5.1函数的概念和图象（第2课时函数的图象）课件-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第五章 函数的概念与性质 5.1　函数的概念和图象 第2课时　函数的图象 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.理解用函数图象表示函数. 2.会画函数图象，并结合图象求函数值域. 3.能初步掌握利用函数的图象研究函数的性质的方法。 情景导入 在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数 y＝2x－1，y＝ (x≠0)以及 y＝x2 的图象社会生活中还有许多函数图象的例子，如图所示的心电图、示波图等. 新知探究 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.这些点组成的集合（点集）为{(x，f(x)) ∣x∈A}即 {(x，y) ∣y＝f(x)，x∈A} 所有这些点组成的图形就是函数 y＝f(x) 的图象. 例如，初中学习过的 y＝ 的图象就是由点集 {(x，y) ∣y＝，x≠0，x∈R}中元素(点) 组成的图形. 课本例题 例 4 试画出下列函数的图象： (1) f(x) ＝ x＋1； (2) f(x) ＝ (x－1)2＋1，x∈[1，3). 解：描点作出图象，函数图象分别如图 5-1-4 和 5-1-5 所示. 函数 f(x)＝(x－1)2＋1， x∈[1，3) 的图象为函数g(x)＝(x －1)2＋1，x∈R 的图象上 x∈[1，3) 的一段. 其中，点(1，1) 在图象上，用实心点表示；而点(3，5)不在图象上，用空心点表示. 在 5.1节开头的第一个问题中，如果把人口数 y (百万)看作年份 x 的函数，试根据表 5-1-1，画出这个函数的图象. 例 5 解 由表5-1-1的数据，西出的函数图象是8个点，如图 5-1-6所示. 思考 设函数 y＝f(x) 的定义域为 A，集合 P＝ {(x，y)∣y＝ f(x). x∈A}与Q＝{y∣y＝f(x)， x∈A }相等吗? 请说明理由. 例 6 试画出二次函数 f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题： (1) 比较 f(－2)，f(1)，f(3) 的大小； (2)若0＜x1＜x2，试比较 f(x1)与f(x2)的大小. 解 函数图象如图 (1) 比较 f(－2)，f(1)，f(3) 的大小； 解 根据图 (1)，容易发现 f(－2) ＝f(2)， f(1)＜f(2)＜f(3). 所以 f(1)＜f(－2)＜f(3). (2) 若0＜x1＜x2，试比较 f(x1)与f(x2)的大小. 解 根据图 (2)，容易发现 当0＜x1＜x2 时， f(x1) ＜f(x2). 思考 在例 6(2)中， (1) 如果把“0＜x1＜x2”改为“x1＜x2＜0”，那么 f(x1)与f(x2)哪个大? (2) 如果把“0＜x1＜x2”改为“∣x1∣＜∣x2∣”，那么 f(x1) 与 f(x2) 哪个大? 请结合图象回答上述两个问题，并用不等式的基本知识来解决例 6及上述思考中的问题. 下面我们介绍在 Excel 工作表中用“描点连线”的方法绘制函数 f(x)＝(x－1)2＋1的图象，不妨作 x∈[－2，2]上的图象. 信息技术 (1)第一列产生自变量的值：在单元格 A1，A2 内分别输入－2，－1.9，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖曳“填充柄”，如图 5-1-8，直到单元格内出现填充值 2 时为止. (2) 第二列产生对应的函数值： 如图 5-1-9，在 B1 内输入“＝(A1－1)^2＋1”，敲回车键或在编辑栏内选中“√”，拖曳 B1 的填充柄至所需的单元格(或双击 B1 的填充柄)，得到与第一列相对应的函数值. (3) 成图：光标置于数据区的任一位置，插入“图表”，选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”，点击“完成”，便得函数 f(x) ＝(x－1)2＋1在区间[－2，2 ]上的图象，如图 5-1-10. 你能用上面的方法绘制函数 f(x)＝x3的图象吗? 课本练习 1. 画出下列函数的图象： (1) f(x)＝2x－1； (2) f(x)＝2x－1，x∈ [－1，2)； (3) f(x)＝，x∈(0，＋∞)； (4) f(x) ＝ ＋1，x∈(0， ＋∞)； (5) f(x) ＝ x2，x∈[－1，2]； (6) f(x)＝(x－1)2，x∈[0，3]. 2. 先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域： (1) f(x)＝(x－1)2，x∈{－ 1，0，1，2}； 解 由定义域为{－ 1，0，1，2}知， 其函数图象就是四个点： A(－1，4)，B(0，1)，C(1，0)，D(2，1)，图象如图所示. 