学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（冀教版九上第23～25章）

11 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13._________________ 14．___________________ 15.__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） 22.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：冀教版九上第二十三章~第二十五章。 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列属于一元二次方程的是（　　） A．x2+3x B．2x+1＝7 C．x2＝3 D．x2+2y＝2 2．一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．九年级（1）班有5位学生参加志愿服务的次数分别为：7，7，8，10，12．那么这5位学生志愿服务次数的众数和中位数分别为（　　） A．7，8 B．12，8 C．7，9 D．12，9 4．某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝1722 B． C．x（x+1）＝1722 D． 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D．2 6．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 7．关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，利用圆规在AC上截取CD＝CB，在AB上截取AE＝AD，点E就是AB的黄金分割点．若AB＝4，则AE的长为（　　） A．2 B．22 C． D． 9．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 10．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为（　　） A．113° B．92° C．113°或92° D．92°或134° 11．如图，在▱ABCD中，M、N为对角线BD上的两点，连结AM并延长交BC于点E，连结EN并延长交AD于点F，若BM：MN：ND＝1：2：1，则AF：FD的值为（　　） A．7：1 B．8：1 C．9：1 D．10：1 12．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且，下列结论：①△ABE∽△ECF；②∠BAE＝30°；③AE⊥EF；④△ABE∽△AEF；⑤△ADF∽△ECF，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．用配方法解方程x2+6x+5＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝　　 ． 14．已知五边形ABCDE的边长分别为2，3，4，5，6，五边形A′B′C′D′E′和五边形ABCDE位似．若五边形A′B′C′D′E′的最短边长为6，则其周长为　　 ． 15．若，则k＝ 　　 ． 16．在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，点E在边BC上，当BE＝　　 时，以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（7分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度． 18．（8分）嘉嘉解一元二次方程x2﹣3x＝1的过程如下． 解：整理得x2﹣3x﹣1＝0，…① ∴a＝1，b＝3，c＝1，…② ∴Δ＝b2﹣4ac＝5＞0，…③ ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，…④ ∴，．…⑤ （1）嘉嘉解方程的方法是 　　 ，他的求解过程从第 　　 步开始出现错误； （2）请你写出这个方程正确的解题步骤． 19．（8分）某校七、八年级各有200人参加“防新冠安全知识竞赛”，两年级参赛人员中，各随机抽取10名学生的成绩如下： 七年级：64 72 86 86 97 64 81 86 91 97 八年级：72 76 79 83 88 89 76 83 83 93 【整理数据】 成绩 60≤x≤70 70≤x≤80 80≤x≤90 90≤x≤100 七年级 2 1 a 3 八年级 0 4 5 1 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 82.4 b 86 八年级 82.2 83 c 【应用数据】 （1）直接写出a＝　　 ，b＝　　 ，c＝　　 ； （2）请结合表格信息，判断样本中 　　 （填：七或八）年级学生的竞赛成绩更稳定？ （3）请估计该校七、八年级成绩大于80分的总人数． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值． 21．（9分）如图，小安正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在垂直于地面的墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上，且FC∥ED∥GA． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 22．（9分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． （1）请判断三人的说法的对错：小星 　　 ，小红 　　 ，小亮 　　 ．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC； （3）在（2）的条件下，△ACP∽△ABC，若BP＝1，，求AP的长． 声明：试题23．（11分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加1000个． （1）若售价下降1元，每月能售出 　　 个头盔，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 　　 个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价； （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从C出发，沿CB向点B移动．设P、Q两点移动时间为t s（0＜t＜2.5）． （1）CQ＝ 　　 cm，CP＝ 　　 cm（用含t的式子表示）； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：冀教版九上第二十三章~第二十五章。 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列属于一元二次方程的是（　　） A．x2+3x B．2x+1＝7 C．