1.1.1 集合及其表示方法学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.1.1集合及其表示方法 一、学习目标 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 二、重难点 重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合. 难点：用描述法表示集合. 三、知识梳理 1.集合：把一些能够________、________对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).通常用英文大写字母____________表示. 2.元素：组成集合的________都是这个集合的元素，通常用英文小写字母____________表示. 3.元素与集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 ________ a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素 ________ a不属于A 4.空集：把________任何元素的集合称为空集，记作________. 5.集合中元素的特点 （1）确定性：集合的元素必须是________的. （2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是________的. （3）无序性：集合中的元素可以________. 6.相等集合：给定两个集合A和B，如果组成它们的元素______________，就称这两个集合相等，记作________. 7.集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为________，含有无限个元素的集合称为________. 8.几种常见的数集 名称 自然数集(或非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 _________ ____ ____ ____ ____ 9.集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素______出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为____________，这种表示集合的方法称为描述法. 10.区间的几何表示 （1）. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} ________ [a，b] {x|a＜x＜b} ________ (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 ________ {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 ________ （2）实数集R的区间表示：实数集R可以用区间表示为____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”． 四、应用举例 例题1.用适当的方法表示下列集合： （1）英语单词mathematics（数学）中的所有英文字母组成的集合； （2）方程的所有解组成的集合； （3）绝对值小于0的所有实数组成的集合. 答案：（1） （2） （3） 解析：（1）英语单词mathematics（数学）中的所有英文字母组成的集合，列举法表示为； （2）方程的所有解组成的集合描述法表示为； （3）不存在绝对值小于0的实数，集合为或用描述法表示为. 例题2.已知集合且，求x的值. 答案：或 解析：，或，或. 当时，，满足集合元素的互异性，符合题意； 当时，，也满足集合元素的互异性，也符合题意. 综上，x的值为或. 五、课堂训练 1.用区间表示不等式的所有解组成的集合A. 2.设区间，，是否有实数x，使得且？举例说明. 3.用区间表示下列集合： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 4.下列的集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？ （1）使得式子有意义的所有实数组成的集合； （2）使得式子有意义的所有自然数组成的集合； （3）方程的所有实数解组成的集合. 5.用符号“”或“”填空： （1）0__________； （2）__________； （3）__________； （4）2017__________. 6.用符号“”或“”填空： （1）2__________N； （2）__________Q； （3）__________Z； （4）3.14__________R； （5）__________N； （6）__________Q. 7.用列举法表示下列集合： （1）我国古代四大发明组成的集合； （2）大于2且小于15的所有素数组成的集合； （3）. 8.用描述法表示下列集合： （1）小于1500的正偶数组成的集合； （2）所有矩形组成的集合. 六、课后练习 1.下列集合中表示空集的是( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，若，且，则( ) A. B. C. D. 3.下列各组对象可以构成集合的是( ) A.某中学所有成绩优秀的学生 B.边长为2的正方形 C.比较大的数字 D.著名的数学家 4.下面说法中，正确的为( ) A.且或 B. C. D.集合不满足元素的互异性 5.用描述法表示函数图象上的所有点的是( ) A. B. C. D. 6.（多选）已知非空数集M具有如下性质：①若x，，则;②若x，，则.下列说法中正确的有( ). A. B.. C.若，则 D.若，则. 7.集合用列举法表示为______. 8.若集合是空集，则a的取值范围是________.（用区间表示） 9.已知，集合中的元素恰有个整数，则m的取值范围是________. 10.已知集合. （1）若A中只有一个元素，求a的值，并写出A； （2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围. 答案及解析 一三、知识梳理 1.确定的 不同的 A，B，C… 2.每个对象 a，b，c… 3.a∈A a∉A 4.不含 ⌀ 5.（1）确定 （2）不同 （3）任意排列 6.完全相同 A=B 7.有限集 无限集 8.N N+或N* Z Q R 9.（1）一一列举 （2）. 10.（1）闭区间 开区间 [a，b) (a，b] （2）(－∞，＋∞) 五、课堂训练 1.答案： 解析：由可知，所以. 2.答案：见解析 解析：在区间上取任意的实数x均满足且，例如，等. 3.答案：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 4.答案：（1）无限集，（2）（3）有限集 解析：（1）式子有意义则，大于等于2的实数有无数多个，所以此集合为无限集； （2）式子有意义则，小于等于3的所有自然数为0，1，2，3，所以此集合为有限集； （3）方程没有实数解，所以此集合为有限集， 5.答案：（1） （2） （3） （4） 解析：（1）为不含有任何元素的集合，所以； （2），； （3），. （4）因为2017不能被表示为的形式，所以. 6.答案：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 解析：（1）N为自然数集，2是自然数，所以； （2）Q表示有理数集，为无理数，所以； （3）Z为整数集，是分数，所以； （4）R表示实数集，所以； （5）N为自然数集，不是自然数，所以； （6）Q表示有理数集，是有理数，所以. 7.答案：（1）{指南针，火药，造纸术，印刷术} （2） （3） 解析：（1）我国古代四大发明组成的集合为{指南针，火药，造纸术，印刷术}； （2）大于2且小于15的所有素数组成的集合为； （3）. 8.答案：（1）且 （2）是矩形} 解析：（1）小于1500的正偶数组成的集合为且； （2）所有矩形组成的集合为是矩形}. 三、课后练习 1.答案：D 解析：对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意; 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意; 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意; 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选:D. 2.答案：B 解析：因为，，所以，且. 故选:B 3.答案：B 解析：成绩优秀的学生、比较大的数字、著名的数学家这三组对象均不满足确定性，故ACD错误；边长为2的正方形满足确定性，可以构成集合，故B正确；故选：B. 4.答案：C 解析：对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误; 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误; 对于选项C：因为集合，元素相同， 所以，故C正确; 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误; 故选：C. 5.答案：C 解析：因为集合是点集，所以代表元素是，所以用描述法表示为.故选C. 6.答案：BC 解析：对于A，若，令，则，，令，， 则，，令，，不存在，即，矛盾，所以，故A错误， 对于B，由于集合M非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②， 得，进而，，，故B正确， 对于C，因为，，所以，因为，，所以，故C正确， 对于D，若，，则，故D错误， 故选：BC. 7.答案：或 解析：. 故答案为: 8.答案： 解析：若，则方程无解，所以; 若，由方程无解， 可得即，此时. 综上可知，实数a的取值范围为：. 故答案为： 9.答案： 解析：因为集合中的元素恰有两个正数， 所以，解得， 当时，集合A中的两个整数分别为2、3， 则，解得; 当时，，此时，集合A中元素为整数的只有3、4，合乎题意， 综上所述，实数m的取值范围是. 故答案为:. 10.答案：（1）当时，；当时， （2），或 解析：（1）若集合A中只有一个元素， 则当时，方程化为，解得，所以； 当时，，所以， 这时方程有两个相等的实数根， 解得，所以. 综上所述，当时，；当时，. （2）若集合A中至多只有一个元素， 则当时，方程的判别式，解得； 当时，方程有一个实数根. 故a的取值范围是，或. 学科网（北京）股份有限公司 $$