第2章 实数的初步认识（优质类型）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

第2章 实数的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、割圆术 【解惑】我国著名数学家刘徽是第一个用割圆术找到计算圆周率方法的人，他求出的近似值为3.1416．用四舍五入法对3.1416取近似数，精确到千分位的是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 【答案】D 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：（精确到千分位）． 故选D． 【融会贯通】 1．如图，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率精确到小数点后第七位，还得到了的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（    ） A．整数 B．有限小数 C．有理数 D．无理数 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，根据实数包括有理数和无理数，有理数包括小数和分数，无理数是无限不循环小数进行判断即可，熟练掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】约率是分数，是有理数， 故选：C． 2．在《神奇的》中提到：在公元前1700年，古埃及人使用的圆周率，如果我们把它精确到千分位则为 ；在公元263年，我国古代数学家刘徽通过“割圆术”求得，根据近似数的相关知识，这个数表示的范围是 ． 【答案】 3.160 3.14155≤π＜3.14165 【分析】利用近似数的知识结合四舍五入法解答即可. 【详解】解：把精确到千分位则为：3.160， 由于，则表示的范围是：3.14155≤π＜3.14165. 故答案为：3.160；3.14155≤π＜3.14165. 【点睛】本题考查了近似数，掌握近似数的概念是解题的关键. 3．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.我们知道球的体积公式为，那么利用开立圆术求直径相当于体积公式中的= 【答案】3.375 【分析】将代入，计算立方根即可得． 【详解】解：由题意，将代入得：， ， ， 又， ， 即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键． 类型二、复数问题 【解惑】十六世纪的数学家试图求解方程时，陷入了困境．在实数范围内，任何实数的平方都为非负数，这意味着该方程在实数领域内无解．为了突破这一局限，数学家们大胆引入了一个全新的概念——虚数，定义：，其中是虚数单位，如．虚数与实数结合形成复数，复数的形式为，其中是叫实部，叫虚部，如复数中，2是实部，3是虚部，那么的实部为（   ） A． B． C．1 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴的实部为， 故选：B． 【融会贯通】 1．定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（　　） A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi）2=9-6mi+m2i2，再根据新定义得出复数（3-mi）2的实部是9-m2，虚部是-6m，由（3-mi）2的虚部是12得出m=-2，代入9-m2计算即可． 【详解】解：∵ ∴复数的实部是，虚部是， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． 2．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：；；②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，已知，则 ． 【答案】 【分析】把原式化简后，根据实部对实部，虚部对虚部列出方程计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的运算、完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移． 3．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：；；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：①______； ②______； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)5； (2)1 (3)5 【分析】本题主要考查了完全平方公式应用，平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式的定义是关键． （1）按照定义及积的乘方计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值，即可作答． （3）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为： ； （2）解：依题意，， ∵是的共轭复数， ∴ （3）解：∵ ∴ ∴ 即， ， 解得：， ． 类型三、海伦——秦九韶公式 【解惑】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 所以其面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴的值为3． 故选：B． 【融会贯通】 1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ∵， ∴， ∴， ∴的值为3． 故选：B． 2．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．若一个三角形的三边长分别为3，3，4，其面积S介于两个连续整数n和之间，则n的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 依据题意，先计算出三角形的面积为，再估算的取值范围即可得出结果． 【详解】解：由题意，可得， ， ， ， 故答案为： 3．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式） 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： (1)如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为____________________； (2)如图，在中，已知，，． ①的面积为____________________； ②作于点D，求的长． 【答案】(1) (2)①84；②9 【分析】本题主要考查了新定义的理解，勾股定理， （1）根据秦九韶公式代入计算即可； （2）①根据海伦公式计算即可； ②根据面积相等求出，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：由秦九韶公式，得； 故答案为：； （2）解：①根据海伦公式，得， ∴； 故答案为：84． ②根据题意，得， 即， 解得． 在中，根据勾股定理，得． 类型四、算术平方根的规律 【解惑】先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； 故答案为：． （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 【融会贯通】 1．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 2．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 3．按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析 （2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 类型五、立方根的规律 【解惑】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 【融会贯通】 1．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 2．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 3．