第2章 实数的初步认识（基础+中等类型）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

第2章 实数的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、平方根、立方根、实数、近似数的定义 【解惑】下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 【融会贯通】 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．正数的立方根是正数 B．的立方根是 C．负数和都有立方根 D．是的立方根 2．写出一个比大的负有理数是 ；比大的负无理数是 ． 3．一只田园猫的体重经称量数值是一个两位小数，保留一位小数是，那么这只田园猫的体重最重为 ，最轻为 ． 类型二、求一个数的算术平方根、平方根 【解惑】“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 【融会贯通】 1．的平方根是（　　） A． B． C．4 D． 2．的算术平方根为 ． 3．若一个分数的平方等于，则这个分数为 ． 类型三、求一个数的立方根、近似数 【解惑】9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【融会贯通】 1．下列说法中错误的是（    ） A．近似数万精确到万位 B．近似数 精确到十位 C．精确到百位的近似数为 D．精确到 2．若a满足，则的值为 ． 3．圆周率…精确到千分位的近似数是 ． 类型四、算术平方根的非负性 【解惑】若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．20 B．16 C．20或16 D．12 【融会贯通】 1．如果，那么的值是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 2．若，则 ． 3．若，则 ． 类型五、实数的大小比较与分类 【解惑】下面4个数中，比小的数是（    ） A．0 B．2 C． D． 【融会贯通】 1．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．比较大小： （填“”“”或“”）． 3．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 类型六、估算算术平方根 【解惑】估算的值（    ） A．8到9之间 B．9到10之间 C．10到11之间 D．11到12之间 【融会贯通】 1．估算的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．一个正方形的面积是，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 3．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 类型七、实数与数轴之间的化简 【解惑】如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果是（    ） A．a B． C． D． 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 3．已知点在数轴上表示的数的位置如图所示，化简 ． 类型八、程序流程图中的实数 【解惑】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是 ． 3．如图是一个数值转换器，当输入的值为81时，则输出的值是 ． 类型九、利用平方根、立方根解方程 【解惑】求下列各式中的x． (1)． (2)． 【融会贯通】 1．求下列各式中的值： (1) (2) 2．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 3．求下列各式中x的值． (1)； (2) 类型十、(算术)平方根与立方根的实际应用 【解惑】已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根． 【融会贯通】 1．已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 2．已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的整数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 3．已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 实数的初步认识思维导图 【类型覆盖】 类型一、平方根、立方根、实数、近似数的定义 【解惑】下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根． 【详解】解：A、9的平方根是，故该选项不符合题意； B、，故不是的平方根，故该选项不符合题意； C、没有平方根，故该选项不符合题意； D、，，故是的平方根，故该选项符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．正数的立方根是正数 B．的立方根是 C．负数和都有立方根 D．是的立方根 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的概念，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据立方根的概念逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、正数的立方根是正数，选项说法正确，不符合题意； B、的立方根是，选项说法正确，不符合题意； C、负数和0都有立方根，选项说法正确，不符合题意； D、的立方根是，是的立方根，选项说法错误，符合题意． 故选：D ． 2．写出一个比大的负有理数是 ；比大的负无理数是 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查实数的大小比较，有理数的大小比较，解题的关键是掌握：正数大于负数，正数大于零，零大于负数；数轴上的点所对应的实数，越往右越大．据此解即可． 【详解】解：根据数轴的特点找出在右边的负有理数及负无理数， 例如：比大的负有理数可以是，比大的负无理数可以是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 3．一只田园猫的体重经称量数值是一个两位小数，保留一位小数是，那么这只田园猫的体重最重为 ，最轻为 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法解答即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：根据四舍五入法可知，当小数的第二位小于时，保留一位小数后，第一位不变，所以保留一位小数后为的两位小数的最大值是；当小数的第二位大于等于时，保留一位小数后，第一位加，所以保留一位小数后为的两位小数的最小值是， ∴这只田园猫的体重最重为，最轻为， 故答案为：，． 类型二、求一个数的算术平方根、平方根 【解惑】“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据算术平方根的表示方法进行表示，然后即可求解． 【详解】解：的算术平方根表示为：， 故选：B 【融会贯通】 1．的平方根是（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根、平方根．依据平方根的定义、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，故A正确； 故选：A． 2．的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵，的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 3．若一个分数的平方等于，则这个分数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 利用平方根定义计算即可确定出这个数． 【详解】解：∵一个分数的平方等于， ∴这个分数为． 故答案为：． 类型三、求一个数的立方根、近似数 【解惑】9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是立方根的意义，根据立方根的意义可得答案. 【详解】解：的立方根是， 故选：B 【融会贯通】 1．下列说法中错误的是（    ） A．近似数万精确到万位 B．近似数 精确到十位 C．精确到百位的近似数为 D．精确到 【答案】D 【分析】本题考查的近似数的精确度． 解答本题的关键是先将其化为一般形式，看该近似数的最后一位数字所在的数位是否与所要求精确到的数位对应． 【详解】A：近似数万，数字7在万位上，所以该选项正确； B：，数字6在十位上，所以该选项正确； C：精确到百位，就看十位上的数字，十位上是7，根据四舍五入向前一位进1，即，该选项正确； D：最后一位数字0在千分位上，所以是精确到，该选项说法错误． 故选D． 2．若a满足，则的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查算术平方根，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．已知，即的算术平方根等于本身，则的值为0或1，再求它的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴或1， ∴或1． 故答案为：0或1． 3．圆周率…精确到千分位的近似数是 ． 【答案】3.142 【分析】本题考查了近似数和精确度，理解近似数和精确度的概念是解题的关键； 精确到千分位，即保留到千分位，由于千分位1后面的5大于4，故进1，得3.142. 【详解】圆周率…精确到千分位的近似数是3.142， 故答案为：3.142 类型四、算术平方根的非负性 【解惑】若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．20 B．16 C．20或16 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，绝对值和算术平方根的非负性，三角形的三边关系， 先根据绝对值和算术平方根的非负性得，求出值，再根据三角形三边关系判断可得答案. 