5.2　函数的表示方法 课件-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

该高中数学课件聚焦函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）及分段函数，通过情景导入回顾5.1节函数问题，引导学生思考表示方式，搭建新旧知识联系的学习支架。 亮点是目标明确突出重难点，例题练习结合课本与拓展题型，分类讲解方法应用。以实例抽象函数表示（数学眼光），分类讨论分段函数（数学思维），用多形式表达关系（数学语言）。小结系统，助学生掌握，为教师提供优质教学资源。

苏教版2019高一数学（必修一）第五章 函数的概念与性质 5.2　函数的表示方法 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点) 3.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点) 4．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点） 情景导入 让我们再来看 5.1节开头的 3个函数问题. ● 这3个函数是怎样表示的? 新知探究 在第一个问题中，只要知道了表 5-1-1中的某个年份，就能从此表中查得相应的人口数. 这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法. 在第二个问题中，物体下落时间 x 与下落距离 y 的函数关系为 y＝4.9x2(x≥0). 这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法. 这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式. 在第三个问题中，我们用图象表示了时刻与气温的关系. 这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法. 列表法、解析法、图象法是表示函数的3种常用方法. 用列表法表示函数关系,不必通过计算就可以知道自变量取某个值时,相应的函数值是多少; 用解析法表示函数关系，便于用解析式研究函数的性质; 而用图象法表示函数关系,可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况. 课本例题 购买某种饮料 x 听，所需钱数为 y 元. 若每听 2 元，试分别用解析法、列表法、图象法将 y 表示成 x (x∈{1，2，3，4})的函数，并指出这个函数的值域. 例 1 解：(1) 解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}. (2) 列表法：如表所示. x/听 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8 (3)图象法：图象由点(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8) 组成，如图所示. 函数的值域是{2，4，6，8}. 画出函数 f(x) ＝∣x∣的图象，并求 f(－3)，f(3)，f(－1)，f(1) 的值. 例 2 －x，x＜0， 解：因为 f(x) ＝∣x∣＝ x， x≥0， 所以函数 f(x)的图象为过原点且平分第一象限、第二象限的一条折线， 如图所示. 其中，f(－3)＝3，f(3)＝3，f(－1)＝1，f(1)＝1. 某市出租汽车收费标准如下：在 3 km 以内(含 3 km) 路程按起步价9元收费，超过3 km 的路程按 24元/km 收费试写出收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式. 例 3 解 设路程为 x km 时，收费额为 y 元，则由题意得：当x≤3时，y＝9；当x＞3时，按 2.4 元/km 所收费用为 2.4×(x－3)，那么有 y＝9＋2.4×(x－3). 于是，收费额关于路程的函数解析式为 9， 0＜x≤3， y＝ 9＋2.4×(x－3)， x＞3， 9， 0＜x≤3， 即 y＝ 2.4x＋1.8， x＞3. 例2、例3中的函数具有共同特点: 在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式.像这样的函数,通常叫作分段函数(piecewise function). 分段函数是一个函数，而不是几个函数. 课本练习 1. 1 n mile (海里) 约合 1852 m，根据这一关系，写出米数 y 关于海里数 x 的函数解析式. 解 由题意得 y＝1852x (x≥0)， ∴ 米数 y关于海里数 x 的函数解析式为： y＝1852x (x≥0) 2. 画出函数 f(x)＝∣x＋3∣的图象. 解 当x＋3＞0，即 x＞－3时，f(x)＝∣x＋3∣＝x＋3， 当x＋3＜0，即 x＜－3时，f(x)＝∣x＋3∣＝－x－3. ∴ f(x)＝ 函数 f(x)＝∣x＋3∣的图象如图所示. x＋3 ，x≥－3， －x－3，x＜－3. 3. (1)用长为 30 cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积 S (单位：cm2) 表示为矩形一边长 x (单位：cm) 的函数，并画出函数的图象； 解 由题意可知 S＝ ＝x(15－x) ＝－x2 ＋15x，(0＜x＜15). (2) 用细铁丝围一个面积为 1 cm2 的矩形，试将所用铁丝的长度 l (单位：cm) 表示为矩形的某条边长 x (单位：cm) 的函数. 解 设矩形的某一条边长为x(cm)，则 x＞0，另一条边长为(cm)， 所以铁丝的长度 l＝2x＋，x＞0. (2) 用细铁丝围一个面积为 1 cm2 的矩形，试将所用铁丝的长度 l (单位：cm) 表示为矩形的某条边长 x (单位：cm) 的函数. 解 设矩形的某一条边长为x(cm)，则 x＞0，另一条边长为(cm)， 所以铁丝的长度 l＝2x＋，x＞0. 4. 下列图象中，表示函数关系 y＝f(x) 的有________. (1)(4) 题型分类讲解 题型一　三种表示方法的应用 1.