x2＝3 D．x2+2y＝2 【答案】C 【详解】解：x2+3x不是等式，则A不符合题意， 2x+1＝7中未知数的次数是1，则B不符合题意， x2＝3符合一元二次方程的定义，则C符合题意， x2+2y＝2中含有2个未知数，则D不符合题意， 故选：C． 2．一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴ ∴成绩最稳定的是甲， 故选：A． 3．九年级（1）班有5位学生参加志愿服务的次数分别为：7，7，8，10，12．那么这5位学生志愿服务次数的众数和中位数分别为（　　） A．7，8 B．12，8 C．7，9 D．12，9 【答案】A 【详解】解：数据从小到大排列，最中间的数是8， ∴中位数为8， 数据中7出现的次数最多， ∴众数为：7． 故选：A． 4．某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝1722 B． C．x（x+1）＝1722 D． 【答案】A 【详解】解：设该班有x人，则每人需送出（x﹣1）张， 依题意得：x（x﹣1）＝1722， 故选：A． 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：设（a≠0）， ∴a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴， 故选：A． 6．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2， ∴，， ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣5）＝3+5＝8， 故选：C． 7．关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 kx2﹣4x﹣2＝0有实数根， ∴b2-4ac≥0且k≠0，即b2-4ac＝（﹣4）2﹣4k×（﹣2）＝16+8k≥0且k≠0， 解得k≥﹣2且k≠0， 故选：C． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，利用圆规在AC上截取CD＝CB，在AB上截取AE＝AD，点E就是AB的黄金分割点．若AB＝4，则AE的长为（　　） A．2 B．22 C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：AB＝4， AEAB4＝22． 故选：B． 9．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意． 故选：C． 10．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为（　　） A．113° B．92° C．113°或92° D．92°或134° 【答案】C 【详解】解：∵△BCD∽△BAC， ∴∠BCD＝∠A＝46°， ∵△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD， ∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD， ①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC（180°﹣46°）＝67°， ∴∠ACB＝67°+46°＝113°， ②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°， ∴∠ACB＝46°+46°＝92°， 故选：C． 11．如图，在▱ABCD中，M、N为对角线BD上的两点，连结AM并延长交BC于点E，连结EN并延长交AD于点F，若BM：MN：ND＝1：2：1，则AF：FD的值为（　　） A．7：1 B．8：1 C．9：1 D．10：1 【答案】B 【详解】解：在▱ABCD中，M、N为对角线BD上的两点，BM：MN：ND＝1：2：1， ∴设BM＝m，MN＝2m，ND＝m， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△ADM∽△EBM，△FDN∽△EBN， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 12．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且，下列结论：①△ABE∽△ECF；②∠BAE＝30°；③AE⊥EF；④△ABE∽△AEF；⑤△ADF∽△ECF，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，F是CD上一点，且CFCD， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠D＝90°，EC＝BEBC， 设AB＝BC＝CD＝AD＝4m，则EC＝BE＝2m，CF＝m，DF＝3m， ∴2，2， ∵，且∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECF，故①正确； ∴，∠AEB＝∠EFC，∴，∴， ∵∠AEB+∠CEF＝∠EFC+∠CEF＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（∠AEB+∠CEF）＝90°， ∴AE⊥EF，∠B＝∠AEF，∴△ABE∽△AEF， 故③正确；④正确； ∵∠B＝90°，AB＝4m，BE＝2m，∴AE2m， 假设∠BAE＝30°成立，则AE＝2BE＝4m，与AE＝2m相矛盾， ∴∠BAE＝30°不成立，故②错误； ∵2，3，∴， ∵∠D＝∠C，但， ∴△ADF与△ECF不相似，故⑤错误， 故选：C． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．用配方法解方程x2+6x+5＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝　4　 ． 【答案】4 【详解】解：∵x2+6x+5＝0， ∴x2+6x＝﹣5， 则x2+6x+9＝﹣5+9，即（x+3）2＝4， ∴m＝4， 故答案为：4． 14．已知五边形ABCDE的边长分别为2，3，4，5，6，五边形A′B′C′D′E′和五边形ABCDE位似．若五边形A′B′C′D′E′的最短边长为6，则其周长为　60　 ． 【答案】60 【详解】解：由题意得，五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比为6：2＝3：1， ∴五边形A′B′C′D′E′的边长分别为6，9，12，15，18， ∴五边形A′B′C′D′E′的周长为6+9+12+15+18＝60． 故答案为：60． 15．若，则k＝ 　或﹣1　 ． 【答案】或﹣1 【解答】解：由题意可得，z＝kx+ky①，x＝ky+kz②，y＝kx+kz③， ①+②+③得，x+y+z＝kx+ky+ky+kz+kx+kz， 整理得x+y+z＝2k（x+y+z）， 当x+y+z≠0，则2k＝1，∴， 当x+y+z＝0，则z＝﹣（x+y）， 则1，1，1， 则1． 故答案为：或﹣1． 16．