22.1.2 二次函数y=ax^2的图象和性质 课件 2025—2026学年 人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过回顾一次函数“概念→图象→性质”的学习脉络及描点法作图方法，提出二次函数图象形态、系数符号影响等问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于融入动态图象展示（如会变化的y=x²图象），通过对比不同a值函数图象，引导学生观察归纳开口方向、大小等性质，培养几何直观与推理意识。课堂小结用表格系统呈现性质，助学生构建知识模型，既提升学生数形结合能力，也为教师提供清晰教学路径，提高教学效率。

人教新版 九上 数学 同步课件 2025年秋人教九上数学情境课堂教学课件 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 21.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质 1. 会用描点法画出形如 y=ax² 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念. 2. 通过观察图象能说出二次函数 y=ax² 的图象特征和性质. 3. 在类比探究二次函数 y=ax² 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想. 重点 难点 学习目标 1. 八年级我们学习了一次函数的什么内容？顺序是什么？ 概念 图象 性质 2. 还记得如何研究图象和性质的吗？ 列表、描点、连线 函数图象 图象的性质； 思考 (1)二次函数的图象是否仍是一条直线呢？若不是，那是什么呢？ (2)系数的符号(正负)与函数图象、性质是否有关呢？ 本节课我们将从最简单的二次函数 y=x² 开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质. 新课引入 以上问题学生回答言之有理即可 做一做 画出二次函数 y=x² 的图象. 1.列表：在 y = x2 中，自变量 x 可以是任意实数， 列表表示几组对应值； 9 4 1 0 1 4 9 为了便于计算和图象的准确性，我们取的x和y均为整数 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y = x2 ... ... 还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？ 点击查看：会变化的二次函数y=ax2的图象 新知学习 2.描点：根据表中x， y 的数值在坐标平面中描出点(x，y)； 3.连线：再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y=x² 的图象. -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 新知学习 问题1 观察二次函数的图象，它的形状类似于什么？ 投篮 掷铅球 二次函数 y=x² 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上. 这条曲线叫做抛物线 y=x² . 实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下. 一般地，二次函数 y=ax²+bx+c的图象叫做抛物线 y=ax²+bx+c. 新知学习 -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 抛物线y = x2 与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点，它是抛物线y = x2的最低点. x取值关于原点对称时，y值相同——y轴是抛物线y = x2 的对称轴. 当取更多个点时，二次函数 y=x² 的图象如下： 新知学习 问题2 根据以往学习函数图象特征的经验，说说二次函数 y = x2 的图象有哪些特征? 1. y＝x2 的图象是一条抛物线； 2. 图象开口向上； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 顶点 (0，0)； 5. 图象有最低点． -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 新知学习 问题3 观察二次函数 y=x² 的图象，y 随 x 如何变化？ 从二次函数 y=x² 的图象可以看出： 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降→当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小； 在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升→当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 新知学习 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 ，y=2x2的图象. 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ... ... 1.列表： 4.5 8 x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 2.描点： 3.连线： -4 -2 2 4 8 6 4 2 新知学习 问题4 函数 ，y=2x2的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？ -4 -2 2 4 8 6 4 2 共同点：开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点； 不同点：开口大小不同， x2的系数越大，抛物线的开口越小. 新知学习 二次函数 a的符号 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 问题5 当a＞0时，二次函数 y=ax2 的图象有什么特点？ y=ax2(a≠0) a＞0 向上 （0，0） y轴 在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而减小 在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而增大 当x=0时， a越大，抛物线的开口越小. 新知学习 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y = -x2 ... ... 1.列表： 做一做 画出二次函数 y =- x2， ，y=-2x2 的图象. -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ... ... -4.5 -8 x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=-2x2 ... ... -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 新知学习 2.描点： 3.连线： y =- x2 新知学习 问题6 函数 y=-x2， ，y=-2x2的图象之间，有什么共同点和不同点？ 共同点：开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点； 不同点：开口大小不同， x2的系数越小，抛物线的开口越小. 新知学习 二次函数 a的符号 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y=ax2(a≠0) a＜0 向下 （0，0） y轴 在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而增大 在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而减小 问题7 当a＜0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ 当x=0时， a越小，抛物线的开口越小. 新知学习 问题8 观察右边图象，抛物线y =ax2与y =-ax2 （a＞0） 的图象有什么特点？ 二次项系数互为相反数时，开口方向相反，开口大小相同，它们关于x轴对称. |a|越大，抛物线的开口越小. y =- x2 新知学习 变式 二次函数y =ax2 与y =-2x2 的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a=_____. 2 例2 夕夕用软件绘制抛物线 y =4x2 时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是( ) A.开口方向 B.开口大小 C.对称轴 D.顶点坐标 B 新知学习 1.(2024广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则( ) A. y3>y2>y1 B. y2>y1>y3 C. y1>y3>y2 D. y3>y1>y2 A 随堂练习 解：根据题意，得k+2≠0且k2+k-4=2， 解得k1=-3，k2=2， ∵当x<0时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0， ∴k=-3. 2.已知函数 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大. (1)求k的值； (2)直接写出顶点坐标和对称轴. (2)由(1)得y=-x2， ∴顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴. 随堂练习 3. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围． 解：在二次函数 y = x2 中， 当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0. ∵ 当 x≥m 时，y最小值 = 0， ∴ m≤0． 随堂练习 4.已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于 A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积? B 解：由题意的 解得 或 ∴ 此两函数的交点坐标为A (4，16)，B (−1，1)． ∵ 直线 y＝3x＋4 与 y 轴相交于点 C (0，4)，即 CO＝4， ∴ ∴ S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 随堂练习 二次函数 y=ax2(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图象 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 1.二次函数y=ax2的图象和性质： （0，0） y轴 当x=0时，y最小值=0 当x= 0时，y最大值=0 在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而增大 在对称轴的左侧（即x＜0），y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（即x＞0），y随x的增大而减小 课堂小结 y=ax2 a 的符号决 定开口方向 的大小决 定开口大小 a＞0， 开口 向上 a＜0， 开口 向下 越大， 开口越小 2.二次函数y=ax2的开口方向及大小： 课堂小结 $$