2026年中考数学一轮复习考点探究课件：一元二次方程的解法及应用

该初中数学中考复习课件聚焦一元二次方程解法、根的判别式、实际应用等核心考点，严格对接中考说明，通过课标导航分析5年3考的解法、1考的判别式等考点权重，以知识点梳理配基础小练归纳常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于真题集训与应试技巧结合，精选2022-2024年广东中考真题，通过易错点拨分析解方程符号错误等问题，以增长率问题实例示范建模过程，培养运算能力和应用意识。助力学生掌握解题技巧，为教师提供系统复习框架，提升中考冲刺效率。

一元二次方程的解法及应用 1 内容要求 对应命题点 考频 核心素养 ①理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. ②会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. ③了解一元二次方程的根与系数的关系. ④能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 一元二次方程及其解法 5年3考 运算能力 抽象能力 应用意识 推理能力 一元二次方程根的判别式 5年1考 一元二次方程根与系数的关系 5年0考 一元二次方程的应用 5年0考 2 知识点1　一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程 (1)概念：等号两边都是整式，只含有______个未知数(一元)，并且未知 数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一元二次方程.  (2)一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0).其中ax2，bx，c分别称 为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数. 2.一元二次方程的解：使方程左右两边________的未知数的值就是一元二 次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.  一 相等 3 【基础小练】 1 若关于x的方程(k-2)x2+3x-1=0是一元二次方程，则k的取值范围是 (　　) A.k≠0 B.k≠2 C.k>2 D.k>0 2 若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为___.  -2 4 知识点2　一元二次方程的解法 直接开 平方法 形如(x+m)2=n(n≥0)或(ax+b)2=(cx+d)2的方程，两边开平方转化为两个一元一次方程求解 配方法 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方化成(x+m)2=n(n≥0)的形式，再直接开平方 公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0，利用求根公式 x=求解  因式分 解法 一元二次方程的一边为0，另一边易分解成两个一次因式的乘积，即可化为a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式 5 【基础小练】 把方程x2-4x+1=0配方成(x+m)2=n的形式为________.  (x-2)2=3 6 知识点3　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.________叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用 希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac.判别式的符号决定了方程根的情况，即  (1)Δ>0⇔方程有两个__________的实数根；  (2)Δ=0⇔方程有两个________的实数根；  (3)Δ<0⇔方程________实数根.  2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1+x2=___，x1x2=.  b2-4ac 不相等 相等 没有 - 7 【基础小练】 1关于x的一元二次方程x2+x+1=0有两个相等的实数根，则m的值 为___.  2 若a，b是一元二次方程x2+5x-2=0的两根，则2a+2b-ab的值为___.  4 -8 8 知识点4　一元二次方程的实际应用 常见类型 基本关系式 增长率 问题 增长率=×100%. 一般类型：设原来量为a，平均增长(下降)率为x，则一次增长(下降)后的值为a(1±x)，两次增长(下降)后的值为a(1±x)2 9 常见类型 基本关系式 利润 问题 (1)利润=售价-成本(进价)， 利润率=×100%. (2)购买问题中的“每每模型”：总利润=单件利润×数量；成本每件a元，售价为m元时的销量是n件，售价每降低d元，则可多卖出c件.设售价降低了 x元，则每件的利润为(m-x-a)元，销量增加件，销量变为(n+)件，则降价后的利润为w=(m-x-a)·(n+)元 10 常见类型 基本关系式 利息 问题 利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息 循环 问题 (1)单循环问题(比赛、握手)：设x个队进行m场比赛，每两个队 进行1场比赛，则m=(x≥2).  (2)双循环问题(送礼物)：设全班x人，每人向其他人赠送一张照片，共赠送m张照片，则m=x(x-1)(x≥2). 