在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，点E在边BC上，当BE＝　或　 时，以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 【答案】或 【详解】解：在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，如图， ∵∠B＝∠B， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与△ABC相似，则需满足或， ∴或，解得：或； 故答案为：或． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（7分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度． 【详解】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴，...........................................................................................................................................4分 ∵AD＝3，AB＝8，AE＝4， ∴， ∴AC＝6．..................................................................................................................................................7分 18．（8分）嘉嘉解一元二次方程x2﹣3x＝1的过程如下． 解：整理得x2﹣3x﹣1＝0，…① ∴a＝1，b＝3，c＝1，…② ∴Δ＝b2﹣4ac＝5＞0，…③ ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，…④ ∴，．…⑤ （1）嘉嘉解方程的方法是 　公式法　 ，他的求解过程从第 　②　 步开始出现错误； （2）请你写出这个方程正确的解题步骤． 【详解】解：（1）嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 故答案为：公式法，②；........................................................................................................3分 （2）整理得x2﹣3x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝13＞0， ∴， ∴．...................................................................................................8分 19．（8分）某校七、八年级各有200人参加“防新冠安全知识竞赛”，两年级参赛人员中，各随机抽取10名学生的成绩如下： 七年级：64 72 86 86 97 64 81 86 91 97 八年级：72 76 79 83 88 89 76 83 83 93 【整理数据】 成绩 60≤x≤70 70≤x≤80 80≤x≤90 90≤x≤100 七年级 2 1 a 3 八年级 0 4 5 1 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 82.4 b 86 八年级 82.2 83 c 【应用数据】 （1）直接写出a＝　4　 ，b＝　86　 ，c＝　83　 ； （2）请结合表格信息，判断样本中 　八　 （填：七或八）年级学生的竞赛成绩更稳定？ （3）请估计该校七、八年级成绩大于80分的总人数． 【详解】解：（1）七年级成绩在80≤x≤90有4人，故a＝4； 把七年级10名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，故中位数b86； 八年级10名学生成绩出现次数最多的是83，故众数c＝83， 故答案为：4；86；83；............................................................................................................................3分 （2）由表格数据可知，八年级学生的竞赛成绩更稳定， 故答案为：八；...........................................................................................................................................5分 （3）200200260（人），................................................................................................7分 答：估计该校七、八年级成绩大于80分的总人数为260人．..............................................................8分 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值． 【详解】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2． ∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根；.................................................................................................3分 （2）解：当腰为4时， 把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0， 得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；.....................................................................................................5分 当底为4时， 则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴（m﹣3）2＝0， ∴m＝3，.......................................................................................................................................................7分 综上所述，m的值为4或3．....................................................................................................................8分 21．（9分）如图，小安正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在垂直于地面的墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上，且FC∥ED∥GA． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 【详解】解：（1）∵FC∥DE， ∴∠EDC＝∠FCB， ∵∠FBC＝∠EBD， ∴△BFC∽△BED，...................................................................................................................................2分 ∴，∴， 解得：BC＝3， ∴BC的长为3m；.......................................................................................................................................4分 （2）∵AC＝5.4m，BC＝3m， ∴AB＝AC﹣BC＝5.4﹣3＝2.4（m）， 由题意得：∠ABG＝∠FBC，GA⊥AD，FC⊥BD， ∴∠GAC＝∠FCB＝90°， ∴△FCB∽△GAB，...............................................................................................................................7分 ∴，∴， 解得：AG＝1.2， ∴灯泡到地面的高度AG为1.2m．......................................................................................................9分 22．（9分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． （1）请判断三人的说法的对错：小星 　对　 ，小红 　对　 ，小亮 　错　 ．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC； （3）在（2）的条件下，△ACP∽△ABC，若BP＝1，，求AP的长． 【详解】（1）解：∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC，∴小星的证明正确； ∵，∴△ACP∽△ABC， ∴小红的证明正确； 由不能证明△ACP∽△ABC， ∴小亮的证明错误， 故答案为：对，对，错；.............................................................................................................................3分 （2）证明：小星的证明： ∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACP∽△ABC； 小红的证明： ∵， ∴△ACP∽△ABC；......................................................................................................................................7分 （3）解：∵△ACP∽△ABC， ∴，∴， 解得AP＝2（负值舍去）．.......................................................................................................................9分 声明：试题23．（11分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加1000个． （1）若售价下降1元，每月能售出 　800　 个头盔，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 　（600+200x）　 个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价； （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 【详解】解：（1）∵售价每下降5元，其月销售量就增加1000个， ∴售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降1元，每月能售出600+200＝800（个）头盔， 若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个头盔； 故答案为：800，（600+200x）；.............................................................................................................3分 （2）设每个头盔降价x元， 由题意得：（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400， 整理得：x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝4时，600+200x＝1400＞1210，不符合题意，舍去； 当x＝3时，600+200x＝1200＜1210，符合题意； ∴40﹣x＝37， 答：每个头盔的售价为37元；.............................................................................................................7分 （3）月获利不能达到9600元，理由如下： 设每个头盔降价y元，则每月能售出（600+200y）个头盔， 由题意得：（40﹣30﹣y）（600+200y）＝9600， 整理得：y2﹣7y+18＝0， ∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0， ∴方程无实数根， ∴月获利不能达到9600元．..................................................................................................................11分 24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从C出发，沿CB向点B移动．