精品解析：第一次月考押题卷2025—2026学年浙教版数学九年级上册

九年级上册数学第一次月考押题卷浙教版2025—2026学年 考试范围：第一章二次函数和第二章简单事件的概率 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 3. 有6张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，6．从中随机抽取1张，该卡片上的数字恰好是3的整数倍的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.7左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 35个 B. 30个 C. 20个 D. 15个 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 7. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是( ) A. 或 B. C. D. 9. 在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a（a＜0）图象的大致位置可能是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线． 有下列结论： ①； ②若点均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，且，则； ④若m任意实数，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c＝_____． 12. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7，则布袋中红球的个数大约是________． 13. 二次函数+c（，、、c为常数）的部分对应值列表如下： … -2 -1 0 1 … … -3 -1 … 则代数式的值为______. 14. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为__________m． 15. 如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是_____． 16. 已知二次函数 ，当时， y的最大值为5，那么a的值为_____． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）求此抛物线顶点坐标． 18. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 19. 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 20. 如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于时，船只过桥洞会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度． 21. 某服装厂生产品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件时，批发单价为元，与之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数为10的正整数倍． （1）当时，与的函数关系式为__________． （2）某零售商到此服装厂一次性批发品牌服装200件，需要支付多少元？ （3）零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件，服装厂的利润为元，问：为何值时，最大？最大值是多少？ 22. 某校老师为了了解本班学生3月植树的成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：优秀：B：良好：C：合格．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求全班学生的人数． （2）在扇形统计图中，______，______，C类的圆心角度数为______． （3）老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出这2名同学全是B类学生的概率． 23. 已知二次函数． （1）求这个二次函数的对称轴； （2）若，当时，y的最小值为的最大值为4，求的值； （3）若该二次函数的图象经过点和，当时，y的最大值与最小值的差8，求m的值． 24. 已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结． （1）求点A、B的坐标； （2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； （3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 25. 设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，有最大值为，求的值； （3）若中只有一个数是正数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册数学第一次月考押题卷浙教版2025—2026学年 考试范围：第一章二次函数和第二章简单事件的概率 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 第I卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键．对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 2. 将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故选A． 3. 有6张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，6．从中随机抽取1张，该卡片上的数字恰好是3的整数倍的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，由此计算即可得解． 【详解】解：1，2，3，4，5，6这六个数中是3的整数倍的数是3，6， 故从中随机抽取1张，该卡片上的数字恰好是3的整数倍的概率是， 故选：B． 4. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.7左右，则布袋中白球可能有（ ） A. 35个 B. 30个 C. 20个 D. 15个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.7，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意：（个）， 故选：A． 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．令，求出y的值，即得出图象与y轴交点的坐标可判断A；由顶点式可直接得出对称轴是直线，顶点坐标为，可判断B和C；由，对称轴是直线，可得出当时，y随x的增大而增大，可判断D． 【详解】解：对于，令，则， ∴图象与y轴交点的坐标是，故A选项错误，不符合题意； 由二次函数解析式为，可直接得出对称轴是直线，顶点坐标为，故B选项错误，不符合题意、C选项正确，符合题意； ∵， ∴该抛物线开口向下． 又∵对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D选项错误，不符合题意． 故选C． 6. 若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数， ∴k≠0， 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0， 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0. 7. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 8. 如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是( ) A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．