某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}. 解　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000             x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： 题型二　函数图象问题 2.作出下列函数的图象并求出其值域. 当0<x<1时，图象是反比例函数图象的一部分； 当x≥1时，图象是直线y＝x的 一部分.作该分段函数的图象如 图所示 ，可得函数的值域是 [1，＋∞). 列表如下： (2)y＝|x＋1|. 解　当x＋1≥0，即x≥－1时， y＝x＋1； 当x＋1<0，即x<－1时， y＝－x－1. 该分段函数的图象如图所示， 可得函数的值域是[0，＋∞). 3.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)作出函数y＝f(x)的图象； (2)讨论方程f(x)＝a的解的情况. 解　(1)先作出y＝x2－4x＋3的图象，然后将其在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，原x轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象. (2)由图象易知， 当a<0时，原方程无解； 当a＝0或a>1时，原方程有两个解； 当0<a<1时，原方程有四个解； 当a＝1时，原方程有三个解. 题型三　求函数解析式 角度1　换元法(配凑法)求函数解析式 4.求下列函数的解析式： (1)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)； 解　(1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)， 所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). ∴f(x)＝2x－1. 角度2　用待定系数法求函数解析式 5.(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)； 解　设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25， (2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x). 解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 角度3　消元法(或解方程组法)求函数解析式 6.定义在区间(－1，1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x2，求f(x)的解析式. 解　∵对任意的x∈(－1，1)有－x∈(－1，1)， 由2f(x)－f(－x)＝x2，① 得2f(－x)－f(x)＝(－x)2，② ①×2＋②消去f(－x)得3f(x)＝3x2， ∴f(x)＝x2(－1<x<1). 函数的表示法 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 求解析式的方法： （1）待定系数法：函数类型已知时设出函数的一般式，然后利用条件求待定系数 （2）换元法：将含变量的代数式用新变量表示，进而求得解析式 （3）方程组法:根据已知条件构造方程组，进而求出函数解析式 (1)用换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围 (2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题 数学抽象：通过具体实例学习过程渗进归纳推理，培养数学抽象的核心素养 解析法 列表法 图象法 课堂小结 已知函数值求字母的值的四个步骤 分段函数 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 求值、作图、应用 (1)讨论：对字母的取值范围分类讨论. (2)代入：由不同取值范围，代入对应的解析式中. (3)求解：通过解方程求出字母的值. (4)检验：检验所求的值是否在所讨论的区间内.. 分段函数是一个函数，而不是几个函数 作分段函数图象时要注意衔接点的虚实 数学运算：通过分段函数的求值，培养数学运算的核心素养 课堂小结 解　y＝ x … 1 2 3 … y … 4 2 1 2 3 … (1)y＝ 故y＝ (2)法一(换元法)　令t＝eq \r(x)＋1，t≥1，则x＝(t－1)2， 法二(配凑法)　f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＝x＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1. 因为eq \r(x)＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1). (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x). ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,2b＝－4，,2a＋2c＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－1，))∴f(x)＝x2－2x－1. ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝16，,kb＋b＝－25，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝4，,b＝－5))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－4，,b＝\f(25,3)，)) ∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋. $$