴DH＝CG． 在△ACG和△ADH中 AC＝AD， ∠ACE＝∠ADB， CG＝DH， ∴△ACG≌△ADH（SAS）， ∴AG＝AH，∠CAG＝∠DAH， ∴∠AGH＝∠AHG，∠CAG－∠CAH＝∠DAH－∠CAH， ∴∠GAH＝∠DAC． ∵∠DAC＝α， ∴∠GAH＝α． ∴∠GAH＋∠AHG＋∠AGH＝180°， ∴； （3） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$