第一章 第8课时 正方形的性质与判定（二）-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 特殊平形四边形 第8课时　正方形的性质与判定（二） 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. 如图S1－8－1，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD， 下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　B　） 图S1－8－1 A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60° 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B 温故知新 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 如图S1－8－2，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为 矩形，需要添加的条件是（　D　） 图S1－8－2 D A. AB∥CD B. AD＝BC C. ∠AOB＝45° D. ∠ABC＝90° 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　A. 有一组邻边 的矩形是正方形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 相等　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 如图S1－8－3，已知四边形ABCD是矩形，如果添加一个条 件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 （　B　） A. ∠D＝90° B. BC＝CD C. AD＝BC D. AB＝CD B 图S1－8－3 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　B. 对角线互相 的矩形是正方形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 垂直　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 如图S1－8－4，已知四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝ ∠BCD＝90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是 （　D　） A. AC＝BD B. AB⊥BC C. AD＝BC D. AC⊥BD D 图S1－8－4 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　C. 有一个角是 的菱形是正方形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 直角　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. 下列条件中，能使菱形ABCD成为正方形的是（　B　） A. AB＝AD B. AB⊥BC C. AC⊥BD D. AC平分∠BAD 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　D. 对角线 的菱形是正方形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 相等　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. 菱形ABCD添上下列哪个条件，可证明菱形ABCD是正方形 （　A　） A. AC＝BD B. AB＝CD C. BC＝CD D. 都不正确 A 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点1：正方形的判定（在矩形基础上判定） 【例1】（课本P27习题）已知：如图S1－8－5，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，CD为△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂 足分别为E，F. 求证：四边形CEDF是正方形. 课本母题 图S1－8－5 思路点拨：有一组邻边相等的矩形是正方形. 　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形. ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∴四边形CEDF是正方形. 图S1－8－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. 如图S1－8－6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点 E，F在AC上，且AE＝CF，OB＝OE，顺次连接B，F，D，E四 点.求证：四边形BFDE是正方形. 图S1－8－6 母题变式 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. ∴四边形BFDE是平行四边形. ∵OB＝OE， ∴BD＝EF. ∴四边形BFDE是矩形. 又∵BD⊥EF， ∴四边形BFDE是正方形. 图S1－8－6 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点2：正方形的判定（在菱形基础上判定） 【例2】（课本P23例题改编）已知：如图S1－8－7，在矩形 ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. 图S1－8－7 课本母题 思路点拨：有一个角是直角的菱形是正方形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形. 在矩形ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点， ∴AE＝AB＝DE＝DC，∠A＝∠D＝90°. ∴△ABE和△DCE均为等腰直角三角形. ∴∠AEB＝∠DEC＝45°. ∴∠BEC＝180°－∠AEB－∠DEC＝90°. 在△ABE和△DCE中，​ ∴△ABE≌△DCE（SAS）.∴BE＝CE. ∴四边形BECF是菱形.又∵∠BEC＝90°， ∴四边形BECF是正方形. 图S1－8－7 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. 如图S1－8－8，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线， E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接 BE，CF. （1）求证：△BDF≌△CDE； 母题变式 图S1－8－8 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：（1）∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD. ∵BF∥EC，∴∠DBF＝∠DCE. 在△BDF和△CDE中， ∴△BDF≌△CDE（ASA）. 图S1－8－8 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：（2）∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE. ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AF垂直平分BC. ∴BE＝CE＝BF＝CF. ∴四边形BECF是菱形. ∴DE＝EF. 又∵DE＝BC，∴EF＝BC. ∴四边形BECF是正方形. （2）若DE＝BC，求证：四边形BECF是正方形. 图S1－8－8 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 9. （创新题）如图S1－8－9，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于 点H. （1）求证：AD⊥EF； 创新设计 图S1－8－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD（AAS）. ∴AE＝AF. 又∵∠EAD＝∠FAD，∴AD⊥EF. 图S1－8－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明 理由. （2）解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形 AEDF是正方形. 理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形. 又∵AD⊥EF， ∴四边形AEDF是正方形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 图S1－8－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 10. （创新变式）如图S1－8－10，AD是△ABC的角平分线，EF 垂直平分AD，分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF. （1）试判定四边形AEDF的形状，并证明你的结论； 图S1－8－10 解：（1）四边形AEDF是菱形. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2. ∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°. 在△AEO和△AFO中，​ ∴△AEO≌△AFO（ASA）.∴EO＝FO. ∵EF垂直平分AD，∴AO＝DO. ∴四边形AEDF是平行四边形. 又∵EF⊥AD，∴四边形AEDF是菱形. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若DE＝13，EF＝10，求AD的长； 解：（2）∵四边形AEDF是菱形，EF＝10， ∴EF⊥AD，OE＝EF＝5，AD＝2OD. 在Rt△DOE中，DE＝13， ∴OD＝＝＝12. ∴AD＝2OD＝24. 图S1－8－10 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（3）当△ABC满足∠BAC＝90°时， 四边形AEDF是正方形. 理由：∵四边形AEDF是菱形，且∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是正方形. （3）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明 理由. 图S1－8－10 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$