先根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点，再根据图象法求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，其与x轴一交点为， ∴二次函数与x轴的另一个交点为， ∴由函数图象可知，当或时，， ∴不等式的解集是或， 故选：A． 9. 在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限,然后作出选择. 【详解】解：a<0, 二次函数y= ax2的图象的开口方向是向下; 一次函数y=ax+a(a<0) 的图象经过第二、 三、四象限; 故选B. 【点睛】本题主要考查二次函数的图形及一次函数的图像. 10. 已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线． 有下列结论： ①； ②若点均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，且，则； ④若m为任意实数，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，依据题意，由抛物线经过，对称轴为直线，得出，再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断③，由时取最大值可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ， 故①错误； ， 抛物线开口向下． 又点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ， 故②错误； ∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线 ∴另一个交点坐标为， 方程可以看成与的交点，函数大致图象如下： ∴由图可得， 故③正确； ∵对称轴为直线，抛物线开口向下． ∴抛物线最大值为， 若为任意实数，则， ， 故④正确． 综上，正确的有③④． 故选：B． 二、填空题（6小题，每题3分，共18分） 11. 若抛物线y＝x2+2x+c的顶点在x轴上，则c＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，可知抛物线顶点的纵坐标等于0，从而可以求得c的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴y＝＝0，解得c＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为． 12. 在一个不透明的布袋中装有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7，则布袋中红球的个数大约是________． 【答案】35 【解析】 【分析】根据摸到红球频率，再利用红球个数=总数×摸到红球的频率，进而得出答案． 【详解】解：根据题意得： 50×0.7=35． 答：估计这个袋中红球的个数约为35． 故答案为：35． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 13. 二次函数+c（，、、c为常数）的部分对应值列表如下： … -2 -1 0 1 … … -3 -1 … 则代数式的值为______. 【答案】6.5 【解析】 【分析】由表格数据可知，当x=-2或0时，y=，所以可以判断出，（-1，-3）是抛物线的顶点，于是假设顶点式，代入一组数据可求出解析式，得出a、b、c的值，于是可求出的值． 【详解】解：由表格数据可知，当x=-2或0时，y=； ∴（-1，-3）是抛物线的顶点， ∴， 把x=0，y=代入得， ∴ ∴， ∴= . 故答案是：6.5. 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法，熟悉待定系数法是解题关键． 14. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为__________m． 【答案】## 【解析】 【分析】建立以所在直线为轴、所在直线为轴的直角坐标系，根据顶点设其解析式为，把代入求得的值，据此可得其函数解析式，再求得时的值可得答案． 【详解】解：如图，以所在直线为轴、所在直线为轴建立直角坐标系， 由题意知，抛物线的顶点的坐标为、点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， 则抛物线的解析式为：， 当时，有， 解得：（舍或， m， 答：水流的落地点到水枪底部的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解． 15. 如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 16. 已知二次函数 ，当时， y的最大值为5，那么a的值为_____． 【答案】1或或9 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，先求出抛物线的对称轴为直线，分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当，即时， ∴当时，函数有最大值5， ∴， 整理得：， 解得：或； 当，即时， ∴当时，函数有最大值5， ∴， 整理得：， ， ∴此方程无解； 当，即时， ∴当时，函数有最大值5， ∴， 整理得：， 解得：； 综上分析可知：a的值为1或或9； 故答案为：1或或9． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 已知抛物线经过点． （1）求的值； （2）求此抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式． （1）把代入，即可求出m的值； （2）根据（1）中求出m的值，得出抛物线的表达式，将其化为顶点式，即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∴该抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 18. 已知抛物线的图象经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【答案】（1） （2）不在，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法求解； （2）将代入（1）中结论即可求解． 小问1详解】 解：将，代入， 得：， 解得， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：将代入得： ， 点不在抛物线上． 19. 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． （1）小明赢的事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．） （2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【答案】（1）必然 （2）这个游戏对双方不公平．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平， （1）共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，所以小明胜的概率为，即可求解； （2）先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平； 解题的关键是掌握：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为． 【小问1详解】 解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵小明和小亮获胜随机事件， ∴小明赢的事件是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， 又∵， ∴这个游戏对双方不公平． 20. 如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于时，船只过桥洞会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度． 【答案】（1）； （2）此时水面的宽度为． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）利用顶点式计算即可． （2）根据题意将代入求得，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知顶点为：，且经过原点， 设函数关系式为：， 代入原点得：， 解得：； ∴该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：将代入得， 解得， ∴ 答：此时水面的宽度为． 21. 某服装厂生产品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件时，批发单价为元，与之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数为10的正整数倍． （1）当时，与的函数关系式为__________． （2）某零售商到此服装厂一次性批发品牌服装200件，需要支付多少元？ （3）零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件，服装厂的利润为元，问：为何值时，最大？最大值是多少？ 【答案】（1） （2）18000元 （3）或；3800 【解析】 【分析】（1）将两点（100，100），（300，80）代入到一次函数解析式，利用待定系数法即可求解； （2）将x=200代入到（1）求出y的值，最后求得答案； （3）当时，求得y的最大值，当求得y的最大值，最后作答． 【详解】解：（1）当100≤x≤300时，设与的函数关系式为y=kx+b，(k≠0)， 将点（100，100），（300，80）代入y=kx+b ，(k≠0)， ， 解，得 故答案填： （2）当时， 元 答：零售商一次性批发200件，需要支付18000元 （3）当时 ，抛物线开口向下 当时，随的增大而增大 又为10的正整数倍 时，最大，最大值是3800 当时，随的增大而减小 又为10的正整数倍 时，最大，最大值是3800 当时， 随的增大而增大 时，最大，最大值是3600 ∴当或时，最大，最大值是3800 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练运用函数的性质是解决问题的关键． 22. 某校老师为了了解本班学生3月植树的成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：优秀：B：良好：C：合格．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求全班学生的人数． （2）在扇形统计图中，______，______，C类的圆心角度数为______． （3）老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出这2名同学全是B类学生的概率． 【答案】（1）人 （2）15，60， （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由A类人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，用B的人数除以总人数可得对应百分比； （3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：全班学生总人数：（人）； 【小问2详解】 解：∵B类百分比为， ∴； ∵C类人数为：（人）， ∴C类百分比为， ∴； ∴C类的圆心角为， 故答案为：15，60，； 【小问3详解】 解：列表如下： A B B C A / BA BA CA B AB / BB CB B AB BB / CB C AC BC BC / 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果， ∴P(全是B类学生)＝． 23. 已知二次函数． （1）求这个二次函数的对称轴； （2）若，当时，y的最小值为的最大值为4，求的值； （3）若该二次函数的图象经过点和，当时，y的最大值与最小值的差8，求m的值． 【答案】（1）对称轴为直线 （2）2 （3）m的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象的点的坐标特征及二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据对称轴公式即可求出对称轴， （2）根据图象的性质即可列出方程式； （2）用待定系数法求出二次函数的表达式，根据在对称轴的同侧和异侧进行分类讨论． 【小问1详解】 解：∵，对称轴， 故这个二次函数的对称轴为直线， 【小问2详解】 解：∵，对称轴为直线， ∴当时，有最小值， 当时，有最大值， 即， 解得：， ． 【小问3详解】 解：由题意可知，， 解得：， 则二次函数的表达式为， 则对称轴为，顶点坐标为， ， （1）当在对称轴的左侧时，即时， ∵的最大值与最小值的差8， ∴， 解得：（舍去）， （2）当在对称轴的右侧时，即时， ∵的最大值与最小值的差8， ∴， 解得：（舍去）， （3）当在对称轴的两侧时，即时， ∵的最大值与最小值的差8， ∴或， 解得：（舍去）或（舍去）， 综上所述，的值为或． 24. 已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结． （1）求点A、B的坐标； （2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； （3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）①或②存在， 【解析】 【分析】（1）分别令，求解即可； （2）根据平移可得，，坐标，再根据二次函数的对称性求解即可； （3）①先求出直线的表达式，设点，则，分两种情况讨论，当时，，再列方程求解，同理再求当即可； ②连接，过Q作交的延长线与T，则，设点的横坐标为，点的横坐标均为，根据平行四边形的性质和判定可求出，再证明，解方程求解即可． 【小问1详解】 解：对于，当时，， 令，解得：或， ； 【小问2详解】 解：由题意可知，抛物线对称轴为直线， 则点的坐标为：，点，点， ，解得：， 的横坐标为：， 当时，， ； 【小问3详解】 解：①设直线的表达式为， 把、代入得，， 解得：， 直线的表达式为， 设点，则， ， 点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点， ， ， ， ， 轴， ， 当时， ， ， ， 解得：或（舍）， ； 当时， ， ， ， 过B作于H，则， ， ， ， 或（舍）， ， 综上，点的坐标为：或； ②存在，理由如下： 连接，过Q作交的延长线与T，则， 与相互平分， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， 设点的横坐标为，点的横坐标均为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， 在中，． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的对称性，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，综合运用以上知识解题是解题的关键； 25. 设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，有最大值为，求的值； （3）若中只有一个数是正数，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用表格数据以及待定系数法求解即可； （2）由表可知，抛物线经过两点，进而得到抛物线的对称轴为直线,则，即，再分和两种情况解答即可； （3）根据题意得出，由，得出，则二次函数为，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由表可知，抛物线经过两点， ∴当或时，, ∴抛物线的对称轴为直线, ∴，即， ∴ ∵当时，有最大值为，， ∴①当，时，有最大值，， ∴，解得：； ②当，则或时，函数y取得最大值， ∴，； 综上，的值或． 【小问3详解】 解：∵和时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴是顶点，和关于对称轴对称， 若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且， ∵， ， ∴二次函数为， ， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$