第3章 排列、组合与二项式定理 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若A＝12C，则n等于(　　) A．8　　　　　　　　　 B．4 C．3或4 D．5或6 解析　由题意，可得A＝n(n－1)(n－2)，12C＝12×＝6n(n－1)，则n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)，且n∈N＋，n≥3，解得n＝8.故选A. 答案　A 2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　) A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 解析　每个同学都有两种报名方法， 则共有2×2×2×2×2＝32种报名方法．故选D. 答案　D 3．5本书编号为a，b，c，d，e，其中a必须排放在b的左边，则排放方法一共有(　　) A．42种 B．60种 C．30种 D．36种 解析　5本书任意排列，有A种排法，其中a在b的左边和a在b的右边是等可能的，其排法数目是一样的，所以a排放在b的左边一共有A＝60(种)排法，故选B. 答案　B 4．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案的种数为(　　) A．36 B．48 C．64 D．72 解析　根据题意，内科医生共有A＝2(种)分配方案，外科医生和护士的分配方案一样，都有CA＝6(种)，所以不同的分配方案有2×6×6＝72(种).故选D. 答案　D 5．已知(1＋ax)6＝1＋12x＋bx2＋…＋a6x6，则实数b的值为(　　) A．15 B．20 C．40 D．60 解析　(1＋ax)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cakxk. 令k＝1，则Ca＝12，解得a＝2，则b＝C22＝60，故选D. 答案　D 6．(x－y)(x＋y)5的展开式中，x2y4的系数为(　　) A．－10 B．－5 C．5 D．10 解析　(x－y)(x＋y)5＝x(x＋y)5－y(x＋y)5，(x＋y)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5-kyk. 令k＝4，则T5＝Cxy4；令k＝3，则T4＝Cx2y3. 所以x2y4的系数为C－C＝－5，故选B. 答案　B 7．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数的个数为(　　) A．576 B．1296 C．1632 D．2020 解析　根据题意，分两种情况讨论： 从0，2，4，6，8中取出2个数字不包含0，此时有CCA＝864(种)情况，即有864个没有重复数字的四位数； 从0，2，4，6，8中取出2个数字包含0，此时有CCCA＝432(种)情况，即有432个没有重复数字的四位数． 则由分类加法计数原理可知，一共有864＋432＝1296(个)四位数．故选B. 答案　B 8．有10个不同的小球，其中4个红球、6个白球．若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，现从10个小球中任取4个，使总分不低于6分的取法有(　　) A．120种 B．115种 C．95种 D．90种 解析　若取到4个红球，可得8分，有C＝1(种)取法； 若取到3个红球1个白球，可得7分，有C×C＝24(种)取法； 若取到2个红球2个白球，可得6分，有C×C＝90(种)取法． 综上，由分类加法计数原理可知，总分不低于6分的取法有1＋24＋90＝115(种). 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于的展开式，下列选项正确的有(　　) A．总共有6项 B．存在常数项 C．x2项的系数是40 D．各项的系数之和为243 解析　的展开式共有6项，故A正确； 通项公式为Tk＋1＝Cx5-k＝C·2k·x，令5－＝0，求得3k＝10，无非负整数解，故不存在常数项，故B错误； 令5－＝2，解得k＝2，可得x2项的系数是C·22＝40，故C正确； 令x＝1，可得各项的系数之和为35＝243，故D正确． 答案　ACD 10．小赵、小李、小罗、小王、小张为5名志愿者，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有(　　) A．若5人每人可任选一项工作，则有54种不同的方案 B．若每项工作至少安排1人，则有240种不同的方案 C．若礼仪工作必须安排2人，其余工作安排1人，则有60种不同的方案 D．已知5人身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的方案 解析　对于A，若5人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有45种选法，因此A错误； 对于B，分两步分析：先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有CA＝240(种)分配方法，因此B正确； 对于C，分两步分析：在5人中任选2人，安排礼仪工作，有C＝10(种)选法，再将其余3人安排余下的三项工作，有A＝6(种)情况，则由分步乘法计数原理可得，共有10×6＝60(种)不同的方案，因此C正确； 对于D，分两步分析：在5人中任选2人，安排在第一排有A＝20(种)排法，其余3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有20×2＝40(种)不同的方案，因此D正确．故选BCD. 答案　BCD 11．若(1－x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022，则(　　) A．展开式中所有项的二项式系数之和为22022 B．展开式中二项式系数最大的项为第1012项 C．a0＝1 D．a1＋a2＋a3＋…＋a2022＝0 解析　展开式中所有项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝22022，故A正确； 展开式中第1012项的二项式系数为C，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确； 令x＝0可得a0＝1，故C正确； 令x＝1可得a0＋a1＋…＋a2022＝0， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a2022＝－1，故D错误． 