专题 1.5 勾股定理与折叠模型（模型梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 1.5 勾股定理与折叠模型 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 模型（一）沿直角三角形锐角顶点进行折叠 1 【题型1】沿直角三角形锐角顶点的折叠 2 模型（二）沿直角三角形直角顶点进行折叠 2 【题型2】沿直角三角形直角顶点的折叠 3 模型（三）沿直角三角形的直角边和斜边上两点进行折叠 4 【题型3】沿直角三角形直角边和斜边上两点进行折叠 4 模型（四）沿直角三角形两直角边两点进行折叠 5 【题型4】沿直角三角形两直角边上两点进行折叠 5 模型（五）沿矩形对角线进行折叠 6 【题型5】沿矩形对角线进行折叠 7 模型（六）沿矩形一直角顶点和一边上一点进行折叠 7 【题型6】沿矩形一直角顶点和一边上一点进行折叠 8 模型（七）沿矩形邻边上两点进行折叠 9 【题型7】沿矩形邻边上两点进行折叠 9 模型（八）沿矩形对边上两点进行折叠 10 【题型8】沿矩形对边上两点进行折叠 10 二．同步练习 11 基础夯实（20题） 11 巩固提升（20题） 16 一.知识梳理与题型分类精析 模型（一）沿直角三角形锐角顶点进行折叠 如图1，以为折痕，点对应点为落在斜边上,得出以下两个结论： ； 为直角三角形. 图1 【题型1】沿直角三角形锐角顶点的折叠 【例题1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，有一个直角三角形纸片，，，，现将直角三角形纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，连接，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点重合，折痕为，则长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，在中，，，D是边上的一点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E．若，则C，E两点之间的距离为 ． 模型（二）沿直角三角形直角顶点进行折叠 如图2，以为折痕，点对应点为落在上时.得出以下两个结论： ；（2），. 图2 【题型2】沿直角三角形直角顶点的折叠 【例题2】（2025·广东汕头·一模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    【变式2】（22-23八年级上·江苏·课后作业）如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（    ）． A．3 B．2 C．4 D．1 模型（三）沿直角三角形的直角边和斜边上两点进行折叠 已知：在中，折痕沿直角边和斜边上的点折叠 （1） 如图3，沿折叠，点对应点和点与点重合，连接AD，这时DA=AC，构造; （2） 如图4，沿折叠，点B对应点落在AC边上,构造; 图3 图4 【题型3】沿直角三角形直角边和斜边上两点进行折叠 【例题3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． （1）如图1，若点和顶点重合，求的长； （2）如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 模型（四）沿直角三角形两直角边两点进行折叠 已知：在中，折痕沿直角边和斜边上的点折叠 如图5，以所在的直线为折痕，折叠，则垂直平分，. 图5 【题型4】沿直角三角形两直角边上两点进行折叠 【例题4】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，D、E分别在上，且.将沿所在直线折叠，使C点落在斜边上的F点处，求的长． 模型（五）沿矩形对角线进行折叠 已知：如图6，在矩形中，以对角线为折痕,折叠,点对应点为. 结论:（1）;（2）折痕垂直平分；（2）为等腰三角形. 图6 【题型5】沿矩形对角线进行折叠 【例题5】 （24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在长方形中，，． （1）求对角线的长； （2）点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为 ． 模型（六）沿矩形一直角顶点和一边上一点进行折叠 已知：在矩形中，以过点的直线为折痕,折叠,点对应点为.分为三种情况， 图7、图8中，（1）;（2）折痕垂直平分. 图9中，（1）；（2）折痕垂直平分. 图7 图8 图9 【题型6】沿矩形一直角顶点和一边上一点进行折叠 【例题6】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： （1）的长． （2）的面积． 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 模型（七）沿矩形邻边上两点进行折叠 已知：在矩形中，E、F是矩形邻边上两点. 如图10，，垂直平分; 图10 【题型7】沿矩形邻边上两点进行折叠 【例题7】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ； 【变式2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在矩形中，，，P是边上的一点，，Q是边上的动点，沿将折叠，则的最大值为 ，最小值为 ． 模型（八）沿矩形对边上两点进行折叠 已知：在矩形中，以过边上任意两点所在直线分为三种情况. （1）如图11，对应点恰好落在边上，四边形四边形，这时垂直平分; （2）如图12，对应点恰好落在矩形外面，四边形四边形，这时垂直平分. 图11 图12 【题型8】沿矩形对边上两点进行折叠 【例题8】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 【变式1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【变式2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 二．同步练习​ 基础夯实（20题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．则的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 5．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在纸片中，，，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·吉林长春·期中）将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C．10 D． 7．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为 ． 10．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是 ． 13．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是 ． 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为 ． 15．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）将矩形纸片 按如图所示折叠，已知，，． 则蚂蚁从点 A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 16．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在长方形中，，，E、F分别在边、上．现将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、．当点恰好与点D重合时，则 ． 三、解答题 17．