第一章 专题二 本章重难点-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 特殊平形四边形 专题二　本章重难点 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 一、菱形的性质与判定 【例1】（2024·临夏州）如图SZ1－2－1，O是坐标原点，菱形 ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶 点A的坐标为（　C　） 图SZ1－2－1 A. （－4，2） B. （－，4） C. （－2，4） D. （－4，） C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例2】（2024·攀枝花）如图SZ1－2－2，四边形ABCD是平行四 边形，给出下列四个条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③ AC⊥BD；④AC平分∠BAD. 若添加其中一个条件，不能使四边形 ABCD是菱形的为（　B　） 图SZ1－2－2 B A. ① B. ② C. ③ D. ④ 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例3】（2024·广东改编）如图SZ1－2－3，菱形ABCD中，∠A ＝60°，AB＝6，E，F分别是AB，BC上的动点，连接DE，DF， ∠EDF＝60°，则图中阴影部分的面积是 ⁠. 图SZ1－2－3 　　　　　　　　　　　　　　　　　 9 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例4】如图SZ1－2－7，在菱形ABCD中，AB＝4，F是CD边上一 点，且DF＝1，E是BC边上的一个动点，M，N分别是线段AE， AF的中点，连接EF和MN. 当点E在BC边上从点B向点C移动时， 线段MN的最小值是（　B　） 图SZ1－2－7 B A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例5】（2024·济南）如图SZ1－2－8，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F. 求证：AF＝CE. 图SZ1－2－8 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD. ∵AE⊥CD，CF⊥AD， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. 在△AED和△CFD中， ∴△AED≌△CFD（AAS）. ∴DE＝DF. ∴AD－DF＝CD－DE， 即AF＝CE. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例6】（2023·沈阳）如图SZ1－2－11，在△ABC中，AB＝AC， AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作 CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE. 求证：四边形BECF 是菱形. 图SZ1－2－11 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD垂直平分BC. ∴EB＝EC，FB＝FC. ∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD. 又∵BD＝CD，∴△EBD≌△FCD（AAS）. ∴EB＝FC. ∴EB＝FB＝FC＝EC. ∴四边形BECF是菱形. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. （2024·绥化）如图SZ1－2－4，四边形ABCD是菱形，CD＝ 5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　A　） 图SZ1－2－4 A. B. 6 C. D. 12 A 【对接中考】 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. （2022·襄阳）如图SZ1－2－5，▱ABCD的对角线AC和BD相交 于点O，下列说法正确的是（　D　） 图SZ1－2－5 A. 若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B. 若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C. 若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 D 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. （2024·广东改编）如图SZ1－2－6，菱形ABCD的对角线的长 分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合）， 且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积 是 ⁠. 图SZ1－2－6 　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.5 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. （2023·德阳）如图SZ1－2－9，▱ABCD的面积为12，AC＝BD ＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交 于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG 的最小值是（　A　） 图SZ1－2－9 A. 1 B. C. D. 3 A 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. （2024·广安）如图SZ1－2－10，菱形ABCD中，E，F分别是 AB，BC边上的点，BE＝BF. 求证：∠DEF＝∠DFE. 图SZ1－2－10 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C. ∵BE＝BF， ∴AB－BE＝BC－BF， 即AE＝CF. 在△DAE和△DCF 中，​ ∴△DAE≌△DCF（SAS）. ∴DE＝DF. ∴∠DEF＝∠DFE. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. （2023·湘西州）如图SZ1－2－12，四边形ABCD是平行四边 形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN. （1）求证：∠DMN＝∠BNM； 证明：（1）如答图SZ1－2－2，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD. ∵BM∥DN，∴∠MBO＝∠NDO. 又∵∠BOM＝∠DON， ∴△BOM≌△DON（ASA）.∴BM＝DN. ∴四边形BMDN是平行四边形. ∴BN∥DM. ∴∠DMN＝∠BNM. 图SZ1－2－12 答图SZ1－2－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若∠BAC＝∠DAC. 求证：四边形BMDN是菱形. 　 证明：（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD. ∴∠BCA＝∠DAC. ∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠BCA. ∴AB＝BC. ∴四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴MN⊥BD. 由（1）知四边形BMDN是平行四边形， ∴四边形BMDN是菱形. 图SZ1－2－12 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 二、矩形的性质与判定 【例7】 （2024·甘肃）如图SZ1－2－13，在矩形ABCD中，对角 线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为 （　C　） 图SZ1－2－13 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例8】 （2023·上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD. 下 列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　C　） A. AB∥CD B. AD＝BC C. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例9】（2023·陕西）如图SZ1－2－15，在矩形ABCD中，AB＝ 3，BC＝4.点E在边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的 动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN. 若PM＋ PN＝4，则线段PC的长为 ⁠. 2 图SZ1－2－15 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例10】（2023·大庆）如图SZ1－2－16，在▱ABCD中，E为线 段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，交BC的延长线于点F，连 接DF，∠ACF＝90°. 图SZ1－2－16 （1）求证：四边形ACFD是矩形； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE. ∵E为线段CD的中点，∴DE＝CE. ∴△ADE≌△FCE（AAS）.∴AE＝FE. ∴四边形ACFD是平行四边形. 又∵∠ACF＝90°，∴四边形ACFD是矩形. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积. （2）解：∵四边形ACFD是矩形， ∴∠CFD＝90°，AC＝DF，AD＝CF. 