精品解析：安徽省江淮十校2026届高三第一次联考（8月）数学试题

江淮十校2026届高三第一次联考 数学试题 2025.8 命审单位：阜阳一中 命审人：冉东亮 刘紫涵 申仲杰 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，,则四面体的体积（ ） A. 与，都有关 B. 与，都无关 C. 与有关，与无关 D. 与有关，与无关 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行六面体中，各棱长均为2，．则下列命题中正确的是（ ） A. 不是空间的一个基底 B. C. D. 四边形的面积为2 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 11. 对于定义在区间I上的函数，若存在正数，使得不等式对任意不同的实数恒成立，则称函数在区间I上是“-理想函数”，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是“2-理想函数” B. 若函数在上是“-理想函数”，则的最小值为 C. 设，如果是“2025-理想函数”，且的零点也是的零点，，则方程在区间上有解 D. 若函数在上是“1-理想函数”，且，则存在满足条件的函数，存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，若，则公比______． 13. 若，且，，则的值为_______________． 14. 已知不等式对任意恒成立（a，），则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值及单调减区间. 16. 已知各项均为正数的数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 17. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足， （1）求C． （2）已知，设M、N为线段上的两个动点（M靠近点A），且．当为何值时，的面积最小？ 18. 三棱锥中，，，．点P在底面上的射影E是线段上靠近点A的四等分点． （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求三棱锥外接球表面积； （3）设靠近的四等分点为F，D是平面内的动点，且C，D在直线的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，（）． （1）证明：曲线关于点对称； （2）若存在，使得关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围; （3）若，在上的值域为，在上的值域为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江淮十校2026届高三第一次联考 数学试题 2025.8 命审单位：阜阳一中 命审人：冉东亮 刘紫涵 申仲杰 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法可得，结合共轭复数的定义即可得. 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A，解对数不等式求得集合B，再利用交集的定义求解. 【详解】由可得，故， 由可得，解得，故， 所以. 故选：C. 3. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算及投影向量的定义求解. 【详解】由向量，得，，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 4. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 5. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 6. 在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，,则四面体的体积（ ） A. 与，都有关 B. 与，都无关 C. 与有关，与无关 D. 与有关，与无关 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，设正方体的边长为，可得，到平面的距离为定值，到直线的距离为定值，的面积为定值．从而得到即可求解. 【详解】如图，连接，，，，，，设正方体的边长为 ∵，平面，平面， ∴平面，∴到平面的距离为定值， ∵，∴到直线的距离为定值， ∴的面积为定值． ∵，∴四面体的体积是与m，n无关的定值． 故选：B 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为比较的大小关系，再构造函数，通过导函数研究其单调性即可. 【详解】因是上的单调函数，则的大小关系等价于 ，，三个数的大小． 构造函数， 则， 由，可得， 令，则，则在上单调递增， 又，则，即， 因，则在上恒成立，即在上单调递减， 则，即， 则，则. 故选：A． 8. 在中，，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由已知及三角形内角和、积化和差、辅助角公式得，其中为锐角，且，结合三角函数的性质得，且，进而得，最后应用余弦定理、三角形面积公式求面积. 【详解】由，得， 即，因此， 其中为锐角，且，当且仅当时，等号成立， ，则，故，且， 由，得，解得（负值舍去）， 由及余弦定理得，解得， 因此的面积为． 