答案　ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲会议需2人参加，乙、丙会议各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种． 解析　甲会议需2人，有C种方法，乙会议需1人，有C种方法，丙会议需1人，有C种方法，共有C×C×C＝2520(种). 答案　2520 13．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________． 解析　法一　由题意可知，a1为多项展开式中x3项的系数，所以a1＝C×(－1)0＋C×1＝5，同理a2＝C×(－1)＋C×12＝3，a3＝C×(－1)2＋C×13＝7，a4＝C×(－1)3＋C×14＝0，所以a2＋a3＋a4＝10. 法二　令x＝0，则0＝a4；令x＝1，则0＋24＝1＋a1＋a2＋a3＋a4.因为a1＝C×(－1)0＋C×1＝5，所以a2＋a3＋a4＝10. 答案　5　10 14．在新高考改革中，学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术7科中任选3科参加高考，则学生有________种选法．现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有________种． 解析　由题意，7科中任选3科，即C＝＝35. 分为两类，第一类：物理、历史两科中是相同学科，则有CCC＝12种； 第二类：物理、历史两科中没有相同学科，则ACA＝48种， 所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12＋48＝60种． 答案　35　60 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)在①若展开式倒数后三项的二项式系数之和等于46，②若展开式中所有项的系数和为512，③若展开式中第3项与第4项的系数之比为3∶7这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线处，并且解答下列问题． 问题：在二项式的展开式中，________． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的常数项． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析　(1)选择条件①：由题意，得C＋C＋C＝C＋C＋C＝1＋n＋＝46，整理得n2＋n－90＝0，解得n＝9(n＝－10舍去).因此，二项展开式中共有10项，所以二项式系数最大的项有两项，即第5项和第6项． T5＝C()4＝， T6＝C()5＝， 所以展开式中二项式系数最大的项为和， 选择条件②：因为展开式所有项的系数和为512，所以(1＋1)n＝512＝29，解得n＝9. 以下同条件①. 选择条件③：依题意可得＝，即＝，所以n＝9. 以下同条件①. (2)由(1)得n＝9，二项式为，二项展开式的通项为Tk＋1＝C＝Cx (k＝0，1，2，…，9)，令－9＝0，得k＝6，所以展开式中的常数项为T7＝C＝C＝84. 16．(15分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N＋}，B＝{4，5，6，7，8}． (1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数？ 解析　由1<log2x＜3，得2<x<8，又x∈N＋， 所以x为3，4，5，6，7，即A＝{3，4，5，6，7}， 所以A∪B＝{3，4，5，6，7，8}， (1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成A＝120个三位数． (2)若从集合A中取元素3，则3不能作千位上的数字，有C·C·A＝180个满足题意的自然数；若不从集合A中取元素3，则有CCA＝384个满足题意的自然数．所以，满足题意的自然数共有180＋384＝564个． 17．(15分)有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？ 解析　设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类： 第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝6(种)； 第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝12(种)； 第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C·C＝8(种)； 第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A＝12(种)； 由分类加法计数原理，选派方法共有 6＋12＋8＋12＝38种． 18．(17分)把4个男同志和4个女同志均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票劳动，如果同样性别的两人在不同汽车上服务算作不同情况． (1)有几种不同的分配方法？ (2)每个小组必须是一个男同志和一个女同志，有几种不同的分配方法？ (3)男同志和女同志分别分组，有几种不同的分配方法？ 解析　(1)男、女合在一起共有8人，每辆车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一辆车，共有C种，再上第二辆车共有C种，再上第三辆车共有C种，最后上第四辆车共有C种，这样不同的分配方法，按分步乘法计数原理，有C·C·C·C＝2520种． (2)要求男、女各1人，因此先把男同志安排上车，共有A种不同方法，同理，女同志也有A种方法，由分步乘法计数原理，有A·A＝576种． (3)男、女分别分组，4个男同志平分成两组共有＝3种，4个女同志分成两组也有＝3种，这样分组方法就有3×3＝9种，因而不同的分配方法为9·A＝216种． 19．(17分)如图所示，在“杨辉三角”中，第n(n∈N＋)条和第(n＋1)条细斜线上各数之和与第(n＋2)条细斜线上各数之和的关系如何？并证明你的结论． 解析　第n条和第(n＋1)条细斜线上各数之和等于第(n＋2)条细斜线上各数之和．证明如下： 第n条细斜线上各数和为C＋C＋C＋C＋C＋…(最后一项：n为偶数时是；n为奇数时是)，第(n＋1)条细斜线上各数和为C＋C＋C＋C＋C＋C＋…，第n条和第(n＋1)条细斜线上各数之和为(C＋C＋C＋C＋…)＋(C＋C＋C＋C＋C＋…)＝C＋(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＝C＋C＋C＋C＋…，这正好是第(n＋2)条细斜线上各数之和． 学科网（北京）股份有限公司 $$