1.2 有理数及其大小比较 讲义 2025--2026学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数中的相反数、绝对值及大小比较核心知识点，先阐述相反数的定义（只有符号不同）、几何（数轴两侧等距）与代数意义，再讲解绝对值的定义（数轴上点到原点距离）、非负性等性质及几何代数意义，最后通过数轴法和法则实现大小比较，构建“概念-性质-应用”的学习支架。 资料以“建体系-新知廊-求甚解-练题型”为框架，结合数轴体现几何直观（数学眼光），通过典例及中考变式练（2024-2025年真题）培养推理意识与运算能力（数学思维），用符号语言精准表达（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固查漏，提升知识应用能力。

1.2 有理数及其大小比较 目录 题型01 求一个数的相反数 3 题型02 求一个数的绝对值 5 题型03 绝对值的非负性 6 题型04 多重符号的化简 8 题型05 有理数的大小比较 9 建体系 新知廊 知识点1：相反数 1．定义： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数． 2．性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个．正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0． 3．意义： （1）几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数． （2）代数意义：互为相反数中，“相反”的意思是说“只有符号相反”，即两个数除符号不同外其余都相同．例如：–3和+1，虽然符号相反，但不互为相反数，而–3和+3，–1和+1互为相反数． 知识点2：绝对值 1．定义： 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 【注意】任何数的绝对值都不小于它本身，即．任何数都有唯一的绝对值，绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数． 2．性质： （1），即有最小值； （2）若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零； （3）若|x|=a（a>0），则x=±a． 3．意义： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 即： 或 ． （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 知识点3：有理数的大小比较 1．利用数轴（从形的角度）：在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2．利用法则（从数的角度）： （1）一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小． 求甚解 1．多重符号的化简方法： （1）在一个数前面添加一个“+”，所得的数与原数相等； （2）在一个数前面添加一个“–”，所得的数是原数的相反数； （3）对于有三个或三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“–”的个数，当“–”的个数为偶数时，结果取“+”，当“–”的个数为奇数时，结果取“–”． 2．含有绝对值的加、减、乘、除运算，先按照“正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”的原则将绝对值符号去掉，然后再进行加、减、乘、除运算． 练题型 题型01 求一个数的相反数 典型例题 典例 01 （2024秋•长安区期末）的相反数是（　　） A．2 B． C．﹣2 D． 【答案】B 【分析】直接根据相反数定义解答即可． 【解答】解：的相反数是． 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2024•达州）有理数2024的相反数是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义解题． 【解答】解：2024的相反数是﹣2024， 故选：B． 【变式练2】　（2024秋•新乡期末）有理数的相反数是（　　） A．﹣25 B． C．25 D． 【答案】B． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是． 故选：B． 【变式练3】　（2025•泰州二模）的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 【解答】解：根据概念，的相反数是﹣（），即． 故选：C． 题型02 求一个数的绝对值 典型例题 典例 02 （2025•信阳模拟）﹣3的绝对值是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：|﹣3|＝3， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025•即墨区校级二模）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正数的绝对值等于它本身，据此即可求得答案． 【解答】解：的绝对值是， 故选：C． 【变式练2】　（2025•永寿县校级三模）﹣8的绝对值是（　　） A．8 B． C．﹣8 D． 【答案】A 【分析】负有理数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案． 【解答】解：﹣8的绝对值是8． 故选：A． 【变式练3】　（2025•二七区模拟）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义即可求出答案． 【解答】解：||， 故选：C． 题型03 绝对值的非负性 典型例题 典例 03 （2025春•肇源县期中）式子|x+1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】D 【分析】直接利用绝对值的性质得出x的值． 【解答】解：∵式子|x+1|+2取最小值时， ∴x+1＝0， 解得：x＝﹣1． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2024秋•长汀县期末）如果x为有理数，式子2025﹣|x+4|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】根据绝对值的非负性得出|x+4|的最小值是0，从而得出式子2025﹣|x+4|的最大值． 【解答】解：∵|x+4|≥0， ∴|x+4|的最小值是0， ∴2025﹣|x+4|的最大值是2025﹣0＝2025， 故选：A． 【变式练2】　（2024秋•威信县期末）若|x﹣1|+|y+2|＝0，则5x﹣2y的值为（　　） A．﹣9 B．3 C．9 D．﹣1 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴5x﹣2y＝5×1﹣2×（﹣2）＝9． 故选：C． 【变式练3】　（2025春•肇源县期中）若|a+3|+|b﹣2|＝0，则ab的值为　　 ． 【答案】﹣6． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+3|+|b﹣2|＝0， ∴a+3＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣3，b＝2， ∴ab＝﹣3×2＝﹣6． 故答案为：﹣6． 题型04 多重符号的化简 典型例题 典例 04 （2025•越秀区校级模拟）下列化简，正确的是（　　） A．﹣（﹣7）＝﹣7 B．﹣[﹣（﹣15）]＝﹣15 C．﹣（+2）＝2 D．﹣[﹣（+8）]＝﹣8 【答案】B 【分析】根据相反数的定义逐项计算判断即可． 【解答】解：A、﹣（﹣7）＝7，故此选项不符合题意； B、﹣[﹣（﹣15）]＝﹣（+15）＝﹣15，故此选项符合题意； C、﹣（+2）＝﹣2，故此选项不符合题意； D、﹣[﹣（+8）]＝﹣（﹣8）＝8，故此选项不符合题意； 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2023秋•花山区校级期末）下列化简正确的是（　　） A．+（﹣2）＝2 B．﹣（﹣3）＝3 C．+（+3）＝﹣3 D．﹣（+2）＝2 【答案】B 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【解答】解：A、+（﹣2）＝﹣2，原计算错误，故此选项不符合题意； B、﹣（﹣3）＝3，原计算正确，故此选项符合题意； C、+（+3）＝3，原计算错误，故此选项不符合题意； D、﹣（+2）＝﹣2，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式练2】　（2024秋•五台县校级期中）﹣[﹣（+8）]化简得（　　） A．8 B．﹣8 C． D． 【答案】A 【分析】去括号法则：括号前面是负号，括号内的各项符号要改变． 【解答】解：﹣[﹣（+8）]＝8， 故选：A． 【变式练3】　（2024秋•昌平区期中）化简﹣{﹣[+（﹣1）]}的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣3 【答案】B 【分析】根据相反数的定义进行计算即可． 【解答】解：﹣{﹣[+（﹣1）]} ＝﹣[﹣（﹣1）] ＝﹣（+1） ＝﹣1． 故选：B． 题型05 有理数的大小比较 典型例题 典例 05 （2025•重庆模拟）在下列四个数中，绝对值最大的数是（　　） A． B． C．0 D．﹣4 【答案】D． 【分析】先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【解答】解：∵||，||，|0|＝0，|﹣4|＝4， ∵04， ∴绝对值最大的数是﹣4． 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025•苏州校级二模）数轴上表示﹣7.7的点在（　　） A．﹣6与﹣7之间 B．﹣7与﹣8之间 C．7与8之间 D．6与﹣7之间 【答案】B 【分析】有理数大小比较，根据数轴的特点，在原点的右边，数依次向右增大，在原点的左边，数依次向左减小即可求解． 【解答】解：∵﹣8＜﹣7.7＜﹣7， ∴数轴上表示﹣7.7的点在﹣7与﹣8之间， ∴选项A、C、D错误，选项B正确， 故选：B． 【变式练2】　（2025•宿迁）下列四个数中，最大的数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【答案】A 【分析】根据负数小于零小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可． 【解答】解：∴， ∴最大的数是2，故A正确． 故选：A． 【变式练3】　（2024秋•瓦房店市期末）填“＜”，“＞”或“＝”比较大小： 　　 ． 【答案】＜． 【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【解答】解：∵||＞||， ∴． 故答案为：＜． 学科网（北京）股份有限公司 $$