第二章 第16课时 一元二次方程的根与系数的关系-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（北师大版）

数学 九年级 全一册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 第二章 一元二次方程 *第16课时　一元二次方程的根与系数的关系 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 温故知新 1. 用公式法解方程x2＋x＝2时，求根公式中的a，b，c的值分别是 （　C　） A. a＝1，b＝1，c＝2 B. a＝1，b＝－1，c＝－2 C. a＝1，b＝1，c＝－2 D. a＝1，b＝－1，c＝2 C 2. 以下一元二次方程的根为2和5的是（　A　） A. x2－7x＋10＝0 B. x2＋7x＋10＝0 C. x2＋7x－10＝0 D. x2－7x－10＝0 A 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识重点 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2 ＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么 x1＋ x2 ＝ 　－ ，x1x2＝ 　 －. － ​ 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 对点范例 3. 若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1x2＋x1＋x2的 值是（　D　） A. 7 B. －7 C. 3 D. －3 D 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 课本母题 知识点1：一元二次方程的根与系数的关系 【例1】（课本P51习题）利用根与系数的关系，求下列方程的两 根之和、两根之积： （1）x（3x－1）－1＝0； 思路点拨：先找出a，b，c，求出Δ＝b2－4ac的值，判断是否有实 数根，再根据x1＋x2＝－，x1x2＝，代值计算即可. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 解：原方程化为3x2－x－1＝0. ∵a＝3，b＝－1，c＝－1， ∴Δ＝（－1）2－4×3×（－1）＝13＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 设方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝－＝，x1x2＝＝－. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）（2x＋5）（x＋1）＝x＋7. 解：原方程化为2x2＋6x－2＝0. ∵a＝2，b＝6，c＝－2， ∴Δ＝62－4×2×（－2）＝52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 设方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝－＝－3，x1x2＝＝－1. 思路点拨：先找出a，b，c，求出Δ＝b2－4ac的值，判断是否有实 数根，再根据x1＋x2＝－，x1x2＝，代值计算即可. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 母题变式 4. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）2x2－3x＝5； 解：原方程化为2x2－3x－5＝0. ∵a＝2，b＝－3，c＝－5， ∴Δ＝（－3）2－4×2×（－5）＝49＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 设方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝－＝，x1x2＝＝－. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）2x2＋3＝x（7x＋1）. 解：原方程化为5x2＋x－3＝0. ∵a＝5，b＝1，c＝－3， ∴Δ＝12－4×5×（－3）＝61＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 设方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝－. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 知识点2：已知一根求另一根及未知系数 课本母题 【例2】（课本P51第3题）已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2， 求它的另一个根及k的值. 思路点拨：根据根与系数的关系代入数值求解即可. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：设方程的另一个根为t. 由题意，得2＋t＝－，2t＝－. 解得t＝－，k＝－7. ∴它的另一个根为－，k的值为－7. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 母题变式 5. 已知2－是x2－4x＋c＝0的一个根，求方程另一个根及c 的值. 解：设方程的另一个根为x2，且x1＝2－. ∴x1＋x2＝4，x1x2＝c. ∴x2＝4－x1＝4－（2－）＝2＋. ∴c＝x1x2＝（2－）（2＋）＝2. ∴方程的另一个根是2＋，c的值为2. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 创新设计 6. （2023·襄阳）关于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有两个不 相等的实数根. （1）求k的取值范围； 解：（1）由题意，得Δ＝22－4×1×（3－k）＝－8＋4k＞0. 解得k＞2. ∴k的取值范围为k＞2. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ＋3k，求k的值. 解：（2）∵方程的两个根为α，β， ∴αβ＝3－k. ∴k2＝3－k＋3k. 解得k1＝3，k2＝－1（不合题意，舍去）. ∴k的值为3. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 7. （2024·遂宁）已知关于x的一元二次方程x2－（m＋2）x＋m－ 1＝0. （1）证明：∵a＝1，b＝－（m＋2），c＝m－1， ∴Δ＝b2－4ac ＝[－（m＋2）]2－4×1×（m－1） ＝m2＋4m＋4－4m＋4 ＝m2＋8. ∵m2≥0， ∴Δ＞0. ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根. （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且＋－x1x2＝9，求m 的值. （2）解：由题意，得x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1. ∵＋－x1x2＝9，即（x1＋x2）2－3x1x2＝9， ∴（m＋2）2－3（m－1）＝9. 整理，得m2＋m－2＝0. 解得m1＝－2，m2＝1. ∴m的值为－2或1. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配北师大版 $$