4.2.1等差数列的概念 分层练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 基础过关练 题组一 等差数列的概念及其应用 1.已知数列{an}中,a1=1,an-an-1=2(n≥2),则a10=( ) A.18 B.19 C.20 D.21 2.已知{an}为等差数列,则“{an}单调递增”是“a1<a2”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.若数列{an}是等差数列,则下列数列不一定是等差数列的是( ) A.{|an|} B.{an+1-an} C.{pan+q}(p,q为常数) D.{2an+n} 4.设{an}是无穷数列,An=an+an+1(n∈N*),则“{an}是等差数列”是“{An}是等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题组二 等差中项 5.记等差数列{an}的公差为d(d≥0),若是与-2的等差中项,则d的值为( ) A.0 B. C.1 D.2 6.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项是( ) A.8 B.6 C.4.5 D.3 7.已知中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 025,则该数列的首项为 . 题组三 等差数列的通项公式及其应用 8.《周髀算经》是中国古老的天文学和数学著作,书中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至、大寒、雨水时的日影长之和是40.5尺,芒种时的日影长为4.5尺,则立春时的日影长为( ) A.10.5尺 B.11.5尺 C.12.5尺 D.13.5尺 9.已知等差数列{an}单调递增,且满足a1+a8=6,则a6的取值范围是( ) A.(-∞,3) B.(3,6) C.(3,+∞) D.(6,+∞) 10.已知正项数列{an}满足an-an+1=anan+1,a4=,则a1=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.已知数列{an}满足loan+1=loan+1(n∈N*),若a5=3,则a1=( ) A.48 B.24 C.16 D.12 12.在等差数列{an}中,a2+a5=a4+11且a2+a4=a6+2,则数列{an}的通项公式为( ) A.an=3n+2 B.an=3n-1 C.an=3n+5 D.an=2n+3 13.已知一次函数f(x)在R上单调递增,且f(2) f(5)=22,f(1)+f(6)=13,若记an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 . 14.已知无穷等差数列{an}的首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号为被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2的值; (2)求{bn}的通项公式; (3)判断{bn}中的第110项是{an}中的第几项. 15.设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=,Sn+1=2-. (1)证明:数列是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 题组四 等差数列的性质及其应用 16.在等差数列{an}中,a2+a4+a6+a8+a10=150,则a1+a11=( ) A.30 B.40 C.50 D.60 17.已知数列{an}是等差数列,若s,t,p∈N*,则“2at=as+ap”是“2t=s+p”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 18.已知等差数列{an}中,an=m,am=n,且m≠n,则am+n=( ) A.0 B.m+n C.m+n-1 D.n-m+1 19.(多选题)已知等差数列{an}满足a1>0,且a1+a2+a3+…+a101=0,则( ) A.a1+a101>0 B.a1+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51<a50 20.已知做一个木梯需要7根横梁,从上到下这7根横梁的长度(单位:m)成等差数列,现有长为1.5 m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁,长为2 m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁,求正中间的一根横梁的长度. 能力提升练 题组一 等差数列的通项公式及其应用 1.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-1,bn=4n-3(n∈N*),设这两个数列的公共项构成集合A,则集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为( ) A.166 B.168 C.169 D.170 2.已知数列{an}满足a1=,an-an+1=anan+1(n∈N*),则的最小值为( ) A. B. C.16 D.18 3.在数列{an}中,a1=2,(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),则an=( ) A.- B.3n2-n C.2n-1+1 D. 4.