3.1.1 椭圆的标准方程（十一大题型）（题型专练）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

3.1.1 椭圆的标准方程 题型一：椭圆定义及辨析 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】C 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 2．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【详解】由椭圆，得，则， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线. 【详解】表示点到点的距离，表示点到点的距离， 所以表示点到点和的距离之和， 当时，方程表示的曲线是椭圆； 当时，方程表示的曲线是线段； 当时，方程表示的曲线不存在. 题型二：利用椭圆定义求方程 4．（22-23高二上·江苏镇江·阶段练习）已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：， 可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆， 则，可得， 注意到焦点在y轴上，所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 5．（22-23高二上·江苏淮安·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：到与的距离之和为，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，， 所以，，所以椭圆方程为. 故选：C 6．圆，圆心为，点，作圆上任意一点与点连线的中垂线，交于，求的轨迹的方程. 【答案】 【详解】连接，由中垂线性质，有， 其中，则， 所以， 故的轨迹为以两点为焦点，长轴长为4的椭圆， 其中，，故，，， 所以的方程为. 7．（2023高二·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，圆，点，过B的直线l与圆A交于点C，D，过B作直线BE平行AC交AD于点E.求点E的轨迹的方程. 【答案】. 【详解】圆的圆心，半径为4， 如图，因为，于是，而，则， 于是，因此E的轨迹是焦点为A，B，长轴长为4的椭圆的一部分， 设椭圆方程为，则，，， 从而椭圆方程为，又因为点E不在x轴上，则， 所以点E的轨迹的方程为.    题型三：根据方程表示椭圆求参数的范围 8．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：， 解得：， 故选：B 9．（24-25高二上·江苏南京·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得，即. 故选：C. 10．（24-25高二上·江苏·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 11．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【详解】，即， 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：. 题型四：根据椭圆方程求a、b、c 12．（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆方程：，可知， 因，故. 故选：D. 13．（多选）（2023高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】AB 【详解】因为，所以， 当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知，，所以， 又，解得. 当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，，所以， 解得. 综上，解得或． 故选：AB. 14．（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【详解】因为椭圆的标准方程为：，所以该椭圆的交点在轴上，且，， 所以，所以焦点坐标为：和. 因为表示点到两点和的距离之和； 根据椭圆的定义，所以. 故选：A. 15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为 . 【答案】3 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以，解得. 故答案为：3. 题型五:根据a、b、c求椭圆标准方程 16．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 当时，，解得，故， 所以， 因为，所以，即，解得， 故， 所以，解得， 所以， 椭圆C的标准方程为. 故选：A 17．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆面积公式可得,依题意有①， 又长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，得②， 联立①②得：， 故椭圆的方程为. 故选：A 18．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知菱形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】如图，以菱形的对角线的交点为原点建立平面直角坐标系， 因为菱形的边长为2，一个内角为60°， 不妨取， 则为等边三角形， 故， 则椭圆的焦距，短轴长，所以， 则长轴长，所以， 所以此时椭圆的标准方程为. 故答案为：.（答案不唯一） 19．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】由于椭圆焦距为，所以， 由于椭圆的焦点在轴上，， 所以， 解得. 故答案为： 题型六：根据椭圆过的点求标准方程 20．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过两点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】设椭圆为，代入两点得，解得. 故椭圆的标准方程为. 故答案为：. 21．椭圆经过点和，则该椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】解：由题意得： 椭圆的标准方程为 椭圆经过点和 将和代入 椭圆标准方程 故答案为：. 22．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 23．（23-24高二上·江苏·阶段练习）求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知：焦点在轴，且，设椭圆标准方程为，则， 由椭圆过点知，解得或（舍去）. 所以椭圆的标准方程为. （2）椭圆经过，两点，设所求椭圆的方程为， 把点、代入得，解得，所以所求椭圆的方程为. 题型七：求椭圆的焦点、焦距 24．（24-25高二上·江苏淮安·期中）椭圆的右焦点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，椭圆标准方程为，故， 所以右焦点为. 故选：C 25．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，则椭圆的焦距的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】椭圆的左、右焦点分别为、，可得，则， 则． 故选：B． 26．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【答案】C 【详解】由题有，所以 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 的值为5或3. 故选C. 27．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆:，则椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆方程是，所以， 所以，即，又因为椭圆焦点在轴上，所以焦点坐标为. 故选：B. 28．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆，则它的焦点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】椭圆的标准方程为，其中， 所以. 所以焦点坐标是和. 故选：B 题型八：椭圆上点到焦点的距离及最值 29．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若，则的值为（ ） A．