第一章 第7课时 正方形的性质与判定（一）-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 特殊平形四边形 第7课时　正方形的性质与判定（一） 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 如图S1－7－1，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则 ∠BAE＝（　A　） 图S1－7－1 A 温故知新 A. 70° B. 40° C. 75° D. 30° 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 如图S1－7－2，E为矩形ABCD的边BC的中点，且∠BAE＝ 30°，AE＝2，则AC等于（　D　） 图S1－7－2 D A. 3 B. 2 C. D. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A. 有一组邻边 ，并且有一个角是 ⁠的平行四 边形叫做正方形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 相等　 直角　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 如图S1－7－3，已知四边形ABCD是平行四边形，如果添加条 件，即可推出该四边形是正方形，那么添加的条件可以是 （　B　） A. ∠A＝90° B. ∠A＝90°且BC＝CD C. ∠A＝90°且AD＝BC D. ∠A＝90°且AB＝CD B 图S1－7－3 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 B. （1）正方形的四个角都是 ，四条边 ⁠； （2）正方形的对角线 且 ⁠； （3）正方形是 图形，有 条对称轴；正方形也 是 图形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 直角　 相等　 相等　 互相垂直平分　 轴对称 4 中心对称 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 如图S1－7－4，正方形ABCD中，AC，BD交于点O. 下列结论 中，正确的个数是（　D　） ①∠BAC＝45°；②AC⊥BD； ③AC＝AB；④AO＝BO＝CO＝DO. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 图S1－7－4 对点范例 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　C. 正方形既是平行四边形，也是菱形、矩形，兼具平行四边 形、菱形、矩形的所有性质. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. 下列给出的四边形中，对角线互相垂直平分且相等的是 （　D　） D 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：正方形相关角度计算 【例1】（课本P22习题改编）如图S1－7－5，在▱ABCD中，AB ＝AD，∠BAD＝90°，△EBC是等边三角形，求∠AED的度数. 图S1－7－5 课本母题 思路点拨：先判定四边形ABCD是正方形，再求出∠ABE的度数，继而求出∠BEA和∠CED的度数，最后即可求出∠AED的度数. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：在▱ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是正方形. ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°. 又∵△EBC是等边三角形， ∴BE＝BC＝CE，∠EBC＝∠BEC＝∠BCE＝60°. ∴AB＝BE，∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝30°. ∴∠BEA＝∠BAE＝×（180°－30°）＝75°. 同理可得∠CED＝75°. ∴∠AED＝360°－∠BEA－∠CED－∠BEC＝150°. 图S1－7－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. 如图S1－7－6，在正方形ABCD的外侧，以AD为边作等边三角 形ADE，线段AC与线段BE相交于点F. （1）求∠AEB的度数； （1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD. ∵△ADE是等边三角形， ∴∠EAD＝60°，AD＝AE. ∴∠BAE＝∠BAD＋∠EAD＝150°，AE＝AB. ∴∠AEB＝∠ABE＝×（180°－150°）＝15°. 母题变式 图S1－7－6 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）求证：FC＝FE. 答图S1－7－1 （2）证明：如答图S1－7－1，连接CE. 同（1）可得∠CED＝∠DCE＝15°. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°. ∵△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°. ∴∠FCE＝∠ACD－∠DCE＝30°， ∠FEC＝∠AED－∠AEB－∠CED＝30°. ∴∠FCE＝∠FEC. ∴FC＝FE. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 【例2】如图S1－7－7，在正方形ABCD中，O为对角线的交点， 点E在边AB上运动，点F在边BC上运动，且BE＝CF， 连接OE，OF，试判断线段OE与OF的大小与位置关 系，并说明理由. 图S1－7－7 课本母题 知识点2：正方形相关线段的数量与位置关系 思路点拨：根据正方形的性质和全等三角形的性质解答即可. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：OE＝OF且OE⊥OF. 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OBA＝∠OCB＝45°，AC⊥BD，OB＝OC. 在△OEB和△OFC中， ∴△OEB≌△OFC（SAS）. ∴OE＝OF，∠EOB＝∠FOC. ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°，即∠FOC＋∠BOF＝90°. ∴∠EOF＝∠EOB＋∠BOF＝∠FOC＋∠BOF＝90°. ∴OE⊥OF. ∴OE＝OF且OE⊥OF. 图S1－7－7 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. 如图S1－7－8，在正方形ABCD中，AC和BD相交于点O，E是 OA上一点，G是OB上一点，且OE＝OG，试判断BE与CG的大小 及位置关系，并说明理由. 图S1－7－8 母题变式 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：BE＝CG且BE⊥CG. 理由：如答图S1－7－2，延长CG交BE于点H. ∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，AC⊥BD. ∴∠EOB＝∠GOC＝90°. 在△EOB和△GOC中，​ ∴△EOB≌△GOC（SAS）. ∴BE＝CG，∠BEO＝∠CGO. ∵∠BEO＋∠EBO＝90°， ∴∠CGO＋∠EBO＝90°. ∵∠HGB＝∠CGO， ∴∠HGB＋∠HBG＝90°，即∠CHE＝90°. ∴BE⊥CG. ∴BE＝CG且BE⊥CG. 答图S1－7－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. （创新题）已知：如图S1－7－9，正方形BEFG的边BG在正方 形ABCD的边BC上，连接AG，CE. （1）观察猜想AG与CE之间的大小关系，并说明理由； 创新设计 图S1－7－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）AG＝CE. 理由：∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ∴AB＝CB，∠GBA＝∠EBC＝90°，BG＝BE. 在△ABG与△CBE中， ​ ∴△ABG≌△CBE（SAS）. ∴AG＝CE. 图S1－7－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）AG与CE是什么样的位置关系？请说明理由. 解：（2）AG⊥CE. 理由：如答图S1－7－3，延长AG交CE于点M. 由（1）知△ABG≌△CBE， ∴∠GAB＝∠ECB. ∵∠GBA＝90°， ∴∠GAB＋∠AGB＝90°. ∵∠CGM＝∠AGB， ∴∠GCM＋∠CGM＝90°， 即∠AME＝90°. ∴AG⊥CE. 答图S1－7－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 9. （创新变式）如图S1－7－10，已知四边形ABCD和四边形 CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE. 求证： （1）BG＝DE； 图S1－7－10 证明：（1）∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形， ∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°. ∴∠BCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG， 即∠BCG＝∠DCE. 在△BCG和△DCE中， ∴△BCG≌△DCE（SAS）.∴BG＝DE. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）BG⊥DE. 证明：（2）如答图S1－7－4，设BG与DC交于 点O，BG与DE交于点H. 由（1）知△BCG≌△DCE， ∴∠GBC＝∠EDC. ∵∠BCD＝90°， ∴∠GBC＋∠BOC＝90°. ∵∠BOC＝∠DOG， ∴∠EDC＋∠DOG＝90°， 即∠DHG＝90°. ∴BG⊥DE. 答图S1－7－4 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$