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，如图折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，如，．求的长． 18．（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． （1）若，求，的度数； （2）若，求． 19．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，，．如图，在长方形中，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长． 20．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． （2）如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 巩固提升（20题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 2．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点D，E分别在边，上，沿折叠，使点B与点C重合．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5 4．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若长为4，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调，匀称的美感．世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形设计，如图希腊的帕特农神庙等．我们可以通过折叠得到一个黄金矩形．正确的折叠顺序是（） A．①②③④ B．④③①② C．①④③② D．④①③② 7．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 8．（2025·河南安阳·二模）阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为，的正方形和正方形，连接，得到以为对称轴的六边形，如图①； 第二步：将长方形纸板沿折叠，沿四边形的边剪下六边形，再沿把剩余的纸板剪开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形和六边形，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形的面积为，图③中六边形的面积为，．小强同学得出了以下四个结论： ①；②；③；④．则其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 12．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 13．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，是上一点，且，是边上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 14．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图， 已知中，， ， A，点D是边上的一个动点．将 沿所在直线折叠，点C的对应点为点E，若点E在边上，则C，E两点之间的距离为 ． 15．（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，，，点D为边的中点，点P为边上任意一点，若将沿折叠得，若点E在的中位线上，则的长度为 ． 16．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1），将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2），继续折叠纸片，使得点与点重合，折痕是，得到多边形（如图3），将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒棒糖的糖果部分（如图4）．      （1）图1中的长为 ． （2）图3中的长为 ． 三、解答题 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知，，，点为射线上一点，将沿折叠得，过点作的平行线交所在直线于点，作，垂足为． （1）如图（1），若，求的长； （2）如图（2），若，设，求的值． 19．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践． 课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接． （1）如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则________（填“”、“”或“”）； （2）如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段的长； （3）如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.5 勾股定理与折叠模型 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 模型（一）沿直角三角形锐角顶点进行折叠 1 【题型1】沿直角三角形锐角顶点的折叠 2 模型（二）沿直角三角形直角顶点进行折叠 4 【题型2】沿直角三角形直角顶点的折叠 4 模型（三）沿直角三角形的直角边和斜边上两点进行折叠 8 【题型3】过直角三角形直角边和斜边上两点进行折叠 8 模型（四）沿直角三角形两直角边两点进行折叠 11 【题型4】沿直角三角形两直角边上两点进行折叠 11 模型（五）沿矩形对角线进行折叠 14 【题型5】沿矩形对角线进行折叠 14 模型（六）沿矩形一直角顶点和一边上一点进行折叠 17 【题型6】沿矩形一直角顶点和一边上一点进行折叠 17 模型（七）沿矩形邻边上两点进行折叠 19 【题型7】沿矩形邻边上两点进行折叠 20 模型（八）沿矩形对边上两点进行折叠 22 【题型8】沿1矩形对边上两点进行折叠 22 二．同步练习 25 基础夯实（20题） 25 巩固提升（20题） 41 一.知识梳理与题型分类精析 模型（一）沿直角三角形锐角顶点进行折叠 如图1，以为折痕，点对应点为落在斜边上,得出以下两个结论： ； 为直角三角形. 图1 【题型1】沿直角三角形锐角顶点的折叠 【例题1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，有一个直角三角形纸片，，，，现将直角三角形纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，先利用勾股定理计算出，由折叠的性质得出，，设，则，用勾股定理解即可． 解：在中，由勾股定理，得， 所以． 由折叠的性质可知，， 所以． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 【变式1】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点重合，折痕为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题的关键是得到．由翻折易得，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得长． 解：由题意得； 设，则， ， ， 即， 解得：； 即． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·山西朔州·期中）如图，在中，，，D是边上的一点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E．若，则C，E两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠，线段垂直平分线，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握折叠图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理解直角三角形，面积法求直角三角形斜边上的高． 