设P、Q两点移动时间为t s（0＜t＜2.5）． （1）CQ＝ 　t　 cm，CP＝ 　（5﹣2t）　 cm（用含t的式子表示）； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 【详解】解：（1）在矩形ABCD中，∵AB＝3cm，BC＝4cm， ∴AC＝5cm，AP＝2t cm， ∴PC＝（5﹣2t）cm，CQ＝t cm， 故答案为：t，（5﹣2t）；........................................................................................................................4分 （2）如图1，∵∠PCQ＝∠ACB， ∴当∠PQC＝90°时，△CPQ∽△CAB， ∴， 即， 解得（秒）；..................................................................................................................................8分 如图2，∵∠PCQ＝∠ACB， ∴当∠CPQ＝90°时，△CPQ∽△CBA， ∴， 即， 解得（秒）．......................................................................................................................................11分 综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．.........................................................................12分 解析 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：冀教版九上第二十三章~第二十五章。 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列属于一元二次方程的是（　　） A．x2+3x B．2x+1＝7 C．x2＝3 D．x2+2y＝2 2．一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行了10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．九年级（1）班有5位学生参加志愿服务的次数分别为：7，7，8，10，12．那么这5位学生志愿服务次数的众数和中位数分别为（　　） A．7，8 B．12，8 C．7，9 D．12，9 4．某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝1722 B． C．x（x+1）＝1722 D． 5．已知，则的值为（　　） A． B． C． D．2 6．已知一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 7．关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，利用圆规在AC上截取CD＝CB，在AB上截取AE＝AD，点E就是AB的黄金分割点．若AB＝4，则AE的长为（　　） A．2 B．22 C． D． 9．如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 10．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为（　　） A．113° B．92° C．113°或92° D．92°或134° 11．如图，在▱ABCD中，M、N为对角线BD上的两点，连结AM并延长交BC于点E，连结EN并延长交AD于点F，若BM：MN：ND＝1：2：1，则AF：FD的值为（　　） A．7：1 B．8：1 C．9：1 D．10：1 12．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且，下列结论：①△ABE∽△ECF；②∠BAE＝30°；③AE⊥EF；④△ABE∽△AEF；⑤△ADF∽△ECF，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．用配方法解方程x2+6x+5＝0，方程可化为（x+3）2＝m，则m＝　　 ． 14．已知五边形ABCDE的边长分别为2，3，4，5，6，五边形A′B′C′D′E′和五边形ABCDE位似．若五边形A′B′C′D′E′的最短边长为6，则其周长为　　 ． 15．若，则k＝ 　　 ． 16．在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，点E在边BC上，当BE＝　　 时，以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（7分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度． 18．（8分）嘉嘉解一元二次方程x2﹣3x＝1的过程如下． 解：整理得x2﹣3x﹣1＝0，…① ∴a＝1，b＝3，c＝1，…② ∴Δ＝b2﹣4ac＝5＞0，…③ ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，…④ ∴，．…⑤ （1）嘉嘉解方程的方法是 　　 ，他的求解过程从第 　　 步开始出现错误； （2）请你写出这个方程正确的解题步骤． 19．（8分）某校七、八年级各有200人参加“防新冠安全知识竞赛”，两年级参赛人员中，各随机抽取10名学生的成绩如下： 七年级：64 72 86 86 97 64 81 86 91 97 八年级：72 76 79 83 88 89 76 83 83 93 【整理数据】 成绩 60≤x≤70 70≤x≤80 80≤x≤90 90≤x≤100 七年级 2 1 a 3 八年级 0 4 5 1 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 七年级 82.4 b 86 八年级 82.2 83 c 【应用数据】 （1）直接写出a＝　　 ，b＝　　 ，c＝　　 ； （2）请结合表格信息，判断样本中 　　 （填：七或八）年级学生的竞赛成绩更稳定？ （3）请估计该校七、八年级成绩大于80分的总人数． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值． 21．（9分）如图，小安正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在垂直于地面的墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上，且FC∥ED∥GA． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 22．（9分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． （1）请判断三人的说法的对错：小星 　　 ，小红 　　 ，小亮 　　 ．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC； （3）在（2）的条件下，△ACP∽△ABC，若BP＝1，，求AP的长． 