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an+n2-4n+2,且ar,as(r,s∈N*)的等差中项为11,则r+s=( ) A.4 B.8 C.10 D.12 5.(多选题)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列{bn},以下说法正确的是( ) A.an=8n-6 B.当k=3时,bn=2n C.当k=3时,b29不是数列{an}中的项 D.若b9是数列{an}中的项,则k的值可能为7 6.已知数列{an}满足a1=,且=(n≥2),设bn=. (1)求证:数列{bn}为等差数列; (2)a1a2是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 题组二 等差数列的性质及其应用 7.已知函数f(x)是定义在R上的连续函数,且f(1)=5, f(3)=9,若∀a,b∈R,都有f=[f(a)+f(b)],则f(2 023)=( ) A.5 B.9 C.4 023 D.4 049 8.设公差d≠0的等差数列{an}满足=a3a8,则的值为 . 9.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m,n∈R且m≠n)的四个不相等的实数根可组成首项为的等差数列,则数列的公差d= ,m+n的值为 . 题组三 等差数列的综合应用 10.若数列{cn}满足cn+1=,则称{cn}为“平方递推数列”.已知数列{an}是“平方递推数列”,且a1>0,a1≠1,则( ) A.{lg an}是等差数列 B.{lg an+1-lg an}是等差数列 C.{anan+1}是“平方递推数列” D.{an+1+an}是“平方递推数列” 11.(多选题)过圆x2+5x+y2-12y=0内一点A(-5,6)有n(n∈N*)条弦的长度成等差数列,数列的首项a1等于过点A的最短弦的长度,an等于过点A的最长弦的长度,若公差d∈,则n的值可能是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 12.某公司购置了一台价值220万元的设备,随着设备在使用过程中老化,其价值会逐年减少.经验表明,每经过一年其价值就会减少d(d>0)万元.已知这台设备的使用年限为10年,超过10年,它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废,但若每年花费1万元进行设备维护,则可使设备的使用年限提升至20年,每经过一年其价值就会减少d1(d1>0)万元,超过20年,它的价值将低于所有花费的5%,设备将报废,则d1的取值范围为 . 13.已知数列{an}的各项均为非负实数,且∀n≥2,n∈N*,均有an+1=an-an-1+n. (1)若a1,a2,a3成等差数列,证明:存在无穷多个正整数k,使得ak=k; (2)若a2a2 022=1,求a2 023的最大值. 答案 基础过关练 1.B ∵a1=1,an-an-1=2(n≥2),∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列, ∴an=1+2(n-1)=2n-1,∴a10=2 10-1=19. 2.A 设等差数列{an}的公差为d,若{an}单调递增,则d>0,∴a1+d>a1,即a2>a1;反之,若a2>a1,则a1+d>a1,∴d>0,∴{an}单调递增.故“{an}单调递增”是“a1<a2”的充要条件. 3.A 设等差数列{an}的公差为d. 对于A,若an=n-2,则|a1|=1,|a2|=0,|a3|=1,|a4|=2, 此时数列{|an|}不是等差数列,所以A符合题意; 对于B,易得an+1-an=d,所以数列{an+1-an}为常数列,所以数列{an+1-an}一定是等差数列,所以B不符合题意; 对于C,(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd,为常数,所以数列{pan+q}一定是等差数列,所以C不符合题意; 对于D,(2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1=2d+1,为常数,所以数列{2an+n}一定是等差数列,所以D不符合题意. 4.A 若{an}是等差数列,设其公差为d1,由An=an+an+1,可得An+1-An=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d1,所以{An}是等差数列,故充分性成立; 若{An}是等差数列,设其公差为d2,则An+1-An=an+1+an+2-(an+an+1)=an+2-an=d2, 即{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等差数列,但{an}不一定是等差数列,故必要性不成立. 故“{an}是等差数列”是“{An}是等差数列”的充分不必要条件. 5.C 由是与-2的等差中项,得2=+-2,即2(a1+d)2=+(a1+2d)2-2,整理得d2=1,又d≥0,所以d=1. 6.D 由已知得m+2n=8,2m+n=10,∴m=4,n=2, ∴2m-n和2n-m的等差中项是==3. 7.答案 -5 解析 设该数列的首项为a1,则a1与2 025的等差中项是1 010,因此a1+2 025=2 1 010,解得a1=-5. 8.C 设从冬至起,这十二个节气的日影长(单位:尺)成等差数列{an},其公差为d, 则由题可得即 解得所以a4=a1+3d=15.5+3 (-1)=12.5,即立春时的日影长为12.5尺. 9.C 设等差数列{an}的公差为d, 因为数列{an}单调递增,所以d>0, 所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6, 则2a6-6=3d>0,解得a6>3. 