其值域为{4，1，0}. (2) f(x)＝x2，x∈[1，2)； 解 函数 f(x)＝x2，x∈[1，2) 的图象是抛物线 x2＝y落在第一象限内的一部分，其图象如图所示. 函数 f(x)＝x2，x∈[1，2)为增函数， 故值域为[f(1)，f(2))＝[1，4) (3) f(x)＝，x∈[1， 3)； 解 ∵x∈[1，3)，f(x)＝， ∴ 其图象落在第一象限，且是反比例函数 f(x)＝图象的一部分.图象如图所示. 函数 f(x)＝，x∈[1，3) 为减函数，故其值域为(f(3)，f(1)] ＝ (，1] (4) f(x)＝ ，x为正实数. 解 ∵x＞0，故f(x)＝＞0，其图象在第一象限内， 它是抛物线 y2＝x (x＞0，y＞0) 在第一象限内的部分. 其图象如图所示. 函数f(x)＝，x＞0 为增函数，故值域为(f(0)，＋∞)＝(0，＋∞ ) 3. 根据如图所示的函数 y＝f(x) 的图象填空： (1) f(0)＝_______，f(1)＝ _______， f(2) ＝_______. (2) 若－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)与 f(x2) 的大小关系是___________. 2 3 0 f(x1)＜ f(x2) 题型分类讲解 题型一　画函数图象 1.画出下列函数的图象： (1)y＝x2＋x，x∈{－1，0，1，2，3}；(2)y＝x2＋x，x∈R； 又y＝x2＋x开口向上，且与x轴、y轴分别交于点(－1，0)，(0，0).故图象如图. 解　(1)列表： x －1 0 1 2 3 y 0 0 2 6 12 描点得该函数的图象如图： (3)y＝x2＋x，x∈[－1，1). 解　y＝x2＋x，x∈[－1，1)的图象是y＝x2＋x，x∈R的图象上x∈[－1，1)的一段， 其中点(－1，0)在图象上，用实心点表示； 点(1，2)不在图象上，用空心点表示. 2.作出下列函数图象： (1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3). 解　(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}. ∴图象为一直线上的孤立点(如图①). (2)∵y＝2(x－1)2－5， ∴当x＝0时，y＝－3； 当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5. 所画函数图象如图②. 题型二　函数图象的应用 3.画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域. 解　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的定义域为R， 列表： x －1 0 1 3 y 0 3 4 0 描点，连线，得函数图象如图： (1)根据图象， 容易发现f(0)＝3， f(1)＝4，f(3)＝0， 所以f(3)<f(0)<f(1). (2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2). (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1，4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]. （2）(变换条件)如果将x1<x2<1改为x1>x2>1, 试比较f(x1)与f(x2)的大小. 解　当x1>x2>1时，结合图象知f(x1)<f(x2). （3）(变换条件)如果函数的定义域为[－1，4]，求函数的值域. 解　当定义域为[－1，4]时，结合图象知值域为[－5，4]. 题型三　由函数图象求值域 4.作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； 解　列表： x 0 2 y 1 5 当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]. 解　列表： (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 解　列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分.由图可得函数的值域是[－1，8]. 5.已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域. 解　(1)f(x)图象的简图如图所示. (2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]， 则f(x)的值域是[－1，3]. (2)y＝x2＋x＝－， 故函数图象的对称轴为x＝－， 顶点为. x 2 3 4 5 … y 1 … 当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq \f(2,x)图象的一部分，观察图象可知，其值域为(0，1]. (2)y＝，x∈[2，＋∞)； $$