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行六面体中，各棱长均为2，．则下列命题中正确的是（ ） A. 不是空间的一个基底 B. C. D. 四边形的面积为2 【答案】AC 【解析】 【分析】由基底定义可判断A；由结合向量数量积运算率计算可判断B；由线面垂直判断定理可得平面，由线面垂直性质及可得，可判断C；由线面垂直性质可得，进而可得四边形是正方形，计算可判断D. 【详解】对于A，由，所以向量，，共面， 所以不是空间的一个基底，故A正确； 对于B， ， 所以，故B错误； 对于C，连接交于点，连接，，，如图所示： 由题意可得四边形为菱形，， 所以，， 由且平面，可得平面， 由于，平面，所以，故C正确． 对于D，因为平面，平面，所以， 又，所以，所以四边形是正方形， 又因为边长为2，故四边形的面积为4，故D错误． 故选：AC． 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作差可计算得，，所以数列是递减的等差数列，可判断A；利用等差数列前项和公式计算可判断B；根据等差数列的性质计算可判断C；根据已知条件结合不等式的性质计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 由，所以，所以，且， 所以数列是递减的等差数列，且， 则当时，最大，故A正确； 对于B，由上述分析可知，当时，单调递减， 且，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 对于C，由，且， 所以，即，故C错误； 对于D，因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以； 且，， 则有，， 所以，即， 所以中最小项为，故D正确． 故选：ABD． 11. 对于定义在区间I上的函数，若存在正数，使得不等式对任意不同的实数恒成立，则称函数在区间I上是“-理想函数”，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是“2-理想函数” B. 若函数在上是“-理想函数”，则的最小值为 C. 设，如果是“2025-理想函数”，且的零点也是的零点，，则方程在区间上有解 D. 若函数在上是“1-理想函数”，且，则存在满足条件的函数，存在，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据“-理想函数”的定义即可判断A错误，由幂函数单调性以及不等式恒成立可构造函数，并利用导数求出的取值范围可知B正确；由题意可求出，结合零点定义由三角函数值域以及零点存在定理可判断C正确，易证明函数在上是“1-理想函数”，则对任意，，因此D错误. 【详解】对于A，， 当时，， 所以函数不是“2-理想函数”，故A不正确； 对于B，由函数在上是“-理想函数” 即，显然函数在上单调递增，且， 不妨设，则恒成立， 令，则在上单调递减， 即当时，，即恒成立， 又当时，函数为单调递减，所以， 所以即可，即的最小值为，故B正确； 对于C，因为函数是“2025-理想函数”， 所以，即，所以， 由于的零点为，所以， 又也是的零点，所以， 又，所以，故，， 设，， 由，， 显然此时，由零点存在定理知方程在区间上有解，故C正确； 对于D，函数在上是“1-理想函数”， 则对任意，， 不妨设， 当时，则， 当时，由于， 则， 所以，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，若，则公比______． 【答案】1或 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由题意可得，求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得，所以， 又，所以，所以， 所以，解得或. 故答案为：或. 13. 若，且，，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得出，利用平方关系得到，进而有，再利用正切的和角公式得到，利用角的范围和特殊角的三角函数值，即可求出结果. 【详解】因为，又，所以， 又，所以， 又，故， 所以，得到， 又，所以， 又，所以， 故答案为：. 14. 已知不等式对任意恒成立（a，），则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数得出函数的单调性，得出函数的最小值，再构造，得出函数的最小值即可. 【详解】令，则恒成立， 所以，当时，，不符合题意，舍去； 当时，由，得， 当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增， 所以的最小值为，即，则，所以． 令，则， 所以当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减， 故，故的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值及单调减区间. 【答案】（1）； （2）函数取得最大值，单调减区间为. 【解析】 【分析】(1)利用三角恒等变换的公式将函数化为一个角的余弦函数，再利用周期公式，即可求出的最小正周期； (2)先求出内层函数的值域，再结合余弦函数的图象和性质，即可求出函数的最大值，解不等式即得函数的单调递减区间. 【小问1详解】 解： . 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 解：因为，所以， 所以当，即时，函数取得最大值. 