1.2.3 充分条件、必要条件学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学学案聚焦充分条件、必要条件及充要条件的定义与辨析，从命题真假判断切入，通过推出符号建立条件与结论的逻辑关系，梳理从真命题到充分必要条件的知识脉络，搭建递进式学习支架。 资料以结构化知识梳理夯实基础，结合例题解析培养推理意识，课堂训练融入古文情境（如“身正令行”），课后习题分层设计。助力学生用抽象能力构建概念体系，以应用意识联系现实，提升数学思维与表达能力，高效突破重难点。

1.2.3充分条件、必要条件 1、 学习目标 1.掌握充要条件的定义； 2.会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件； 3.理解数学定义与充要条件的关系. 二、重难点 重点：充要条件的相关概念. 难点：充要条件与教学定义之间的关系的理解. 三、知识梳理 1.真命题与推出符号 在“如果，那么”形式的命题中，称为命题的条件，称为命题的结论. 若“如果，那么”是一个真命题，则称由可以推出，记作________，读作“推出”；否则，称由推不出，记作________，读作“推不出”. 2.充分条件与必要条件 “如果，那么”为真命题 是的________条件 是的________条件 3.充分不必要条件与必要不充分条件 一般地，如果 且 ，则称 是 的________． 如果 且 ，则称 是 的________． 4.充要条件 是的________条件，简称为________条件 此时，也读作“ 与 等价”“ 当且仅当 ”． 4、 应用举例 例题1.下列各题中，p是q的什么条件？ （1），； （2），； （3）p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等. 答案：（1）必要不充分条件 （2）充要条件 （3）充分不必要条件 解析：（1）由得， 所以由不能推出；由能推出； 所以p是q的必要不充分条件； （2）由得，所以，即p是q的充要条件； （3）若两三角形全等，则两三角形面积必相等，即由p能推出q； 由三角形面积相等，不能推出三角形全等，即由q不能推出p； 所以p是q的充分不必要条件. 例题2.写出的一个充分不必要条件，以及一个必要不充分条件. 答案：充分不必要条件是；必要不充分条件是 解析：（答案不唯一）根据充分条件与不必要条件的概念，只需能推出，但不能被推出即可， 故的一个充分不必要条件是； 根据必要不充分条件的概念，只需能由推出，但不能推出即可， 故的一个必要不充分条件是. 五、课堂训练 1.设区间，，判断是否是的充分条件和必要条件. 2.说明下述命题是否可以看成判定定理或性质定理，如果可以，写出其中涉及的充分条件或必要条件： （1）形如（b是常数）的函数是二次函数； （2）菱形的对角线互相平分. 3.下列各题中，p是q的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”，下同）？ （1），； （2），有意义； （3），. 4.“有两个角之和为的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义？为什么？ 5.下列各题中，p是q的什么条件？ （1），； （2），； （3），. 六、课后练习 1.“”是“”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.设；，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( ) A. B. C.或 D.或 3.“其身正，不令而行;其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》.意思是:当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻;如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守.根据上述材料，“身正”是“令行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设集合，，，或，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列说法错误的是( ) A.“”是“”的必要不充分条件 B.“”的一个充分不必要条件是“” C.“”是“”的必要不充分条件 D.“m是实数”的一个充分不必要条件是“m是有理数” 6.“一元二次方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 7.（多选）下列说法正确的是( ) A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的充分不必要条件 C.“或”是“”的充要条件 D.“”是“”的必要不充分条件 8.（多选）下列选项中，p是q的必要不充分条件的有( ) A.， B.， C.p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等 D.，， 9.设非空集合，，则的充要条件为__________. 10.判断下列命题中p是q的什么条件. （1），或； （2）有两个角相等，是正三角形； （3），，. 答案及解析 三、知识梳理 1. 2.充分 必要 3.充分不必要条件 必要不充分条件 4.充分必要 充要 五、课堂训练 1.答案：不是的充分条件，是的必要条件 解析：因为，，所以B是A的真子集； 因此由不能推出，由能推出； 所以不是的充分条件，是的必要条件. 2.答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）根据命题的形式，可得这是一个判断二次函数的命题，所以可以看成一个判定定理； 由“形如（b是常数）的函数”能推出“这个函数是二次函数”， 可得：“形如（b是常数）的函数”是“这个函数是二次函数”的充分条件；“这个函数是二次函数”是“形如（b是常数）的函数”的必要条件； （2）根据命题的形式，可得这是一个关于菱形性质的命题，所以可以看成一个性质定理；这可以看成菱形的一个性质定理， 由“四边形是菱形”能推出“四边形对角线互相平分”， 因此“四边形是菱形”是“四边形对角线互相平分”的充分条件；“四边形对角线互相平分”是“四边形是菱形”的必要条件. 3.答案：（1）必要不充分条件 （2）充要条件 （3）充分不必要条件 解析：（1）因为由不能推出；由能推出；所以p是q的必要不充分条件； （2）因为有意义，所以，所以，即p是q的充要条件； （3）由得，所以由能推出；由不能推出；所以p是q的充分不必要条件. 4.答案：可以，理由见解析 解析：可以作为直角三角形的定义. 因为“有两个角之和为的三角形”“有一个内角为的三角形”“直角三角形”， 即“有两个角之和为的三角形”是“直角三角形”的充要条件， 故“有两个角之和为的三角形称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义. 5.答案：（1）充分不必要条件 （2）充要条件 （3）必要不充分条件 解析：（1）若，则；因为空集是任意集合的子集， 所以由能推出； 反之，不一定成立；所以p是q的充分不必要条件； （2）由得；所以，即p是q的充要条件； （3）根据交集的概念，且， 所以由不能推出；由能推出； 因此p是q的必要不充分条件. 六、课后练习 1.答案：B 解析：若等价于或，所以由不能推出， 若，则，即由可以推出， 所以是的必要且不充分条件. 故选：B. 2.答案：A 解析：若p是q的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得.故选A. 3.答案：C 解析：由题意:其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件; 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选:C. 4.答案：C 解析：，或，，或，，“”是“”的充要条件. 5.答案：B 解析：易知A，C，D正确，由，解得或，故“”的一个必要不充分条件是“”，因此B中说法错误.故选B. 6.答案：C 解析：一元二次方程有一个正根和一个负根，等价于解得，因为.故选C. 7.答案：BC 解析： A × . B √ ，但，如. C √ 方程的两根为2，. D × ，如，. 8.答案：AD 解析：对于A，，但， 是q的必要不充分条件，A正确； 对于B，由，得，由，得，是q的充要条件，B错误； 对于C，两个三角形全等，则面积一定相等，但两个三角形面积相等，不一定全等， 是q的充分不必要条件，C错误； 对于D，当，时，， 当时，，不一定成立，如，，是q的必要不充分条件，D正确.故选AD. 9.答案： 解析：非空，，.由于，又，则，即.故.又，故， 的充要条件为. 10.答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充要条件 解析：（1）因为“”能推出“或”，即， 但“或”推不出“”， 如，即，所以p是q的充分不必要条件. （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即， 但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即， 所以p是q的必要不充分条件. （3）若，则，即； 若，则，即， 故，所以p是q的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$