8 B．6 C．20 D．10 【答案】A 【详解】因为椭圆方程为，所以， 又因为，所以， 故选：A. 30．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 31．（23-24高二上·江苏南通·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】根据椭圆的方程为， 所以，，，且焦点在轴上， 所以焦点坐标分别为，， 又在椭圆上， 所以表示：椭圆上的点P到两焦点距离和， 故 故选：C 32．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，设， 直线，的斜率分别为，，则， 又∵，即，∴，即， 由正弦定理得， 又，则， 联立解得，即， 所以，即. 故选：C 题型九：椭圆中焦点三角形的周长问题 33．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【详解】由题意， 所以的周长为16. 故选：C 34．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知、是椭圆的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则椭圆的焦点在轴上， 过的直线交于、两点， 若的周长为，则， 所以，. 故选：C. 35．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，椭圆， 则长轴，焦距， 的周长为. 故选：D 36．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆 的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，则的周长为 （     ） A．10 B．16 C．20 D．26 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可得：，， 则的周长为： . 故选：C. 37．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知为椭圆的焦点且，M，N是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过M点，则的周长为(    ) A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【详解】由于为直径的圆经过M点，所以， 不妨设则， 由椭圆定义可得 由勾股定理可得和， 即和， 解得， 故的周长为， 故选：D      题型十：椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 38．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B 39．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故，C正确， 故选：C 40．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【详解】点为椭圆：的右焦点，设椭圆的左焦点为， 又为上一点，为圆：上一点，圆的圆心，半径为， 则， 当且仅当四点共线时取等号， 则的最大值为. 故选：D. 41．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：. 42．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】易知为椭圆的下焦点，点在椭圆内部； 设为椭圆的上焦点，连接， 由椭圆定义可得，则， 所以， 当且仅当三点共线时，取得最小值，如下图所示： 因此则的最小值为. 故答案为： 题型十一：椭圆中焦点三角形的面积问题 43．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意可得，设， 则，所以， 解得，所以. 故选：A 44．（22-23高二上·江苏·阶段练习）设点P为椭圆上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 根据椭圆的定义以及余弦定理得 ， 整理得，即， 所以的面积为. 故选：C 45．（多选）（22-23高二上·江苏常州·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（    ） A．当时， B．的取值范围为 C．的面积的最大值为 D．椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形 【答案】BCD 【详解】在椭圆中，，且， 对于A，在中，由余弦定理可得， 即①， 又，即② 由②－①解得8， ∴的面积为，故A错误； 对于B，设点，则， ， ， ∵，，∴， ∴的取值范围为，故B正确； 对于C，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，当点位于椭圆的上、下顶点时，，，则，所以不可能为直角； 当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形； 当时，，此时点位于第一或第四象限，有2个直角三角形． 所以椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确． 故选：BCD． 46．（22-23高二上·江苏盐城·期中）设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为 . 【答案】4 【详解】∵，；∴，因为，所以， 设，， 则①，②， 由①2﹣②得， ∴． 故答案为：4． 47．（22-23高二上·江苏南京·开学考试）设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且． (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； (3)求点的坐标． 【详解】（1）由椭圆方程得：，，则， 椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点坐标为，，离心率. （2）由椭圆定义知：， ，， 即，解得：，. （3）设，则，解得：， ，解得：； 点坐标为或或或. 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以有，解得. 故选：A 2．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 【答案】C 【详解】设该椭圆的右焦点为， 因为点P在C上，所以， 所以， 当三点共线时，有最大值，即， 所以的最大值为， 故选：C    3．（23-24高二上·江苏常州·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知焦点在轴上，则，解得，故D正确. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知曲线，将曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线；将曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线．则曲线与的一个公共点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设曲线上任意点，则点在曲线上，于是得曲线：， 同理得曲线：，由，解得， 因此曲线与的公共点坐标为. 故选：C 5．（24-25高二上·江苏连云港·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【详解】由可得，，圆心为，半径； 由可得，圆心为，半径. 设动圆的圆心为，半径为， 由于动圆和外切，根据两圆外切的性质，， 由于动圆和内切，根据两圆内切的性质，， 于是， 即动点到的距离之和是，且大于两定点间距离， 根据椭圆的定义，动圆圆心的轨迹是椭圆. 故选：B 6．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点P满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即， 因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦， 因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 又，，所以，故， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．（0，1） 【答案】D 【详解】如图所示，点在轴右边，    因为为的垂直平分线，所以，． 