连接，交于点，由折叠性质知，，，得到垂直平分，推出，根据，，，求出，根据三角形面积公式得到，得到，求出，即可得出． 解：如图，连接，交于点F． 由折叠知，． 垂直平分， ． ，，， ． ． ， ． ． 故答案为： 模型（二）沿直角三角形直角顶点进行折叠 如图2，以为折痕，点对应点为落在上时.得出以下两个结论： ；（2），. 图2 【题型2】沿直角三角形直角顶点的折叠 【例题2】（2025·广东汕头·一模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 解：三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用．利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值． 解：∵， ∴， 由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级上·江苏·课后作业）如图，在中，，，，点E是边上一点．将沿直线折叠到，使点B与点F重合．当时，线段的长为（    ）． A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】B 【分析】设与交于点H，由勾股定理得，根据三角形等面积知，设，，在中，根据勾股定理渴求的结果． 解：设与交于点H， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可知：， ∴HF=CF-CH=， 在△BCH中， =， 设，则=， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：B． 【点拨】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程． 模型（三）沿直角三角形的直角边和斜边上两点进行折叠 已知：在中，折痕沿直角边和斜边上的点折叠 （1） 如图3，沿折叠，点对应点和点与点重合，连接AD，这时DA=AC，构造; （2） 如图4，沿折叠，点B对应点落在AC边上,构造; 图3 图4 【题型3】过直角三角形直角边和斜边上两点进行折叠 【例题3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． （1）如图1，若点和顶点重合，求的长； （2）如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 解：（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理以及图形折叠的性质等知识点，解题的关键在于利用折叠性质确定线段相等关系，并结合勾股定理建立方程求解未知数，通过设，利用和勾股定理构建等式，进而解得． 解： 设， ， ， 沿翻折，点A与点B重合， ， 在中，，， ，即， 解得． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 模型（四）沿直角三角形两直角边两点进行折叠 已知：在中，折痕沿直角边和斜边上的点折叠 如图5，以所在的直线为折痕，折叠，则垂直平分，. 图5 【题型4】沿直角三角形两直角边上两点进行折叠 【例题4】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，分和两种情形，结合折叠的性质，勾股定理求解即可． 解：在中，，， ∴； ①当时，如图， 由折叠得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 即：； ②当时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， 又， ∴， 设，则， ∴, ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上，的长为或． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，D、E分别在上，且.将沿所在直线折叠，使C点落在斜边上的F点处，求的长． 【答案】3.6 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，连接，根据折叠的性质可知，，得到，根据勾股定理求出的长，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等． 解：如图，连接， 根据题意得，，又， ， ，，， 根据勾股定理可得， 根据面积法可得， ， ． 模型（五）沿矩形对角线进行折叠 已知：如图6，在矩形中，以对角线为折痕,折叠,点对应点为. 结论:（1）;（2）折痕垂直平分；（2）为等腰三角形. 图6 【题型5】沿矩形对角线进行折叠 【例题5】 （24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在长方形中，，． （1）求对角线的长； （2）点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 【答案】（1）15；（2）4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确根据勾股定理建立方程是解题的关键． （1）根据题意在中，由勾股定理可求得的长； （2）利用折叠的性质，设，则，．在直角中，利用勾股定理构造方程可求得的值． 解：（1）解：由题意可知：，， 在中，； （2）由折叠可知：，，． 设，则，． 在中，，则，解得：． 即：． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键，由已知条件可证，得到，利用折叠知，设，则，在中，利用勾股定理即可求得的值，再利用面积公式即可得解． 解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由翻折得，，， ∴， 又∵ ∴ ∴，， 设，则 在中，，， ∴， ∴重叠部分的面积为， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先证明，设，可得，再利用勾股定理求解即可． 解：长方形纸片沿折叠， ∴， ∵在长方形纸片中，，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：3． 模型（六）沿矩形一直角顶点和一边上一点进行折叠 已知：在矩形中，以过点的直线为折痕,折叠,点对应点为.分为三种情况， 图7、图8中，（1）;（2）折痕垂直平分. 图9中，（1）；（2）折痕垂直平分. 图7 图8 图9 【题型6】沿矩形一直角顶点和一边上一点进行折叠 【例题6】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： （1）的长． （2）的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 解：（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 模型（七）沿矩形邻边上两点进行折叠 已知：在矩形中，E、F是矩形邻边上两点. 如图10，，垂直平分; 图10 【题型7】沿矩形邻边上两点进行折叠 【例题7】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ； 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换、勾股定理，解题的关键是折叠的性质找到线段之间的关系，首先设，可得，根据折叠的性质可得：，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值即可． 解：如下图所示， 设， ， ， 根据折叠的性质可得：， 在中，, ， 解得： 故答案为： ． 【变式2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在矩形中，，，P是边上的一点，，Q是边上的动点，沿将折叠，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，最短距离等知识点，熟练掌握其性质并能找到的运动轨迹是解决此题的关键．