11 常见类型 基本关系式 面积 问题 如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影=____________；  如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白=__________；  如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白=__________.    (a-2x)(b-2x) (a-x)(b-x) (a-x)(b-x) 12 【关联情境】 一元二次方程的实际应用一般与增长率、篱笆围栏、握手、打电话等生活情境结合考查. 13 【基础小练】 (1)某班班主任为了让学生在开学季带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励.若全班共送出贺卡56张，设该班有x人，根据题意可列方程得(　　) A.x(x+1)=56 B.x(x+1)=56 C.x(x-1)=56 D.x(x-1)=56 14 (2)如图，某小区有一块长为18米、宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　　) A.x2-9x+8=0 B.x2-9x-8=0 C.2x2-9x+8=0 D.x2+9x-8=0 15 (3)重庆在低空经济领域实现了新的突破.2024年第一季度低空飞行航线安 全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次. 设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列 方程为______________.  200(1+x)2=401 16 命题点1　一元二次方程及其解法(5年3考) 1.(2022·广东)若x=1是方程x2-2x+a=0的根，则a=___.  2.【开放性】 (2021·广东)若一元二次方程x2+bx+c=0(b，c为常数)的两 根x1，x2满足-3<x1<-1，1<x2<3，则符合条件的一个方程为____________ _________.  3.(2021·广州)方程x2-4x=0的实数解是___________.  1 x2-2=0(答案 不唯一) x1=0，x2=4 17 4.【易错题】 (2023·广州)解方程：x2-6x+5=0. 解：分解因式得(x-1)(x-5)=0， ∴x-1=0，x-5=0，∴x1=1，x2=5. 18 【易错点拨】 解一元二次方程的易错点 ①在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定a，b，c的值，否则易出现符号错误； ②用因式分解法求一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为0，否则易出现错误； ③如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除以未知数，否则会漏掉x=0的情况. 19 命题点2　一元二次方程根的判别式(5年1考) 5.(2024·广东)若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根， 则c=___.  6.【拓展训练】已知关于x的一元二次方程(a-2)x2-4x-2=0有实数根，则 a满足__________.  1 a≥0且a≠2 20 7.【拓展训练】已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长. (1)证明：∵Δ=(k+2)2-4×2k=k2-4k+4=(k-2)2≥0， ∴无论k取何值，该方程一定有两个实数根. 21 (2)解：①若a=1为底边，则b，c为腰长，∴b=c， ∴Δ=0，∴(k-2)2=0，解得k=2， 此时原方程化为x2-4x+4=0， ∴x1=x2=2，即b=c=2. 此时△ABC的三边长分别为1，2，2，能构成三角形， ∴周长为1+2+2=5. ②若b，c中一边为腰，不妨设b=a=1， 22 把b=1代入方程得12-(k+2)+2k=0， 解得k=1， 则原方程化为x2-3x+2=0， 解得x1=1，x2=2，即b=1，c=2， 此时△ABC的三边长分别为1，1，2，不能构成三角形，则舍去. 综上所述，△ABC的周长为5. 23 命题点3　一元二次方程根与系数的关系(5年0考) 8.【易错题】 一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为(　　) A. B.-3 C.3 D.- 24 【易错点拨】 运用根与系数关系的注意点 ①当一元二次方程不是一般形式时，要先化成一般形式； ②运用x1+x2=-时，不要漏“-”； ③运用根与系数关系公式的前提：二次项系数a≠0，判别式b2-4ac≥0. 25 9.(2024·内江)已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1)填空：x1+x2=___，x1x2=___；  (2)求+，x1+； (3)已知+=2p+1，求p的值. p 1 26 (2)∵x1+x2=p，x1x2=1，∴+===p. ∵关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和 x2， ∴-px1+1=0，易知x1≠0， ∴x1-p+=0，即x1+=p. 27 (3)∵+=2p+1，∴(x1+x2)2-2x1x2=2p+1. ∵x1+x2=p，x1x2=1，∴p2-2=2p+1， 解得p1=3，p2=-1. 当p=3 时，Δ=(-p)2-4=9-4=5>0，符合题意； 当 p=-1 时，Δ=(-p)2-4=-3<0，不符合题意. ∴p=3. 28 命题点4　一元二次方程的应用(5年0考) 10.【情境化】[日常生活] (2025·揭阳一模)某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售128件.