10.A 因为{an}是正项数列,所以可将an-an+1=anan+1等号两边同时除以anan+1,得-=1, 因此数列是公差为1的等差数列,则=+(n-1) 1,则=+(4-1) 1=4,解得a1=1. 11.A 由loan+1=loan+1得loan+1-loan=1, 所以数列{loan}是公差为1的等差数列, 所以loa5=loa1+4=lo3, 所以loa1=lo3-4=lo3-lo=lo48, 所以a1=48. 12.A 设等差数列{an}的公差为d,则a3=a1+2d=a2+a5-a4=11, 故a2+a4=2a3=22, 即a6+2=22,解得a6=20, 所以d==3,则数列{an}的通项公式为an=11+3(n-3)=3n+2. 13.答案 an=3n-4 解析 由一次函数f(x)在R上单调递增可设f(x)=bx+c,b>0,则an=f(n)=bn+c,b>0, 易得an+1-an=b(n+1)+c-(bn+c)=b,又b>0,所以数列{an}是递增的等差数列, 由题意得a2a5=22,a1+a6=a2+a5=13,又a2<a5,所以a2=2,a5=11,所以数列{an}的公差为=3, 所以数列{an}的通项公式为an=a2+(n-2) 3=3n-4. 14.解析 (1)因为a1=3,d=-5,所以an=3+(n-1) (-5)=8-5n, 因为数列{an}中序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,……, 所以b1=a3=-7,b2=a7=-27. (2)设{an}中的第m项是{bn}中的第k项,即bk=am,则m=3+4(k-1)=4k-1, 所以bk=am=a4k-1=8-5(4k-1)=13-20k, 所以{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N*). (3)设b110是{an}中的第i项,因为b110=13-20 110=-2 187,所以8-5i=-2 187,则i=439, 所以b110是{an}中的第439项. 15.解析 (1)证明:由Sn+1=2-,可得Sn+1-1=1-=,则=, 所以-=-==1, 因为S1=a1=, 所以=2, 所以数列是首项为2,公差为1的等差数列. (2)由数列是首项为2,公差为1的等差数列,可得=2+(n-1) 1=n+1,所以Sn=+1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=+1-=-, 因为a1=不满足上式, 所以数列{an}的通项公式为an= 16.D 由{an}为等差数列,a2+a4+a6+a8+a10=150,得5a6=150,即a6=30,所以a1+a11=2a6=60. 17.B 当an=1时,满足2at=as+ap,但不一定满足2t=s+p,故充分性不成立; 设等差数列{an}的公差为d,若2t=s+p,则as+ap=a1+(s-1)d+a1+(p-1)d=2a1+(s+p-2)d=2a1+(2t-2)d=2[a1+(t-1)d]=2at,故必要性成立. 综上,“2at=as+ap”是“2t=s+p”的必要不充分条件. 18.A 设等差数列{an}的公差为d, 则an-am=(n-m)d=m-n,又m≠n,所以d=-1, 所以am+n=am+nd=n-n=0. 19.CD 设等差数列{an}的公差为d,根据等差数列的性质得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51, 因为a1+a2+a3+…+a101=0,所以101a51=0,所以a51=0,所以a1+a101=a3+a99=2a51=0, 又a1>0,所以d<0,所以a51=a50+d<a50.故C,D正确. 20.解析 记从上到下7根横梁的长度(单位:m)构成等差数列{an}(1≤n≤7,n∈N), 由题意得a1+a2+a3=1.5, a5+a6+a7=2,∴3a2=1.5,3a6=2,故a2=,a6=,∵2a4=a2+a6,∴a4=,即正中间的一根横梁的长度是 m. 能力提升练 1.C 依题意,令am=bk,m,k∈N*,即3m-1=4k-3,整理得m=k-1+, 因此k+1是3的正整数倍,令k+1=3n,n∈N*,即k=3n-1, 设数列{an},{bn}的公共项构成数列{cn}, 则cn=b3n-1=4(3n-1)-3=12n-7, 令12n-7≤2 023,得n≤169,所以集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为169. 2.C 易知an≠0.∵an-an+1=anan+1(n∈N*), ∴-=1, ∴数列是以=10为首项,1为公差的等差数列, ∴=10+(n-1) 1=n+9,∴an=, ∴==n++10≥2+10=16,当且仅当n=,即n=3时取等号,故的最小值为16. 3.A 由(an+1)(an-1+2)=an-1+1(n≥2),得anan-1+2an+1=0,即an(an-1+2)=-1,所以an-1+2≠0,an≠0, 所以an+1=(n≥2),两边取倒数得=+1,所以数列是首项为=,公差为1的等差数列,所以=+n-1=, 所以an=-1==-. 4.D 对于Sn=2an+n2-4n+2, 当n=1时,a1=2a1-1,得a1=1, 当n≥2时,Sn-1=2an-1+(n-1)2-4(n-1)+2, 所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1+2n-5(n≥2), 则an=2an-1-2n+5(n≥2), 令an=bn+an+b,则bn+an+b=2bn-1+2(a-1)n-2a+2b+5,即bn=2bn-1+(a-2)n-2a+b+5, 令得 所以an=bn+2n-1,即bn=an-(2n-1), 所以an-(2n-1)=2[an-1-(2n-3)], 因为a1-(2 1-1)=0,所以an-(2n-1)=0,即an=2n-1,所以{an}是等差数列. 