第一章 第2课时 菱形的性质与判定（二）-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第一章 特殊平形四边形 第2课时　菱形的性质与判定（二） 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 1. 如图S1－2－1，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对 角线AC的长是（　D　） 图S1－2－1 D 温故知新 A. 8 B. 15 C. 10 D. 6 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 如图S1－2－2，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，则∠ABD的 度数是（　D　） 图S1－2－2 D A. 110° B. 70° C. 45° D. 35° 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　A. 对角线 的平行四边形是菱形. 　　　　　　 　　　　　　　　　　 互相垂直　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 如图S1－2－3，在下列条件中选取一个作为增加条件，能使 ▱ABCD成为菱形的是（　C　） A. AC＝BD B. AB＝DC C. AC⊥BD D. AD∥BC 　 C 图S1－2－3 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　 　　　　　　　　　　 　B. 四边 的四边形是菱形. 相等　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 如图S1－2－4，B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC， 分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D， 连接BD，CD. 则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是 （　B　） 图S1－2－4 B 对点范例 A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 对角线平分一组对角的四边形是菱形 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：菱形的判定（对角线互相垂直＋平行四边形） 课本母题 【例1】（课本P7习题）已知：如图S1－2－5，在▱ABCD中，对 角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F. 求 证：四边形AFCE是菱形. 图S1－2－5 思路点拨：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO. ∵EF垂直平分AC， ∴OA＝OC. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（ASA）.∴OE＝OF. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形. 图S1－2－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. 如图S1－2－6，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝ 24，BD＝10.求证：四边形ABCD是菱形. 图S1－2－6 母题变式 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， AC＝24，BD＝10， ∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5. 又∵AB＝13， ∴OA2＋OB2＝AB2. ∴∠AOB＝90°.∴AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点2：菱形的判定（四边相等的四边形） 课本母题 【例2】（课本P7习题）已知：如图S1－2－7，在菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB， OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形. 图S1－2－7 思路点拨：四边相等的四边形是菱形.　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 证明：∵E，F分别为OA，OB的中点， ∴EF为△OAB的中位线. ∴EF＝AB. 同理可得FG＝BC，GH＝CD，HE＝DA. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA. ∴EF＝FG＝GH＝HE. ∴四边形EFGH是菱形. 图S1－2－7 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. 如图S1－2－8，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别为边 BC，AB，AC的中点，连接DE，DF. 求证：四边形AEDF是菱形. 图S1－2－8 母题变式 证明：∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点， ∴DE＝AF＝AC， DF＝AE＝AB. 又∵AB＝AC， ∴DE＝DF＝AF＝AE. ∴四边形AEDF是菱形. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点3：用尺规作菱形 课本母题 【例3】（课本P5议一议改编）尺规作图：如图S1－2－9，已知 线段AC，求作一个菱形ABCD，使AC为菱形ABCD的一条对角线. （不写作法，保留作图痕迹） 图S1－2－9 思路点拨：作线段AC的垂直平分线MN，交AC于点O，在射线OM，ON上截取OB＝OD，连接AB，BC，CD，AD即可. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：如答图S1－2－1，菱形ABCD即为所求.（作法不唯一） 答图S1－2－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. （2024·连云港节选）如图S1－2－10，AB与CD相交于点E， EC＝ED，AC∥BD. 用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形 DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上.（不写作法，保留作图痕 迹，标明字母） 图S1－2－10 解：如答图S1－2－2，菱形DMCN即为所求. 母题变式 答图S1－2－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 8. （综合探究）问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景，探 索动点运动过程中产生的几何问题.如图S1－2－11，在菱形 ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8，点E是射线BD上的一个动点， 连接AE，△ABE与△ABF关于边AB所在直线对称. 探究：小颖同学研究了AF∥BD时的情形，并提出如下问题，请你 解答： 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （1）判断四边形AEBF的形状，并说明理由； 解：（1）四边形AEBF是菱形. 理由：∵△ABE与△ABF关于AB所在直线对称， ∴△ABE≌△ABF. ∴AE＝AF，BE＝BF，∠EAB＝∠FAB. ∵AF∥BD，∴∠FAB＝∠ABE. ∴∠EAB＝∠ABE. ∴AE＝BE. ∴AF＝AE＝BE＝BF. ∴四边形AEBF是菱形. 图S1－2－11 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）此时线段BE的长为多少？ 解：（2）如答图S1－2－3，连接AC交BD于点H. ∵四边形ABCD是菱形，BD＝8， ∴BH＝BD＝4，AC⊥BD. ∵AB＝5，∴AH＝＝3. 设BE＝x，则EH＝4－x. ∵四边形AEBF是菱形，∴AE＝BE＝x. 在Rt△AEH中，AE2＝EH2＋AH2， 即x2＝（4－x）2＋32.解得x＝. ∴此时线段BE的长为. 答图S1－2－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$