二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到200件.设二、三这两个月的月平均增长率不变. (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利2 250元？ 29 解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x. 根据题意得128(1+x)2=200， 解得x1=0.25=25%，x2=-2.25(不符合题意，舍去). 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%. (2)设商品降价y元，则每件的销售利润为(40-y-25)元，月销售量为(200+5y)件. 根据题意得(40-y-25)(200+5y)=2 250， 整理得y2+25y-150=0， 解得y1=5，y2=-30(不符合题意，舍去). 答：当商品降价5元时，商场获利2 250元. 30 11.【情境化】[日常生活] 某商场新建一个三层停车楼， 每一层布局如图所示.已知每层长为40米，宽为30米.阴 影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等 宽的通道，已知喷漆面积为816平方米. (1)求通道的宽是多少米. (2)据调查分析，当每个车位的月租金为500元时，可以租出10个车位.为了提高收入，公司经理决定，每多租一个车位，相应的每个车位的月租金可以减少10元.当租出多少个车位时，商场的月租金收入为8 000元？ 31 解：(1)设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为(40-2x)米、宽为(30-2x)米的矩形. 依题意得(40-2x)(30-2x)=816， 整理得x2-35x+96=0， 解得x1=3，x2=32(不符合题意，舍去). 答：通道的宽是3米. 32 (2)设多租y个车位，则租出(10+y)个车位，每个车位的月租金为(500-10y)元. 由题意得(500-10y)(10+y)=8 000， 整理得y2-40y+300=0， 解得y1=10，y2=30. 当y=10时，10+y=20； 当y=30时，10+y=40. 答：当租出20或40个车位时，商场的月租金收入为8 000元. 33 【基础巩固】 1.(2024·凉山)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，则a的值为(　　) A.2 B.-2 C.2或-2 D. 34 2.【易错题】 用配方法解方程时，下列配方错误的是(　　) A.x2+6x-7=0化为(x+3)2=0 B.x2-5x-4=0化为(x-)2= C.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100 D.3x2-4x-2=0化为(x-)2= 35 3.(2025·深圳一模)根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是(　　) A.0<x<0.5或3.5<x<4 B.0.5<x<1或3<x<3.5 C.0.5<x<1或2<x<2.5 D.0<x<0.5或3<x<3.5 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x2-4x+2 2 0.25 -1 -1.75 -2 -1.75 -1 0.25 2 36 4.方程x2-49=0的根是 ____________.  5.(2024·临夏)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根， 则m的值为___.  6.【整体思想】已知a是方程x2+x-1=0的一个根，则代数式-2a2-2a+2 025 的值是_______.  7.(2025·汕头一模)随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价为200元/ 瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶.现假定两次降价的百分率 相同，则该种药品平均每次降价的百分率为______.  x1=7，x2=-7 -1 2 023 30% 37 8.(1)(2024·安徽)解方程：x2-2x=3. (2)解方程：2x2-3x-1=0. 解：(1)∵x2-2x=3，∴x2-2x-3=0， ∴(x-3)(x+1)=0，∴x1=3，x2=-1. (2)∵2x2-3x-1=0，∴a=2，b=-3，c=-1， ∴b2-4ac=9+8=17>0， ∴x=，∴x1=，x2=. 38 【能力提升】 9.(2024·广州)定义新运算：a⊗b=例如：-2⊗4=(-2)2-4=0， 2⊗3=-2+3=1.若x⊗1=-，则x的值为______.  -或 39 10.(2023·湖北天仙潜)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根分别为a，b，若(2a+b)(a+2b)=20，求m的值. (1)证明：∵Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m) =4m2+4m+1-4m2-4m=1>0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根. 40 (2)解：∵该方程的两个实数根分别为a，b， ∴a+b=-=2m+1，ab==m2+m. ∵(2a+b)(a+2b) =2a2+4ab+ab+2b2 =2(a2+2ab+b2)+ab =2(a+b)2+ab， ∴2(a+b)2+ab=20，∴2(2m+1)2+m2+m=20， 整理得m2+m-2=0， 解得m1=-2，m2=1，∴m的值为-2或1. 41 $$