【详解】解：∵实数x、y满足 ， ∴, 解得. 当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为8时，等腰三角形的周长为：,符合题意. 故选：A. 【融会贯通】 1．如果，那么的值是（   ） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【分析】本题考查的是偶次方的非负性，算术平方根的非负性，乘方的运算，根据两个非负数相加得0，则每个加数均为0，得到，，求出x，y值，代入结论即可求解． 【详解】解：根据题意：，， 解得：， 则， 解得：， ∴． 故选：D． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，根据算术平方根和绝对值的非负性，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 3．若，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查代数式的求值，算术平方根的非负性及绝对值的非负性，正确掌握算术平方根的非负性及绝对值的非负性是解题的关键．根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 类型五、实数的大小比较与分类 【解惑】下面4个数中，比小的数是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而越小，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 即， 故选：D． 【融会贯通】 1．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数，算术平方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解． 【详解】解：，， 在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数有，(相邻两个1之间依次多一个 0) ，共2个， 故选：B ． 2．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，根据两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 3．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 类型六、估算算术平方根 【解惑】估算的值（    ） A．8到9之间 B．9到10之间 C．10到11之间 D．11到12之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键．利用“夹逼法”估算出的范围，即可得出的范围． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【融会贯通】 1．估算的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数大小的估算，先估算的范围，进而得出的范围即可求解，掌握无理数大小的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在和之间， 故选：． 2．一个正方形的面积是，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解；一个正方形的面积是，它的边长为， ，，且， ， 在整数与之间， ， 故答案为：． 3．一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 类型七、实数与数轴之间的化简 【解惑】如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．由数轴可得，则，，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简并计算即可． 【详解】解：由数轴可得， 则，， 原式 ， 故选：C． 【融会贯通】 1．实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果是（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值和求算术平方公式，实数与数轴，先根据数轴上点的位置得到．进而判断出，据此化简绝对值和求算术平方根，再化简即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：D． 2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根和整式的加减计算，先根据数轴得到，，再根据算术平方根的定义化简后利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．已知点在数轴上表示的数的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简绝对值，求一个数的算术平方根，先根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据绝对值的意义和算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：． 类型八、程序流程图中的实数 【解惑】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键．根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，计算出81的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可． 【详解】解：第一次输入81时，计算的结果为，是有理数 第二次输入9时，计算的结果为，是有理数 第二次输入3时，计算的结果为，是无理数， ∴输出的值是， 故答案为：． 3．如图是一个数值转换器，当输入的值为81时，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，有理数无理数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：当输入的x的值为81时， 其算术平方根为9，它是有理数，返回继续运算， 9的算术平方根为3，它是有理数，返回继续运算， 3的算术平方根为，它是无理数，输出结果， 故答案为：． 类型九、利用平方根、立方根解方程 【解惑】求下列各式中的x． (1)． (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查了平方根，立方根，解决本题的关键是根据平方根与立方根的意义求出未知数的值． 把方程整理成的形式，两边同时开平方可得：，可得两个关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可； 移项把方程转化为的形式，两边同时开立方可得：，解关于的一元一次方程求出的值即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 当时，， 当时，， 或； （2）解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【融会贯通】 1．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用平方根的定义求出方程的解； （2）先移项，再用立方根的定义求解． 【详解】（1）解： 两边除以，得 ∴或， 解得或； （2）解： 移项，得， 两边除以，得， ， 解得． 2．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程． （1）两边都除以16，再开平方即可； （2）两边开平方得，即可求解； （3）先移项，得出，再开立方； （4）先得出，再开立方． 【详解】（1）解：， 两边都除以16，得， 开平方，得． （2）解：， 开平方，得， 所以或． （3）解：， 移项，得， 两边都除以3， 得， 开立方，得． （4）移项，得， 两边都除以，得， 开立方，得， 移项，得， 两边都除以2，得． 3．求下列各式中x的值． (1)； (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的性质解方程； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴． 类型十、(算术)平方根与立方根的实际应用 【解惑】已知的算术平方根为，的立方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根．根据算术平方根、平方根、立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根为， ∴，则， ∵，而的立方根为， ∴，即， ∴， ∴的平方根是． 【融会贯通】 1．已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，以及算术平方根和平方根，利用立方根及算术平方根的定义列出方程，得到a与b的值，确定出的值，即可求出的平方根．熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 2．已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的整数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值； （2）将的值代入代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的整数部分为3， ∴； （2）解：由（1） ∴， ∴的平方根是． 3．已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根可直接求解． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ， 解得：， 的立方根是， ， 解得：； （2）由(1)知，， ， 的立方根为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$