观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 类型六、实数的规律 【解惑】先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 【融会贯通】 1．观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查规律型—实数运算的规律题，算术平方根，完全平方公式，弄清题中的规律是解题的关键． （1）仿照已知中的①②③，以及算术平方根的定义即可得出结果； （2）①观察一系列等式，得出一般规律，即可确定所求式子的结果； ②按小明的思路作变形，然后进行化简，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：①观察下列等式： ， ， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明： ， ∴， 即①中的结论成立． 2．观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数可用代数式来表示，其中，n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… (1)写出第5个等式：________________； (2)用含n的等式表示你的猜想，并证明； (3)请用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律、含乘方的有理数的混合运算、平方差公式、完全平方公式等知识点，通过观察所给的式子、找到式子规律是解题的关键． （1）通过观察可得第5个式子； （2）通过观察可得第n个式子，根据完全平分公式进行换算即可证明； （3）利用规律逆向计算，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 故答案为：． （2）解：猜想用含n的等式表示为：， 证明： ． 所以． （3）解： ． 故答案为：． 3．【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 类型七、整数与小数部分 【解惑】阅读材料是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分：_______；的整数部分是________； （2）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2：小玉在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），可设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． （3）请利用小玉的方法估算的近似值：________．（结果精确到0.01） 【答案】（1），3；（2）；（3） 【分析】本题考查整式的混合运算，估算无理数的大小，理解题意并熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）利用夹逼法估算各数的大小即可； （2）利用夹逼法估算的大小后求得x，y的值，将其代入中计算即可． （3）设，其中，利用完全平方公式展开并确定m的取值范围后解得m的值，进而得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的小数部分是， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， 故答案为：，3； （2）∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴； （3）， ， 设，其中， 则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则， 故答案为：． 【融会贯通】 1．是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查求无理数的整数部分和小数部分，理解并掌握无理数的估算方法是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例求出，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的小数部分， 的小数部分， ∴． 2．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的理由如下： ，即， 的整数部分是． 又用这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 的小数部分是． 请解答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)记是的整数部分，记是的小数部分若，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)的整数部分是，小数部分是 (2)或 【分析】（1）估算介于哪两个相邻整数之间，即可确定其整数部分和小数部分的值； （2）首先确定的整数部分，小数部分，然后代入等式，解得的值即可． 本题考查了估算无理数的大小，设实数为，的整数部分（A为不大于的最大整数），小数部分为实数减去其整数部分，即，理解概念是解题的关键 【详解】（1）， 即， 的整数部分是， 又用这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 的小数部分是， 的整数部分是，小数部分是； （2）， 即， ∴， 的整数部分， 的小数部分， ， ， 即， 或， 解得或， 即满足条件的的值为或． 3．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是__________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求，的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了无理数估算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）估算无理数的大小即可得出整数部分和小数部分； （2）估算，的大小，确定的值，即可求解； （3）估算的大小，再求出的值即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为， ∵，即， ∴的整数部分为， ∴ ； （3）解：∵ ∴， ∴的整数部分为，小数部分是， ∴， ∵，x是整数，且， ∴，， ∴， 类型八、实数中的新定义 【解惑】阅读以下材料： 对于三个数a．b．c．用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 请解答下列问题： (1) ； (2)若，求x的范围； (3)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)x的值为1 【分析】本题考查了新定义、实数的大小比较、求不等式组的解集，理解新定义是解题的关键． （1）先比较的大小关系，再根据新定义即可求解； （2）根据，可得，求解不等式组即可得出答案； （3）根据新定义可得，则，得出关于的不等式组，求解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴x的范围为； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为1． 【融会贯通】 1．定义：表示不大于的最大整数，如，．我们把满足（为常数）的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：______，若，则的核心范围是______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． (3)已知，满足方程组，且，对于任意都成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)，，； (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解以及一元一次不等式组的整数解，理解新定义是解题的关键； （）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论； （）由，可求出，结合原不等式组只有三个整数解，即可找出的取值范围； （）先解方程组得出关于与的关系，再根据恒成立来确 定的取值范围； 【详解】（1）解：∵表示不大于的最大整数， ∴， 若， 则的核心范围是 故答案为：，． （2）∵， ∴关于的不等式组， 解得， 即： ∵关于的不等式组有且只有三个正整数解， ∴整数解应为1，2，3． ∴ （3）∵，满足方程组， 解得， ∵对于任意都成立，而， ∴， 把，代入中， 得到， 解得：； 2．