由中位线定理可得． 设点．由两点间的距离公式， 得 ， 同理可得， 所以，故， 因为，，所以，故， 所以． 因为，所以，故的取值范围为． 故选：D． 8．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．11 【答案】A 【详解】由椭圆，得，∴， 由得，所以圆心，半径为. 设分别与椭圆、圆交于点 则，, 所以， 当且仅当四点共线时取等号 的最小值为. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二上·江苏淮安·开学考试）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【答案】AD 【详解】当即时，方程为， 表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误； 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误； 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确. 故选：AD. 10．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 【答案】AD 【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，得， 将代入，则，解得，不妨令，， 由，则，即，将其代入，可得， 化简得，由，解得，则椭圆， 对于A，当点为椭圆的上（或下）顶点时，最大，如图： 由椭圆，则，，在中，， 由对称性得，因此的取值范围为，A正确； 对于B，如图： 设，，则，， 在中，由余弦定理得，即，整理得， 因此，B错误； 对于C，设，，则，， 当时，为等腰三角形，此时的坐标为或， 当时，为等腰三角形，此时，设， 则，消去得， 由，则方程有解，C错误； 对于D，显然，当且仅当点为椭圆长轴端点时取等号， 因此，D正确. 故选：AD 11．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【答案】BCD 【详解】由题意知，，，则，. 对于A选项，因为，解得，又， 则，，故A错误； 对于B选项，的周长为，故B正确； 对于C选项，设的内切圆的半径， 则， 又，， 解得，故C正确； 对于D选项，在中， 由， 解得， 又， 即， 整理得：， 即， 即， 又， 解得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理知： ，即，解得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由已知可得，，解得. 故答案为：. 13．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则 【答案】 【详解】 曲线C的方程为，即，即有，， 由椭圆的定义可得且， 过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，结合光线的反射定律可得为的角平分线，即有． 故答案为： 14．（23-24高二上·江苏常州·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点作斜率为1的直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，若，则的值为 . 【答案】 【详解】   设. 由直线过右焦点且斜率为1；直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，可得：. 由，可得：，整理可得：. 则. 将代入可得：， 又因为 所以. 故答案为： 15．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以， 又，所以，，， 又，所以，所以，所以在轴上（也为椭圆的顶点）， 在中，由余弦定理可得， ，可得，解得， 所以，则的方程为. 故答案为：. 四、解答题 16．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 【详解】（1）椭圆C1：的焦点坐标为， 所以椭圆C的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆C过点M，∴， ∴，∴椭圆的标准方程为. （2）由椭圆方程得，，，    设，则，； 由得：（1）； 又点在椭圆上，可得（2）； （1）（2）联立消去得，，即； 故点到轴的距离是． 17．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 【详解】（1）由题意可得，设椭圆方程为， 由点在椭圆上可得， 又， 由以上两式消去并整理可得，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆方程为， （2）设椭圆方程为， 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为， （3）由题意可设椭圆方程为， 代入，可得，整理可得， 解得或（舍去） 所以椭圆方程为， 18．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆C：（）过点，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点A关于y轴的对称点为B，直线l与平行，且与椭圆C相交于，N两点，直线，分别与y轴交于P，Q两点．求证：四边形为菱形． 【详解】（1）由题意可知，解得． 所以椭圆的标准方程为． （2）点关于轴的对称点为点的坐标为． 直线OB的斜率为． 因为直线与OB平行，设直线的方程为． 由得, 由，得，且, 设， 则,   直线BM的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理可得点的纵坐标为． ， ， 所以线段PQ中点坐标为． 又线段AB中点坐标也为， 所以线段AB，PQ垂直且平分． 所以四边形APBQ为菱形．    19．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l方程为，过作直线的垂线，垂足分别为，点R为线段的中点，求证：四边形为梯形. 【详解】（1）由题意可知：，，解方程组得：，所以椭圆的标准方程为：. （2）设，则， 直线与椭圆方程联立得： ， 所以， ， 所以，，而与不平行，所以四边形为梯形.    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 椭圆的标准方程 题型一：椭圆定义及辨析 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 2．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）设是椭圆上的点，若是椭圆的两个焦点，则等于（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线. 题型二：利用椭圆定义求方程 4．（22-23高二上·江苏镇江·阶段练习）已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·江苏淮安·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．圆，圆心为，点，作圆上任意一点与点连线的中垂线，交于，求的轨迹的方程. 7．（2023高二·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，圆，点，过B的直线l与圆A交于点C，D，过B作直线BE平行AC交AD于点E.求点E的轨迹的方程. 题型三：根据方程表示椭圆求参数的范围 8．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏南京·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 题型四：根据椭圆方程求a、b、c 12．（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 13．（多选）（2023高二上·江苏·专题练习）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．6 D． 14．（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 15．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为 . 题型五:根据a、b、c求椭圆标准方程 16．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（    ）    A． B． C． D． 17．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知菱形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程： ． 19．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ． 题型六：根据椭圆过的点求标准方程 20．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过两点的椭圆的标准方程为 . 21．椭圆经过点和，则该椭圆的标准方程为 . 22．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 23．（23-24高二上·江苏·阶段练习）求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点. 题型七：求椭圆的焦点、焦距 24．（24-25高二上·江苏淮安·期中）椭圆的右焦点坐标为（  ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，则椭圆的焦距的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 26．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 27．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知椭圆:，则椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆，则它的焦点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型八：椭圆上点到焦点的距离及最值 29．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若，则的值为（ ） A．8 B．6 C．20 D．10 30．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 31．（23-24高二上·江苏南通·期中）点在椭圆上，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 32．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型九：椭圆中焦点三角形的周长问题 33．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 34．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知、是椭圆的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆 的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，则的周长为 （     ） A．10 B．16 C．20 D．26 37．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知为椭圆的焦点且，M，N是椭圆上两点，且，以为直径的圆经过M点，则的周长为(    ) A．4 B．6 C．8 D．12 题型十：椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 38．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 40．（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知点为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C． D． 41．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 42．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 . 题型十一：椭圆中焦点三角形的面积问题 43．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 44．（22-23高二上·江苏·阶段练习）设点P为椭圆上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 45．（多选）（22-23高二上·江苏常州·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（    ） A．当时， B．的取值范围为 C．的面积的最大值为 D．椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形 46．（22-23高二上·江苏盐城·期中）设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为 . 47．（22-23高二上·江苏南京·开学考试）设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且． (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； (3)求点的坐标． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（    ） A．1 B．b C．3 D．3b 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知曲线，将曲线上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线；将曲线上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线．则曲线与的一个公共点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏连云港·期中）一动圆与圆外切，与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点P满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．（0，1） 8．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．11 二、多选题 9．（23-24高二上·江苏淮安·开学考试）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 10．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 11．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 三、填空题 12．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 13．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则 14．（23-24高二上·江苏常州·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点作斜率为1的直线与椭圆相交，其中交点落在第一象限，若，则的值为 . 15．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为 . 四、解答题 16．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）（1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程； （2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离. 17．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 18．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆C：（）过点，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点A关于y轴的对称点为B，直线l与平行，且与椭圆C相交于，N两点，直线，分别与y轴交于P，Q两点．求证：四边形为菱形． 19．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l方程为，过作直线的垂线，垂足分别为，点R为线段的中点，求证：四边形为梯形. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$