第二章 第17课时 应用一元二次方程（一）-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的几何应用，涵盖行程与面积问题。通过“温故知新”的几何题（如方位距离、木棒滑动）复习勾股定理等旧知，搭建从旧知识到列方程解应用题的学习支架。 其亮点是以课本母题为基础，经母题变式拓展，结合创新设计的实践活动（如折长方体盒子），培养几何直观、模型意识与创新意识。采用层层递进教学法，助学生掌握方程建模，提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

数学 九年级 全一册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第二章 一元二次方程 第17课时　应用一元二次方程（一） 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1. 如图S2－17－1，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在 水塔O的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管， 则水管的长为（　B　） 图S2－17－1 B A. 45 m B. 40 m C. 50 m D. 56 m 温故知新 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 2. 如图S2－17－2，一根长10 m的木棒AB，斜靠在与地面垂直的 墙上，木棒B端距离墙6 m.当木棒A端沿墙下滑至点A'时，B端沿 地面向右滑行至点B'.若AA'＝2 m，则BB'的长为（　D　） D 图S2－17－2 A. 1 m B. m C. 3 m D. 2 m 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 几何行程问题 用“速度×时间＝ ”来表示线段的（边）长，再利用图 形面积或勾股定理等列方程求解. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 路程　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 3. 如图S2－17－3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝3 cm，点P以1 cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2 cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，当一点到达终点时，另 一点也停止运动.若点P，Q分别从点A，B同时出发，要使P，Q之 间的距离等于4 cm，则需要经过（　A　） 图S2－17－3 A A. s B. 2 s C. s D. s或2 s 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 B. 几何面积问题 运用规则图形（矩形、三角形等）的面积公式进行求解，若图形 不规则，则先将不规则图形分割或组合成 图形，找出各 部分面积的 关系，再用公式计算. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 规则　 和、差　 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 4. 如图S2－17－4，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的.如果AB＝ 8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长 为（　B　） 图S2－17－4 B A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点1：几何行程问题 课本母题 【例1】（课本P53习题改编）如图S2－17－5，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC，BC方向 向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1 cm/s.经过几 秒，△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半？ 图S2－17－5 思路点拨：根据题意知∠C＝90°，可以得出△ABC的面积为AC·BC，△PCQ的面积为PC·QC. 设经过x s满足要求，则根据△PCQ的面积是△ABC面积的一半列出等量关系求出x的值即可. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：设经过x s，△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半， 则PC＝（8－x） cm，QC＝（6－x） cm. 由题意，得＝××8×6. 解得x1＝12（不合题意，舍去），x2＝2. 答：经过2 s，△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 5. 如图S2－17－6，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝3 cm.点P 沿边AB从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D 开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果P，Q同时出发，移动的时间 为t s（0≤t≤3），那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2 cm2？ 图S2－17－6 母题变式 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DA＝BC＝3 cm. 当移动的时间为t s时，QA＝（3－t） cm，AP＝2t cm. 由题意，得＝2. 解得t1＝1，t2＝2. 答：当t的值为1或2时，△QAP的面积等于2 cm2. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点2：几何面积问题 【例2】（课本P57习题）如图S2－17－7，在一块长92 m、宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分 成面积均为885 m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？ 图S2－17－7 课本母题 思路点拨：把水平的水渠平移到矩形的上面，竖直的水渠平移到矩形的左边，可得总耕地面积为一个矩形，再根据耕地总面积列出方程求解即可. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：设水渠应挖x m宽. 由题意，得（92－2x）（60－x）＝885×6. 整理，得x2－106x＋105＝0. 解得x1＝105（不合题意，舍去），x2＝1. 答：水渠应挖1 m宽. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 6. （课本P57习题改编）如图S2－17－8是一块矩形草坪，AB＝ 20 m，BC＝15 m，四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的 面积为246 m2，求小路的宽度. 图S2－17－8 母题变式 解：设小路的宽度为x m. 由题意，得 （20＋2x）（15＋2x）＝246＋20×15. 整理，得2x2＋35x－123＝0. 解得x1＝3，x2＝－20.5（不合题意，舍去）. 答：小路的宽度为3 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. （综合与实践）在数学课上，老师让同学们以“折一个长方体 盒子”为主题开展实践活动.如图S2－17－9①，这是一张长为30 cm，宽为12 cm的矩形硬纸板. （1）如图S2－17－9②，奋进小组把矩形硬纸板的四角剪去四个 相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘 好，即可做成一个长方体无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为144 cm2，求剪去的小正方形的边长； 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（1）设剪去的正方形的边长为x cm，则折成的长方体无盖 纸盒的底面为长（30－2x） cm，宽（12－2x） cm的矩形. 由题意，得（30－2x）（12－2x）＝144. 解得x1＝3，x2＝18（不合题意，舍去）. 答：剪去的小正方形的边长为3 cm. 图S2－17－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）创新小组计划制作一个有盖的长方体盒子.为了合理使用材 料，设计了如图S2－17－9③所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下 来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，右侧两个空白部 分为矩形，问能否折出底面积为104 cm2的有盖盒子（盒盖与盒底 的大小形状完全相同）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能， 请说明理由. 图S2－17－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：（2）能. 设剪去的正方形的边长为y cm，则折成的长方体盒子的底面为长 cm， 宽（12－2y） cm的矩形. 由题意，得（12－2y）＝104. 解得y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去）. ∴y＝2. ∴盒子的体积为104×2＝208（cm3）. 答：能折出底面积为104 cm2的有盖盒子，盒子的体积为208 cm3. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$