根据确定点的运动轨迹是在以点P为圆心，的长为半径的圆弧上运动，再由Q是边上的动点和最短距离即可得解． 解：，P是边上的一点，，Q是边上的动点，沿将折叠， 是在以点P为圆心，的长为半径的圆弧上运动，如图所示， 当Q与C重合时，有最大值， 根据“两点之间线段最短”知， 当在与圆弧的交点处时，最小， 故答案为：，3． 模型（八）沿矩形对边上两点进行折叠 已知：在矩形中，以过边上任意两点所在直线分为三种情况. （1）如图11，对应点恰好落在边上，四边形四边形，这时垂直平分; （2）如图12，对应点恰好落在矩形外面，四边形四边形，这时垂直平分. 图11 图12 【题型8】沿1矩形对边上两点进行折叠 【例题8】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与点重合，点与点重合，若，求： （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）阴影部分的面积为 【分析】此题主要考查了折叠的性质、勾股定理的应用： （1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长；过点作于，在 中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （2）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 解：（1）解：由折叠可知， 设，则， 在中，， ， 解得：， ； 过点作于，则， 在中， ，由勾股定理：，即， ． ， ， ， ； （2）解：过点作于， ， ，， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 解：由折叠可得：， ，， ， ， 故选：B． 二．同步练习​ 基础夯实（20题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 2．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．则的面积为（    ） A．6 B．12 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，折叠，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据题意和勾股定理得，根据折叠的性质得，，，即，，设，则，，在中，根据勾股定理得，，即，进行计算得，即可得． 解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿折叠，使点C落在边的点， ∴，，， ∴，， 设，则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， ∴， 解得， ∴的面积为：， 故选：A． 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．证出，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 解：∵四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故选B． 5．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在纸片中，，，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，则，平分，再根据三角形周长公式可得的周长，根据直角三角形的性质可得，据此可得答案． 解：∵在纸片中，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，平分， ∴的周长， 故①②④正确； 由对折可得：， ∴， ∴，故③错误； ∴正确的只有①②④， 故选：C． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期中）将长方形纸片按如图所示折叠，已知，则蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片．本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 解：如图，展开长方形，由题意得，，， ∴， ∴蚂蚁在纸片上从点处爬到点处需要走的最短路程是， 故选∶ ． 7．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 8．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可． 解：∵， ∴， ∴根据勾股定理得， 根据折叠可得：， ∴， 设，则， 在中：，即， 解得：， 故答案为：B． 二、填空题 9．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为 ． 【答案】1.5 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的不变性是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，，然后设，在中，由勾股定理建立方程求解． 解：中，，，， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴，， 设，则有， ∴， ∴． 故答案为：1.5． 10．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 【答案】5.8 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题；根据题意得到，设，利用勾股定理得到，计算求解即可． 解：根据题意得，， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴在中， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理反推出，是直角三角形，，再由折叠的性质得到，设，则，得到，解方程即可解答． 本题考查了勾股定理，直角三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵折叠落在直线上， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ． 故答案为：6． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，．如图D、E分别是和边上的点，把沿直线折叠，若点B落在边上的点F处，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 解：如图，根据题意，得， 设，则， 根据题意，得， ∴ 当取最大值，有最小值， 当时，最大，此时点B落在A处时，取得最小值， 解得：，即CE的长为． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 解：由题意可得：，， ∵点是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）将矩形纸片 按如图所示折叠，已知，，． 则蚂蚁从点 A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片． 本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 解：如图，展开矩形，则， ∵矩形对边平行相等， ∴ ∴， 故答案为：26 ． 16．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在长方形中，，，E、F分别在边、上．现将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、．当点恰好与点D重合时，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识．由翻折的性质可得，，，由勾股定理可得出答案． 解：四边形是矩形， ，， 由翻折的性质可知：，，， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：5． 三、解答题 17．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，如图折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，如，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理在翻折中的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答．首先根据勾股定理求出的长，借助翻转变换的性质及勾股定理列式求出的长即可解决问题． 解：∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， 由折叠得：，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 18．（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上． （1）若，求，的度数； （2）若，求． 【答案】（1），；（2） 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． 解：（1）∵， ∴， ∵把长方形纸片沿折叠， ∴， ∴； （2）∵把长方形纸片沿折叠， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，，．如图，在长方形中，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理的应用．利用角的关系求得，再在中，由勾股定理求得的长，据此即可求解． 解：∵折叠，点恰好落在线段上的点处 ∴，，，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴ ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． （2）如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 巩固提升（20题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，掌握翻折的性质是解题的关键，首先根据勾股定理求出的长，然后利用折叠的性质求出的长，在中，设，则，根据勾股定理求出x的值即可，即可求解． 解：，，， ， 根据折叠的性质，，， 在中，设，则，根据勾股定理得 解得 ， 的面积， 故选：． 2．（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）如图，是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用；由勾股定理可得．根据翻折可得；设，根据图形翻折可得，在直角三角形中，根据勾股定理可得，求解再进一步解答即可． 解：， ∴． 根据翻折可得：， 设， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 解得：． 在直角三角形中，由勾股定理可得： ． 故选A． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点D，E分别在边，上，沿折叠，使点B与点C重合．若，，则的长为（   ） A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，连接，由折叠的性质可得，，设，则，在中，，在中，，即，整理求解即可得出答案． 解：连接，如下图： 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 整理得：， 解得：， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点B折叠纸片，使点A落在上的点F处，折痕为．若长为4，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，，由勾股定理可求的长，进而可求的长，再利用勾股定理可求的长． 解：由折叠可知：，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点B恰好落在上的点F处．若，，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理．证明可得，设，则，，根据勾股定理列方程求解即可． 解：由题意可知，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级下·广西南宁·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调，匀称的美感．世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形设计，如图希腊的帕特农神庙等．我们可以通过折叠得到一个黄金矩形．正确的折叠顺序是（） A．①②③④ B．④③①② C．①④③② D．④①③② 【答案】C 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，折叠，勾股定理，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据题意，逐一分析判断即可解答． 解：由图可知，正确的折叠顺序是①④③②． 根据题意，设． ∵四边形正方形， ∴． 根据折叠易得，点A是的中点，则． ∴． 根据折叠可知，则， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 故选C． 7．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键． 根据折叠的性质，得出，进而得出，由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果． 解：第一次折叠，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，， ∴， 第二次折叠，如图③，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．（2025·河南安阳·二模）阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为，的正方形和正方形，连接，得到以为对称轴的六边形，如图①； 第二步：将长方形纸板沿折叠，沿四边形的边剪下六边形，再沿把剩余的纸板剪开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形和六边形，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形的面积为，图③中六边形的面积为，．小强同学得出了以下四个结论： ①；②；③；④．则其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先分别分析、的构成并计算，再根据面积相等推导结论．本题主要考查勾股定理的验证，利用图形割补后面积不变建立等式是解题的关键． 解： 是由边长为的正方形、边长为的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积分别为、，直角三角形面积为，两个就是， ∴，故①错误． 是由边长为的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积为，直角三角形面积为，两个就是， ∴，故②错误． ∵操作过程只是裁剪、翻转、拼接，面积不变， ∴，即， 化简可得，故③④正确 ， 故选：B． 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 解：在长方形中，，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 解得：， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 本题分点与点重合，此时的值最大，点与点重合，此时的值最小，求出两个极值即可． 