令,所以， 令， 令， 所以函数在上的单调减区间为. 16. 已知各项均为正数的数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)化简题中所给的递推公式，可得数列是公差为1的等差数列，结合首项可得数列的通项公式. (2) 数列的通项公式是等差数列通项公式除以等比数列通项公式的形式，所以其前项和为可用错位相减法得到. 【小问1详解】 解：∵，∴，∴ ∵，∴，∴，∴， 又，∴数列是以为首项，1为公差的等差数列， ∴， ∴数列的通项公式是:； 【小问2详解】 由(1)知， ∴①， ①式左右两端同乘以，得 ②， ①-②，得， 所以数列的前项和． 17. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足， （1）求C． （2）已知，设M、N为线段上的两个动点（M靠近点A），且．当为何值时，的面积最小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角转化可得，由余弦定理结合正弦定理化边为角可得结果； （2），在和中，两次使用正弦定理用表示，再使用面积公式结合三角恒等变换、正弦函数的性质可得结果. 【小问1详解】 由条件知：，由正弦定理得． 因为，所以． 因为，所以． 又由，可得，即，所以． 由正弦定理可得，则， 得，则或（舍去）， 所以． 【小问2详解】 设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为． 18. 三棱锥中，，，．点P在底面上的射影E是线段上靠近点A的四等分点． （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求三棱锥外接球表面积； （3）设靠近的四等分点为F，D是平面内的动点，且C，D在直线的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）法一：连接，利用等体积法，求出点到平面的距离，从而；法二：连接，证得，求得，过B作，证得平面，得到为与平面所成角，在中，求得，利用面积相等法，求得，在直角中，即可求得与平面所成角的正弦值； （2）由几何性质知，球心M在过AB中点O且与面CAB垂直的垂线上，建立空间直角坐标系，设，由，建立方程可求得，即可求得球的表面积； （3）由（2）建系，设，推出D点轨迹方程为（*），分别求出平面和平面的法向量，根据推得，与（*）联立，求出点坐标即可得到之长. 【小问1详解】 法一：连接，由题意，，， 因，，则，即是等腰直角三角形， 故，在中，由余弦定理：， 因，， 设为到平面的距离， 由，可得：，即：， 设与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 法二：连接，因为在底面上的射影是线段靠近点的四等分点， 可得平面，因平面，所以， 在直角中，可得， 又因为平面，所以平面平面，且交线为， 过作于点，连接， 因为平面，由面面垂直的性质，可得平面， 故为与平面的所成角， 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 又由，解得， 在中，由，所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因，则三棱锥外接球的球心在过中点且与平面垂直的垂线上， 以点为坐标原点，所在直线为，轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，设三棱锥外接球的半径为， 设，由，∴， ∴，故，，故三棱锥外接球的表面积为． 【小问3详解】 依题意，，，，，， 设，由， ∴在平面中，点D在以E、F为焦点的椭圆上，则（*）， 设平面的法向量，因，， 因，即，故可取， 设平面的法向量，因，， 由，∴，故可取， 由可得，将其代入（*），解得（舍）或， 此时．而，故． 19. 已知函数，（）． （1）证明：曲线关于点对称； （2）若存在，使得关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围; （3）若，在上的值域为，在上的值域为，求． 【答案】（1）证明：因为， 所以 ，． 又， 即， 所以曲线关于点对称． （2） （3）时，，时，． 【解析】 【分析】（1）由从而可证； （2）由题可得，从而可得对任意的恒成立，令，可得恒成立，再将参数分离，即可求解. （3）当为奇数时，求得，则在上单调递增，从而可求解；当为偶数时，对任意正整数，得，从而，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为当时，，， 所以，由题知存在， 使得对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，则，， 则恒成立，即对恒成立， 因为在上单调递减，即， 所以对恒成立，所以，可得， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 当为奇数时，对任意，且， 由于，， 所以，， 从而， 即，所以在上单调递增， 当时取得最小值0，当时取得最大值1． 所以在上的值域； 当为偶数时，一方面因为时，，， 所以． 另一方面，由于对任意正整数，因为， 则有 ， 所以， 进而 所以时，，当时取得最大值1， 当时取得最小值． 所以时，在上的值域， 而时，在上的值域； 综上，时，，时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $