4.3.2 独立性检验(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)经过对χ2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当χ2>3.841时，我们(　　) A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B有关 B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B无关 C．有99%的把握说A与B有关 D．有95%的把握说A与B有关 解析　根据独立性检验原理知，当χ2>3.841时， 我们有以下结论：在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B有关； 即有95%的把握说A与B有关； 所以选项A，D正确．故选AD. 答案　AD 2．手机给人们的生活带来便捷，但同时也对中学生的生活和学习造成了严重的影响，某高校几个学生成立研究性学习小组，就使用手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下的表，则下列说法正确的是(　　) 成绩优秀 成绩不优秀 合计 不用手机 40 10 50 使用手机 5 45 50 总计 45 55 100 P(χ2≥k) 0.010 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关 B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩无关 C．有99.5%的把握认为使用手机对学习成绩有影响 D．无99%的把握认为使用手机对学习成绩有影响 解析　根据列联表中的数据，计算χ2＝≈49.495>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关，故选A. 答案　A 3．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性65人，男性55人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外25入主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外35人主要的休闲方式是运动．则认为休闲方式与性别有关系的把握大约为(　　) A．0.1　　　　　　 B．0.01 C．0.9 D．0.99 解析　根据所给的数据得到如表所示的2×2列联表， 男 女 总计 看电视 20 40 60 运动 35 25 60 总计 55 65 120 计算χ2＝≈7.552＞6.635，所以有99%的把握认为休闲方式与性别有关系．故选D. 答案　D 4．(多选题)某课外兴趣小组通过随机调查，利用独立性检验研究数学成绩是否优秀与性别的关系．计算得χ2＝6.748，经查阅临界值表知P(χ2≥6.635)＝0.01，则下列判断正确的是(　　) A．每100个数学成绩优秀的人当中就会有1名是女生 B．若某人数学成绩优秀，则他是男生的概率是0.010 C．有99%的把握认为“数学成绩是否优秀与性别有关” D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩是否优秀与性别有关” 解析　因为χ2＝6.748>6.635，所以有99%的把握认为“数学成绩是否优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩是否优秀与性别有关”，故选项C，D正确，故选CD. 答案　CD 5．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，某论坛在下面“性别与会俄语”的2×2列联表中，a＋b＋d＝________． 会俄语 不会俄语 总计 男 a b 20 女 6 d 总计 18 50 解析　根据2×2列联表知，a＝18－6＝12， b＋d＝50－18＝32， 所以a＋b＋d＝12＋32＝44. 故答案为44. 答案　44 6．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系． 超重 不超重 总计 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 总计 7 13 20 解析　χ2＝≈5.934>5.024， 所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系． 答案　0.025 7．在某种病毒A疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该疫苗进行实验，得到2×2列联表如表所示(部分数据缺失)： 被A病毒感染 未被A病毒感染 总计 注射疫苗 10 50 未注射疫苗 30 总计 a 100 表中a的值为________，计算可知，在犯错误的概率最多不超过________的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防A病毒感染的效果”． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析　根据题意，补充2×2列联表如表所示： 被A病毒感染 未被A病毒感染 总计 注射疫苗 10 40 50 未注射疫苗 20 30 50 总计 30 70 100 所以表中a的值为30. 计算χ2＝＝≈4.762＞3.841， 所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防A病毒感染的效果”． 答案　30　0.05 8．茶树根据其茶叶产量可分为优质茶树和非优质茶树，某茶叶种植研究小组选取了甲、乙两块试验田来检验某种茶树在不同的环境条件下的生长情况．研究人员将100株该种茶树幼苗在甲、乙两块试验田中进行种植，成熟后统计每株茶树的茶叶产量，将所得数据整理如表所示： 优质茶树 非优质茶树 甲试验田 a 25 乙试验田 10 b 已知甲试验田优质茶树的比例为50%. (1)求表中a，b的值； (2)根据表中数据判断，是否有99%的把握认为甲、乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 解析　(1)甲试验田优质茶树的比例为50%，即＝50%，解得a＝25. b＝100－25－25－10＝40. (2)由(1)及题表中数据计算 χ2＝＝≈9.890， 因为9.890>6.635，所以有99%的把握认为甲、乙两块试验田的环境差异对茶树的生长有影响． [关键能力·综合提升] 9．增加中学生体育锻炼时间的政策受到社会的广泛关注．某教育时报就“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”对某校高二年级部分学生做了专题调查，被调查的男、女生人数相同，其中男生支持的人数占被调查的男生人数的，女生支持的人数占被调查的女生人数的.若有99%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则被调查的男生可能有(　　) 附表： P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. A．135人 B．145人 C．150人 D．155人 解析　设参加调查的男生可能有x人，则女生也为x人，由题意得2×2列联表如下： 支持 不支持 合计 男生 x x x 女生 x x x 合计 x x 2x 则χ2＝＝x＞6.635， 得x>145.97， 因为x是15的倍数，所以选项C符合题意．故选C. 答案　C 10．(多选题)对甲、乙两个班级共105名学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到下表： 优秀 不优秀 总计 甲班 10 b 10＋b 乙班 c 30 30＋c 总计 10＋c 30＋b 40＋b＋c 已知在这105名学生中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则(　　) A．列联表中c的值为20，b的值为45 B．列联表中c的值为15，b的值为50 C．有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关系 D．没有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关系 解析　由题意，知成绩优秀的学生人数是105×＝30，成绩不优秀的学生人数是105－30＝75，所以c＝20，b＝45，选项A正确，B错误． 因为χ2＝≈6.1>3.841，所以有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关系，选项C正确，D错误． 答案　AC 11．有两个分类变量x和y，其中一组观测值为如表所示的2×2列联表： y1 y2 总计 x1 a 15－a 15 x2 20－a 30＋a 50 总计 20 45 65 其中a，15－a均为大于5的整数，则a＝________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为“x和y之间有关系”． 附：χ2＝. P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 解析　由题意知χ2≥6.635， 则 ＝≥6.635， 解得a≥8.65或a≤0.58. 因为a＞5且15－a＞5，a∈Z，所以a＝9. 答案　9 12．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天的结果如下表所示． 死亡 存活 总计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 总计 20 30 50 进行统计分析的统计假设是________，χ2＝________，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用________．(填“相同”或“不相同”) 参考公式：χ2＝ 解析　统计假设是“小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量无关”，由列联表中数据得χ2＝5.33>3.841.所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关．所以两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同． 答案　小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量无关　5.33　不相同 13．阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献．为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于三项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”，他们的调查结果如下： 0项 1项 2项 3项 4项 5项 5项以上 理科生人数 1 10 17 14 14 10 4 文科生人数 0 8 10 6 3 2 1 (1)完成如下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为了解阿基米德与选择文理科有关？ 比较了解 不太了解 总计 理科生 文科生 总计 (2)在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本． ①求抽取的文科生和理科生的人数； ②从10人的样本中随机抽取3人，用X表示这3人中文科生的人数，求X的分布列和数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 解析　(1)依题意填写2×2列联表， 比较了解 不太了解 总计 理科生 42 28 70 文科生 12 18 30 总计 54 46 100 χ2＝≈3.382＜6.635， ∴没有99%的把握认为了解阿基米德与选择文理科有关． (2)①由分层抽样的定义可得，抽取的文科生人数是10×＝3，抽取的理科生人数是10×＝7. ②X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. [核心价值·探索创新] 14．小李为研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关的可能性最大的变量是(　　) 表1 性别 成绩 总计 不及格 及格 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 36 52 表2 性别 视力 总计 好 差 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 表3 性别 智商 总计 偏高 正常 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 36 52 表4 性别 阅读量 总计 丰富 不丰富 男 14 6 20 女 2 30 32 总计 16 36 52 A．成绩　　　　　　 B．视力 C．智商 D．阅读量 解析　χ＝，令＝m， 则χ＝82m， 同理，χ＝m×(4×20－12×16)2＝1122m， χ＝m×(8×24－8×12)2＝962m，χ＝m×(14×30－6×2)2＝4082m，∴χ＞χ＞χ＞χ，则与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量，故选D. 答案　D 15．已知甲、乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公司的具体聘用信息如下： 甲公司 职位 A B C D 月薪/元 6000 7000 8000 9000 获得相应职位的概率 0.4 0.3 0.2 0.1 乙公司 职位 A B C D 月薪/元 5000 7000 9000 11 000 获得相应职位的概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由； (2)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿进行了统计，得到如下数据分布： 选择意愿 人员结构 40岁以上(含40岁)男性 40岁以上(含40岁)女性 40岁以下男性 40岁以下女性 选择甲公司 110 120 140 80 选择乙公司 150 90 200 110 若分析选择意愿与年龄这两个变量，计算得到的χ＝5.551 3，则得出“选择意愿与年龄有关”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别哪一个有关的可能性更大？ 解析　(1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E(X)＝6000×0.4＋7000×0.3＋8000×0.2＋9000×0.1＝7000， E(Y)＝5000×0.4＋7000×0.3＋9000×0.2＋11 000×0.1＝7000， D(X)＝(6000－7000)2×0.4＋(7000－7000)2×0.3＋(8000－7000)2×0.2＋(9000－7000)2×0.1＝10002. D(Y)＝(5000－7000)2×0.4＋(7000－7000)2×0.3＋(9000－7000)2×0.2＋(11 000－7000)2×0.1＝20002. 则E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y). 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司．(或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司) (2)χ＝5.551 3>5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关”的结论犯错误的概率的上限是0.025. 由数据分布可得选择意愿与性别这两个变量的2×2 列联表如下： 选择甲公司 选择乙公司 总计 男 250 350 600 女 200 200 400 总计 450 550 1000 则χ＝＝≈6.734，且6.734>6.635，对照表可得“选择意愿与性别有关”的结论犯错误的概率的上限为0.01，由于0.01<0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别有关的可能性更大． 学科网（北京）股份有限公司 $$