因为ar+as=22=2a6,所以r+s=12. 5.ABD 对于A,由题意得an=2+8(n-1)=8n-6,A正确; 对于B,当k=3时,数列{bn}的首项为2,公差为=2,故bn=2+2(n-1)=2n,B正确; 对于C,由B选项知b29=58,令8n-6=58,得n=8,即b29是数列{an}中的第8项,C错误; 对于D,由已知得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,……, 故等差数列{an}中的项在等差数列{bn}中对应项的下标是以1为首项,k+1为公差的等差数列,所以an=b1+(n-1)(k+1),又b9是数列{an}中的项,所以1+(n-1) (k+1)=9,当k=7时,n=2,满足题意,D正确. 6.解析 (1)证明:由=得=,整理得-=4,即bn-bn-1=4(n≥2), 又b1==5, ∴{bn}是首项为5,公差为4的等差数列. (2)由(1)知bn=5+4 (n-1)=4n+1, ∴an==,∴a2=.又a1=,∴a1a2=. 令an==,解得n=11,即a1a2=a11, ∴a1a2是数列{an}中的第11项. 7.D 令a=n-1,b=n+1,n∈N*,由f =[f(a)+f(b)]可得f =, 即2f(n)=f(n-1)+f(n+1), 所以数列{f(n)}为等差数列,又f(1)=5, f(3)=9, 所以公差为 =2, 所以f(2 023)=5+2 (2 023-1)=4 049. 8.答案 解析 因为{an}为等差数列,其公差为d, 所以a5=a1+4d,a3=a1+2d,a8=a1+7d, 因为=a3a8,所以(a1+4d)2=(a1+2d) (a1+7d), 展开得+8a1d+16d2=+9a1d+14d2,即a1d=2d2, 因为d≠0,所以a1=2d,根据等差数列的性质得a1+a3+a5=3a3=3(a1+2d)=12d, a1+a4+a7=3a4=3(a1+3d)=15d, 所以==. 9.答案 ; 解析 由题意得1-4m>0,1-4n>0,设x2-x+m=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,x2-x+n=0的两个不相等的实数根分别为x3,x4,则x1+x2=x3+x4=1. 不妨设数列的首项为x1,则根据等差数列的性质,可知数列的第4项为x2. 由题意知x1=,则x2=,则数列的公差d==, 所以数列的中间两项分别为+=,+=, 则m=x1 x2=,n=x3 x4= =, 所以m+n=+=. 10.C 对于A,B,因为{an}是“平方递推数列”,所以an+1=,又a1>0,所以an>0,则lg an+1-lg an=lg=lg an,(lg an+2-lg an+1)-(lg an+1-lg an)=lg an+1-lg an=lg an,所以{lg an},{lg an+1-lg an}不是等差数列,所以A,B不正确. 对于C,因为an+2an+1==(an+1an)2,所以{anan+1}是“平方递推数列”,所以C正确. 对于D,因为an+2+an+1=+≠(an+1+an)2, 所以{an+1+an}不是“平方递推数列”,所以D不正确. 11.CD 方程x2+5x+y2-12y=0可化为+(y-6)2=,所以圆心为,记为C,半径r=. 易知点A在圆C内,过点A(-5,6)的最短的弦与AC垂直, 因为A(-5,6),C, 所以|AC|==, 则a1=2=2 =12. 易知过点A(-5,6)的最长的弦为直径,所以an=2r=13. 由等差数列的通项公式,可得13=12+(n-1)d,即n-1=, 因为d∈,所以4≤<,即4≤n-1<,解得5≤n<,又n∈N*,所以n的值是5或6. 12.答案 解析 若对设备进行维护,设该设备使用n年后的价值为an万元, 由已知可得an=an-1-d1(n≥2),所以数列{an}是公差为-d1的等差数列, 因为购进价格为220万元,所以a1=220-d1, 所以an=220-d1+(n-1) (-d1)=220-d1n, 由题可知 即解得<d1≤. 故d1的取值范围是. 13.解析 (1)证明:由an+1=an-an-1+n,得an+3=an+2-an+1+n+2=an+1-an+n+1-an+1+n+2=2n+3-an, 则an+6=2(n+3)+3-an+3=an+6, 故{an}中序号相差6的项形成的子数列是以6为公差的等差数列, 因为a1,a2,a3成等差数列,所以2a2-a1=a3=a2-a1+2,解得a2=2,所以a3=4-a1,a4=a3-a2+3=5-a1,a5=a4-a3+4=5,a6=a1+5, 又an+6=an+6,所以an+6m=an+6m(m∈N), 当n=2时,a2+6m=2+6m,当n=5时,a5+6m=5+6m, 所以当k=6m+2或k=6m+5(m∈N)时,ak=k恒成立,即存在无穷多个正整数k,使得ak=k. (2)易得a3=a2-a1+2,a4=5-a1,a5=7-a2,a6=7+a1-a2=9-a3,又an+6m=an+6m(m∈N), 所以a2 022=a6+2 016=2 025-a3,a2 023=a1+2 022, 又a2a2 022=1,所以a2===a3+a1-2, 则a1=-a3+2=+2 025-a3-2 023, 因为数列{an}的各项均为非负实数,所以a3≥0, 由a6=9-a3≥0,得0≤a3≤9,故2 016≤2 025-a3≤2 025, 由对勾函数的单调性易知当2 025-a3=2 025时,(a1)max=2, 所以(a2 023)max=(a1)max+2 022=2 024. 22 学科网(北京)股份有限公司 $$