解：作交的延长线于点， ∴，如图1： 点与点重合，此时的值最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 点与点重合，此时的值最小，如图2： ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，最小值是，最大值是， 故答案为：，； 11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边关系是解题的关键．由折叠性质可知，然后根据三角形的三边关系可进行求解． 解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 12．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，中，分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为3或． 13．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，是上一点，且，是边上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理，三角形的三边关系，连接，由勾股定理可得，，由折叠可知，，由三角形三边关系可知，，当点在线段上时取等号，由此可求得结果． 解：∵，，，， ∴， 连接，则， 由折叠可知，， 由三角形三边关系可知，，当点在线段上时取等号， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 14．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图， 已知中，， ， A，点D是边上的一个动点．将 沿所在直线折叠，点C的对应点为点E，若点E在边上，则C，E两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，勾股定理。连接交于, 由，将沿所在直线折叠，点的对应点为点，可得, 设,则,在中, 由勾股定理可得,利用三角形的面积即得，故 解：连接交于, 如图: ， ， ∵将沿所在直线折叠，点的对应点为点， ，， ， 设 则 ， 在中，， ， 解得， ， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为： 15．（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，，，点D为边的中点，点P为边上任意一点，若将沿折叠得，若点E在的中位线上，则的长度为 ． 【答案】或3． 【分析】分别画三角形的三条中位线，根据题意点E只能落和上，分别画出图形，进行分析，利用折叠的性质和勾股定理解答即可． 解：在中，，，， ①如图，设边中点为M，连接， ，， 当E在上时， 由折叠可知，，，， ， 在中， 即： 解得： ②如图，设边的中点为N，连接， 当E点落在上时， ，， 由折叠可知， ， 四边形是正方形 ③如图，设、中点分别为M、N，作射线， ， 点D到的距离为 由折叠可知， 故E点不可能落在上, 综上所述， 故答案为：或3． 【点拨】本题考查翻折变换（折叠问题），熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键． 16．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1），将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2），继续折叠纸片，使得点与点重合，折痕是，得到多边形（如图3），将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒棒糖的糖果部分（如图4）．      （1）图1中的长为 ． （2）图3中的长为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）在直角三角形纸片中，，勾股定理求得，如图1中，设，则，，在中，勾股定理即可求解； （2）设交于点，根据折叠可得，证明，在中，勾股定理求得，进而证明，即可求解． 解：（1）在直角三角形纸片中，， ∴， 如图1中，设，则，， 根据折叠可得，， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． （2）∵折叠， ∴，， ∴； 在图2中，设交于点，根据折叠可得，    ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 在图3中，∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，三角形纸片中，，，为的中点，折叠三角形纸片，使点与点重合，为折痕，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的边长问题，掌握中点的性质、折叠的性质、勾股定理是解题的关键．根据中点的性质得，再根据折叠的性质得，求出，，根据勾股定理列方程即可求出CF的值，即可求出AF的值． 解：∵，为的中点 ∴ 由题意， ∴， ∴，即 解得． ∴． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知，，，点为射线上一点，将沿折叠得，过点作的平行线交所在直线于点，作，垂足为． （1）如图（1），若，求的长； （2）如图（2），若，设，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握数形结合的数学思想是解题的关键； （1）根据题意，证明，从而证明，在中，求出的长度，进而求解即可； （2）分两中情况，分别讨论，利用全等三角形的性质和判定，结合勾股定理即可求解； 解：（1）解：将沿折叠得， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设， 在中，， 解得：， ； （2）解：根据题意，作图如下： 设，则 ， 在中， ， 解得：， 第二种情况：根据题意作图如下： ，， ， ，， ，， ， ， 在中，， 解得：， 综上所述：的值为或 19．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）20；（3） 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 解：（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践． 课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接． （1）如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则________（填“”、“”或“”）； （2）如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段的长； （3）如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数． 【答案】（1）；（2）4；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，角平分线性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到 （2）由点是的中点，，得到，根据折叠的性质的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （3）根据角平分线的定义得到．由折叠的性质得到．等量代换得到，根据三角形的内角和定理得到结论． 解：（1）将沿直线折叠，点恰好与点重合， 故答案为： （2）点是的中点，， 将沿直线折叠，点落在的中点处， （3）平分， 由折叠可知：． 又， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$