声明：试题23．（11分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加1000个． （1）若售价下降1元，每月能售出 　　 个头盔，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 　　 个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为1210个头盔的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个头盔的售价； （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从C出发，沿CB向点B移动．设P、Q两点移动时间为t s（0＜t＜2.5）． （1）CQ＝ 　　 cm，CP＝ 　　 cm（用含t的式子表示）； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 一，选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每一小题给出的4个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 题号 1 2 6 9 10 11 12 答案 C B B C 二.填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13.4 14.60 15.方或-1 16.号或9 三.解答题（共8小题，满分72分） 17.【详解】解：：∠AED=∠B,∠A=∠A, ∴△ADE△ACB, 架=娼。 反t-4400400…404444404…444. AD=3,AB=8,AE=4, 品=青， AC=6. 4444447万 18.【详解】解：(1)嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 故答案为：公式法，②： 3分 (2)整理得x2-3x-1=0, “a=1,b=-3,c=-1, b2-4ac=13>0, x=--3)±h3315 2×1 2 xx3里 8分 19.【详解】解：(1)七年级成绩在80sx90有4人，故a=4: 把七年级10名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，故中位数b=86+6=86: 2 八年级10名学生成绩出现次数最多的是83，故众数c=83, 故答案为：4：86；83； 3分 第1页（共5页） 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)由表格数据可知，八年级学生的竞赛成绩更稳定， 故答案为：八； 405分 (3)200×0+200×#=260(人). 7分 答：估计该校七、八年级成绩大于80分的总人数为260人， 8分 20.【详解】(1)证明：△=[-(m+3)]2-4×1×3m=m2-6m+9=(m-3)2 :(m-3)2≥0，即△≥0， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根， 3分 (2)解：当腰为4时， 把x=4代入x2-(m+3)x+3m=0, 得，16-4m-12+3m1=0,解得m=4:45分 当底为4时， 则程x2。(m+3)x+3m=0有两相等的实数根， △=0， (m-3)2=0, m=3, 7分 综上所述，m的值为4或3.… 448分 21.【详解】解：(1)FCDE, ,∠EDC=∠FCB, ∠FBC=∠EBD, △BFC△BED, 2分 器-器 :9-器 解得：BC=3, BC的长为3m与… 4分 (2):AC=5.4m,BC=3m, ∴.AB=AC-BC=5.4-3=2.4(m), 由题意得：∠ABG=∠FBC,GALAD,FC⊥BD, 第2页（共5页） 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠GAC=∠FCB=90°， ∴.△FCB-△GAB, 447分 :器-器 鋁=9， 解得：AG=1.2, :.灯泡到地面的高度AG为12m 49分 22.【详解】(1)解：：∠ACP=∠B,∠A=∠A, ∴△ACP-△ABC, “小星的证明正确： :8=指，LA=LA, ∴△ACP-△ABC, “小红的证明正确： 由部=器，∠A=∠A不能证明△4CP-△ABC, “小亮的证明错误， 故答案为：对，对，错： 3分 (2)证明：小星的证明： :∠ACP=∠B,∠A=∠A, ∴△ACP-△ABC: 小红的证明： :器=铝，∠A=∠A. △ACP-△ABC: .7分 (3)解：：△4CP-△ABC, 能=指。 A里_6 ·6=AP+, 解得AP=2(负值舍去). 9分 23.【详解】解：(1)：售价每下降5元，其月销售量就增加1000个， ∴售价每下降1元，其月销售量就增加200个， 第3页（共5页） 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :若售价下降1元，每月能售出600+200=800（个）头盔， 若售价下降x元(x>0),每月能售出(600+200x)个头盔： 故答案为：800，(600+200x): 3分 (2)设每个头盔降价x元， 由题意得：(40-30-x)(600+200x)=8400, 整理得：x2-7x+12=0, 解得：1=3，x2=4, 当x=4时，600+200x=1400>1210,不符合题意，舍去： 当x=3时，600+200x=1200<1210,符合题意： 40-x=37, 答：每个头盔的售价为37元： 47分 (3)月获利不能达到9600元，理由如下： 设每个头盔降价y元，则每月能售出(600+200y)个头盔， 由题意得：(40-30-y)(600+200y)=9600, 整理得：y2-7+18=0, △=49-72=-23<0， ∴方程无实数根， 月获利不能达到9600元。11分 24.【详解】解：(1)在矩形ABCD中，：AB=3cm,BC=4cm, ∴.AC=5cm,AP=2tc1, .PC=(5-2t)cm,Co=tcm, 故答案为：k,(5-2t): 4分 (2)如图1，：∠PCQ=∠ACB, ∴.当∠PQC=90时，△CPQ-△CAB, 器-器， 即5=， 解得t=9(秒)： 8分 第4页（共5页） 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D B Q 图 如图2，：∠PCQ=∠ACB, :.当∠CPQ=90时，△CPQ-△CB4, 器-器 即5子平=， 解得t=(秒). 11分 综上所述，1为得秒与器秒时，△CPQ与△CAB相似. 12 分 D B 图2 第5页（共5页）1 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 12分） 13._________________ 14．___________________ 15.__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） 22.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分）