又∵CD＝13，CF＝5， ∴DF＝＝＝12. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5. ∵△ADE≌△FCE， ∴S△ADE＝S△FCE＝S△ACF＝××5×12＝15， S▱ABCD＝BC·AC＝5×12＝60. ∴S四边形ABCE＝S▱ABCD－S△ADE＝60－15＝45. 图SZ1－2－16 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. （2023·兰州）如图SZ1－2－14，在矩形ABCD中，E为BA延长 线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过 AD与CE的交点G，连接BG. 若AB＝4，CE＝10，则AG＝ （　C　） 图SZ1－2－14 A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 C 【对接中考】 　　　　　　　　　　　　　　　　　 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. （2024·泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中， 不能判定▱ABCD为矩形的是（　D　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝∠C C. AC＝BD D. AC⊥BD D 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 9. （2024·西藏）如图SZ1－2－17，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝12，BC＝5，P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC， PE⊥BC，垂足分别为D，E，连接DE，则DE的最小值是 （　B　） 图SZ1－2－17 B A. B. C. D. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 10. （2023·内江）如图SZ1－2－18，在△ABC中，D是BC的中 点，E是AD的中点，过点A作FA∥BC，交CE的延长线于点F. （1）求证：FA＝BD； 图SZ1－2－18 证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE. 又∵E为AD的中点， ∴AE＝DE. ∴△AEF≌△DEC（AAS）. ∴FA＝CD. 又∵D为BC的中点， ∴BD＝CD. ∴FA＝BD. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形. 证明：（2）∵FA＝BD，FA∥BD， ∴四边形ADBF是平行四边形. ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝90°. ∴四边形ADBF是矩形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 图SZ1－2－18 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 三、正方形的性质与判定 【例11】（2023·重庆）如图SZ1－2－19，在正方形ABCD中，点 E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若 ∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（　A　） 图SZ1－2－19 A. 2α B. 90°－2α C. 45°－α D. 90°－α A 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例12】（2023·攀枝花）如图SZ1－2－20，已知正方形ABCD的 边长为3，P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点 E，连接PC. 当 PE∶PF＝1∶2时，PC＝（　C　） 图SZ1－2－20 A. B. 2 C. D. C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例13】（2024·内蒙古）如图SZ1－2－21，边长为2的正方形 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上 一点，连接DE，EF. 若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则 △BEF的周长是（　A　） 图SZ1－2－21 A A. 2 B. 2＋ C. 4－2 D. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例14】（2023·绍兴）如图SZ1－2－25，在正方形ABCD 中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD， GF⊥BC，E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延长AG交EF于 点H. 图SZ1－2－25 （1）求证：∠DAG＝∠EGH； （1）证明：∵GE⊥CD， ∴∠GEC＝90°. 在正方形ABCD中，∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠GEC. ∴AD∥GE. ∴∠DAG＝∠EGH. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由. （2）解：AH⊥EF. 理由：如答图SZ1－2－1，连接GC交EF于点O. ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°. 又∵DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG（SAS）. ∴∠DAG＝∠DCG. ∵GE⊥CD，GF⊥BC， ∴∠GEC＝∠GFC＝90°. 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°， 答图SZ1－2－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 ∴四边形FCEG为矩形. ∴EF＝CG，EF＝2OE，CG＝2OC. ∴OE＝OC. ∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠DAG＝∠OEC. 由（1）知∠DAG＝∠EGH， ∴∠EGH＝∠OEC. ∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°. ∴∠GHE＝90°. ∴AH⊥EF. 答图SZ1－2－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【对接中考】 11. （2023·常德）如图SZ1－2－22，在正方形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD， 连接AF，DE. 若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　C　） 图SZ1－2－22 A. 80° B. 90° C. 105° D. 115° C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 12. （2023·青岛）如图SZ1－2－23，在正方形ABCD中，E，F分 别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为 EG的中点.若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（　B　） 图SZ1－2－23 B A. B. C. 2 D. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 13. （2023·河北）如图SZ1－2－24，在Rt△ABC中，AB＝4，M是 斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF. 若S正方形AMEF＝16，则 S△ABC＝（　B　） 图SZ1－2－24 B A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 14. （2023·十堰）如图SZ1－2－26，▱ABCD的对角线AC，BD交 于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交 于点P，连接BP，CP. （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； 图SZ1－2－26 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）四边形BPCO为平行四边形. 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD. ∵以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧， 两弧交于点P， ∴CP＝OB，BP＝OC. ∴四边形BPCO为平行四边形. 图SZ1－2－26 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形？ 解：（2）当AC⊥BD，且AC＝BD时，四边形 BPCO为正方形. ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°. ∵四边形BPCO为平行四边形， ∴四边形BPCO为矩形. ∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC， ∴OB＝OC. ∴四边形BPCO为正方形. 图SZ1－2－26 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$