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之当n为非负整数时，如果，则例如：，，，，…，解决下列问题： (1)填空：①______（为圆周率）； ②如果，则实数的取值范围为______； (2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）①利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值；②利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围； （2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意，； ②， ， ， 故答案为：①3；②； （2）解：由题意，解不等式组得：， 由不等式组整数解恰有3个，得， ， 故答案为：． 3．我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是_____；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求的值； (3)若是“和积等数对”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义中实数的运算，整式的加减混合运算，解一元一次方程，求代数式的值，熟练掌握整式加减混合运算的法则是解题的关键． （1）根据“和积等数对”的定义即可得到结论； （2）根据“和积等数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行计算，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是“和积等数对”，符合题意； ∵，，， ∴数对不是“和积等数对”，不符合题意； ∵， ∴数对是“和积等数对”，符合题意． 故答案为：； （2）解：∵是“和积等数对”， ∴， ， 解得：； （3）是“和积等数对”，求代数式的值． 解： ， ∵是“和积等数对” ∴， ∴原式 ． 类型九、探索近似值 【解惑】“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 【融会贯通】 1．下面是小李探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设，可画出如图示意图． 由图中面积计算，， 另一方面由题意知，所以． 略去，得方程，解得，即． (1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） (2)仿照上述方法，在的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.01（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解． 【分析】（1）类比题中的方法，利用面积是5的正方形的边长是，设，如图，利用正方形的面积相等得到x2+2×2•x+4=5，略去x2得方程4x+4=5，解方程求出x可确定的近似值．解方程即可得到结论； （2）求法与（1）相同，列出方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：（1）设， 如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形， ∵S正方形=x2+2×2•x+4， 而S正方形=5， ∴x2+2×2•x+4=5， 略去x2，得方程4x+4=5，解得x=0.25， 即； （2）解：∵x2＞0， 解：∵x2＞0， ∴2x+1＜2， ∴x＜0.5， ∴． ∴设，示意图如图所示． 由面积公式，可得x2+2x（1.5-x）+2=1.52， 整理，得-x2+3x+2=2.25， 略去x2，得方程3x+2=2.25， 解得x=0.0833…． 即 ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确的解方程是解题的关键． 2．数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． (1)有多大呢？ 完成下列问题． 在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的． 我们知道面积是2的正方形边长是，且因为，， 所以， 设，画出示意图①． 由面积公式，可得． 因为x值很小，所以更小，略去， 解方程得______（保留到0.001）， 即______． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图②的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】(1)；；； (2)过程见详见，黄金分割数； (3)见详解． 【分析】本题考查了估算无理数的大小，勾股定理与无理数的应用，考查数形结合的思想， （1）根据图形中大正方形的面积列方程，然后解方程求解即可． （2）根据的探究过程，估算出的取值范围，设，画出示意图②，再根据图形中大正方形的面积列方程，然后解方程求解，再计算即可． （3）利用勾股定理在网格中分别找到的长方形，依次连接顶点即可 【详解】（1）解：． 解方程得（保留到）， 即． 故答案为：；；； （2）∵，， ∴， 设，画出示意图②， 由面积公式，可得． 因为x值很小，所以更小，略去， 解方程得（保留到）， 即． ∴黄金分割数． （3）如图：排列形式如图（3），画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形， 3．小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． (1)的整数部分为___________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)2 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了无理数的估算， 对于（1），根据的范围可得答案； 对于（2），仿照小李同学的探索过程解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以的整数部分是2． 故答案为：2； （2）解：面积为7的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图2），根据示意图可得图中大正方形的面积， ． 又， ． 当时，可略去，得方程． 解得． ． 类型十、华罗庚猜数 【解惑】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)设，且为整数． ∵ ∴，∴一定是一个两位数； ∵10648的个位数字是8，∴的个位数字是________； 划去10648后面的三位648得10， ∵，∴，∴的十位数字是________； ∴_______． (2)已知，且为正整数，请你按照以上思考方法，求出的值． 【答案】(1)2，2，22． (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和四次方根，灵活运用立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据立方根的定义和题意即可得出答案； （2）仿照（1）中的方法计算得到y一定是两位数，再确定y的个位数字是5，进一步仿照题意确定y的十位数字即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，且x为整数． ∵， ∴x一定是一个两位数； ∵10648的个位数字是8， ∴x的个位数字一定是2； 划去10648后面的三位648得10， ∵， ∴x的十位数字一定是2； ∴22． 故答案为：2，2，22． （2）解：， ∵， ∴y一定是两位数； ∵的个位数字是5， ∴y的个位数字一定是5； 划去后面的四位0625得150， ∵， ∴y的十位数字一定是3； ∴． 【融会贯通】 1．口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?请按照下面的方法试一试： (1)求． ①由，可以确定计算的结果是_____位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________． (2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）： ①19683       ②110592     ③     ④0.531441 【答案】(1)①二；②9；③； (2)①；②；③；④． 【分析】本题主要考查了立方根的估算与求解，熟练掌握立方数的特征（不同位数立方数的范围、个位数字对应关系等 ）是解题的关键． （1）对于求，思路是先根据与的范围确定立方根的位数；再依据立方数个位数字特征确定个位数字；最后通过划去后三位，对比立方数确定十位数字． （2）对于求其他数的立方根，同样按照（1）的步骤，先定位数，再定个位、十位数字（或小数位对应数字 ）． 【详解】（1）解：①因为，，， 所以是两位数． 故答案为：二； ②因为只有个位数字是， 所以个位数字是． 故答案为：9； ③划去后面三位得，，，， 所以十位数字是，故 ． 故答案为：； （2）解：①，，，是两位数；个位， 因为个位是， 所以个位是； 划去后三位得，，，，十位是，即 ． ②，，，是两位数（实际是 ，按步骤：个位，个位，个位是； 划去后三位得，，，，十位是 ），即 ． ③，，，是两位数；个位， ，按步骤：个位，个位，个位是；划去后三位得，，，，十位是，即 ． ④，，，是一位小数；个位，， ，这里看小数， ，按步骤：个位（对应个位 ）；，，在与之间，划去后三位（小数三位 ）得，接近，更准确计算得 ． 2．阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： （1）由，，你能确定是几位数吗？ ∵，∴． ∴是两位数． （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ ∵只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，∴的个位数是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ ∵，∴．∴的十位数是3． 所以，59319的立方根是39． 问题：已知整数110592是整数的立方，求的值． 【答案】48 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数是解题的关键． 根据题意可得，从而得到是两位数．再由只有个位数是8的立方数的个位数是2，可得的个数是8．然后根据，可得的十位数是4，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴是两位数． ∵只有个位数是8的立方数的个位数是2， ∴的个数是8． ∵， ∴． ∴的十位数是4． 所以，的值是48． 3． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ∴ ∴能确定59319 的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319 的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319 后面的三位 319 得到数59，而，则， 可得 ．由此能确定 59319 的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． 它的立方根是_________位数； 它的立方根的十位上的数是_________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】任务1：两； 5 任务 2：48 【分析】本题考查了立方根的应用，理解题干所给的素材是解此题的关键． 任务1：仿照素材的解题步骤，计算即可得解； 任务2：仿照素材的解题步骤，计算即可得解． 【详解】解：任务1：∵，，， ∴ ∴能确定195112的立方根是个两位数， ∵， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是； 任务：∵，，， ∴ ∴能确定110592的立方根是个两位数， ∵， ∴， ∴它的立方根的十位上的数是； ∵， ∴的个位上的数是， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 实数的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、割圆术 【解惑】我国著名数学家刘徽是第一个用割圆术找到计算圆周率方法的人，他求出的近似值为3.1416．用四舍五入法对3.1416取近似数，精确到千分位的是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 【融会贯通】 1．如图，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率精确到小数点后第七位，还得到了的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（    ） A．整数 B．有限小数 C．有理数 D．无理数 2．在《神奇的》中提到：在公元前1700年，古埃及人使用的圆周率，如果我们把它精确到千分位则为 ；在公元263年，我国古代数学家刘徽通过“割圆术”求得，根据近似数的相关知识，这个数表示的范围是 ． 3．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.我们知道球的体积公式为，那么利用开立圆术求直径相当于体积公式中的= 类型二、复数问题 【解惑】十六世纪的数学家试图求解方程时，陷入了困境．在实数范围内，任何实数的平方都为非负数，这意味着该方程在实数领域内无解．为了突破这一局限，数学家们大胆引入了一个全新的概念——虚数，定义：，其中是虚数单位，如．虚数与实数结合形成复数，复数的形式为，其中是叫实部，叫虚部，如复数中，2是实部，3是虚部，那么的实部为（   ） A． B． C．1 D．6 【融会贯通】 1．定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（　　） A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5 2．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：；；②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，已知，则 ． 3．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：；；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空：①______； ②______； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 类型三、海伦——秦九韶公式 【解惑】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．若一个三角形的三边长分别为3，3，4，其面积S介于两个连续整数n和之间，则n的值为 ． 3．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式） 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： (1)如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为____________________； (2)如图，在中，已知，，． ①的面积为____________________； ②作于点D，求的长． 类型四、算术平方根的规律 【解惑】先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【融会贯通】 1．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 2．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 3．按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 类型五、立方根的规律 【解惑】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【融会贯通】 1．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 2．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 3．观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 类型六、实数的规律 【解惑】先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【融会贯通】 1．观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将99…9写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 2．观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数可用代数式来表示，其中，n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… (1)写出第5个等式：________________； (2)用含n的等式表示你的猜想，并证明； (3)请用（2）中的规律计算：． 3．【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 类型七、整数与小数部分 【解惑】阅读材料是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分：_______；的整数部分是________； （2）已知，其中x是整数，且，求的值； 阅读材料2：小玉在查阅了乘法公式后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），可设，其中，则，因为，所以，所以，解得，所以． （3）请利用小玉的方法估算的近似值：________．（结果精确到0.01） 【融会贯通】 1．是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 2．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的理由如下： ，即， 的整数部分是． 又用这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 的小数部分是． 请解答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)记是的整数部分，记是的小数部分若，请求出满足条件的的值． 3．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请回答： (1)的整数部分是___________，小数部分是__________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求，的值． 类型八、实数中的新定义 【解惑】阅读以下材料： 对于三个数a．b．c．用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 请解答下列问题： (1) ； (2)若，求x的范围； (3)如果，求x的值． 【融会贯通】 1．定义：表示不大于的最大整数，如，．我们把满足（为常数）的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为． (1)请直接写出：______，若，则的核心范围是______． (2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围． (3)已知，满足方程组，且，对于任意都成立，求的取值范围． 2．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之当n为非负整数时，如果，则例如：，，，，…，解决下列问题： (1)填空：①______（为圆周率）； ②如果，则实数的取值范围为______； (2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围． 3．我们定义：对于数对，若，则称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是_____；（填序号） ①；②；③． (2)若是“和积等数对”，求的值； (3)若是“和积等数对”，求代数式的值． 类型九、探索近似值 【解惑】“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【融会贯通】 1．下面是小李探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设，可画出如图示意图． 由图中面积计算，， 另一方面由题意知，所以． 略去，得方程，解得，即． (1)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） (2)仿照上述方法，在的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.01（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 2．数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． (1)有多大呢？ 完成下列问题． 在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的． 我们知道面积是2的正方形边长是，且因为，， 所以， 设，画出示意图①． 由面积公式，可得． 因为x值很小，所以更小，略去， 解方程得______（保留到0.001）， 即______． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图②的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 3．小李同学探索的近似值，过程如下：面积为2的正方形的边长是，且， 设，其中， 画出示意图（图1），根据示意图可得图中大正方形的面积 又 当时，可略去，得方程． 解得． (1)的整数部分为___________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（在图2中画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 类型十、华罗庚猜数 【解惑】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)设，且为整数． ∵ ∴，∴一定是一个两位数； ∵10648的个位数字是8，∴的个位数字是________； 划去10648后面的三位648得10， ∵，∴，∴的十位数字是________； ∴_______． (2)已知，且为正整数，请你按照以上思考方法，求出的值． 【融会贯通】 1．口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?请按照下面的方法试一试： (1)求． ①由，可以确定计算的结果是_____位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________． (2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）： ①19683       ②110592     ③     ④0.531441 2．阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： （1）由，，你能确定是几位数吗？ ∵，∴． ∴是两位数． （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ ∵只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，∴的个位数是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ ∵，∴．∴的十位数是3． 所以，59319的立方根是39． 问题：已知整数110592是整数的立方，求的值． 3． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319 的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ∴ ∴能确定59319 的立方根是个两位数． 步骤二 ∵59319 的个位数是9，， ∴能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319 后面的三位 319 得到数59，而，则， 可得 ．由此能确定 59319 的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． 它的立方根是_________位数； 它的立方根的十位上的数是_________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 思路分析：仿照素材的解题步骤：先求位数，再求个位，接着求十位……以此推算即可．（参考数据：，，，，，，，，） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$