4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．已知ξ的分布列为 ξ －1 0 1 2 P 则ξ的均值为(　　) A．0　　　　　　　　 B．－1 C． D． 解析　E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＋2×＝. 答案　D 2．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到．若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)＝(　　) A． B． C． D． 解析　法一　由题意得，随机变量X服从超几何分布，N＝10，M＝4，n＝2， 则E(X)＝＝＝. 法二　X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝.故选D. 答案　D 3．(多选题)随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表所示： X 1 2 3 4 P m n 则下列正确的是(　　) A．E(X)＝12 B．E(X)＝ C．m＝ D．n＝ 解析　根据分布列可知m＋n＝1－－＝. 因为Y＝12X＋17.E(Y)＝34， 可得12E(X)＋7＝34， 解得E(X)＝， 即1×＋2×m＋n×3＋4×＝ 整理得2m＋3n＝ 解得m＝，n＝， 故选BCD. 答案　BCD 4．(多选题)某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率均为p，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.64，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则(　　) A．p＝0.4 B．P(X＝0)＝0.36 C．P(X＝1)＝0.16 D．E(X)＝0.4 解析　设A，B两市受台风袭击的概率均为p， 则A市、B市都不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.64，解得p＝0.4或p＝1.6(舍去)， P(X＝0)＝1－0.64＝0.36，P(X＝1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P(X＝2)＝0.4×0.4＝0.16， ∴E(X)＝0×0.36＋1×0.48＋2×0.16＝0.8， 故选AB. 答案　AB 5．两个人射击，甲、乙各射击一次中靶的概率分别是p1，p2，且，是关于x的方程x2－5x＋m＝0(m∈R)的两个根，若两人各射击5次，甲射击5次中靶的期望是2.5.则p1＝________，p2＝________． 解析　由题意知甲服从X～B(5，p1)，所以E(X)＝5p1＝2.5.所以p1＝，又因为＋＝5. 所以p2＝. 答案　　 6．随机变量X的分布列如下： X －2 0 2 P a c 若数学期望E(X)＝，则c＝________． 解析　由题意可得a＋＋c＝1， 且－2a＋2c＝， 解得a＝，c＝. 故答案为. 答案　 7．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)为________． 解析　因为P(X＝0)＝＝(1－p)2×， 所以p＝. 随机变量X的可能取值为0，1，2，3，因此 P(X＝0)＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝××2＋×＝， P(X＝3)＝×＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 答案　 8．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的频率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X). 解析　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的事件为M， 则P(M)＝＝. (2)由题意知X服从参数为N＝10，M＝4，n＝5的超几何分布，X可取的值为：0，1，2，3，4，则 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P X的数学期望是E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2. [关键能力·综合提升] 9．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理，根据节前的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列如下表．若进这种鲜花500束，则期望利润是(　　) X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A.706元　　　　　　 B．690元 C．754元 D．720元 解析　节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340，则利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706.故期望利润为706元． 答案　A 10．某方盒中有5个除颜色外其余都相同的球(3个红球、2个白球)，现从盒中任取2个球，若球的颜色相同，则将2个球涂成白色并且放回盒中，否则将2个球涂成红色放回盒中．记X为方盒中最终的白球个数，则E(X)＝(　　) A．1 B． C．2 D． 解析　从5个球中任取2个球有C＝10种取法，由题意知X的所有可能取值为1，2，4，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，故E(X)＝1×＋2×＋4×＝2.故选C. 答案　C 11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X＝“|a－b|的取值”，则X的均值E(X)为________． 解析　对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2CCC＝126条，X可取的值有0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，故E(X)＝. 答案　 12．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立，根据该厂现有的技术水平，第一次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为0.5，0.6，0.4，第二次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为0.6，0.5，0.75，则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；设经过两次烧制后，合格工艺品的件数为ξ，则随机变量ξ的均值为________． 解析　第一次烧制后恰有一件产品合格的概率 P＝0.5×(1－0.6)×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.4)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.4＝0.38. 经过两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为P甲＝0.5×0.6＝0.3，P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.4×0.75＝0.3. 所以随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B(3，0.3)，故E(ξ)＝3×0.3＝0.9. 答案　0.38　0.9 13．有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取8件，经检验都为优质品时接受这批产品，若优质品数小于6件则拒收；否则做第二次检验，其做法是从产品中再另任取3件，逐一检验，若检测过程中检测出非优质品就要终止检验且拒收这批产品，否则继续产品检测，且仅当这3件产品都为优质品时接受这批产品．若产品的优质品率为0.9.且各件产品是否为优质品相互独立． (1)记X为第一次检验的8件产品中优质品的件数，求X的期望； (2)求这批产品被接受的概率； (3)若第一次检测费用固定为1000元，第二次检测费用为每件产品100元，记Y为整个产品检验过程中的总费用，求Y的分布列． (附：0.95≈0.590，0.96≈0.531，0.97≈0.478，0.98≈0.430，0.99≈0.387) 解析　(1)产品的优质品率为0.9，从中任取8件，X为第一次检验的8件产品中优质品的件数，依题意有X～B(8，0.9)， ∴X的期望为：E(X)＝8×0.9＝7.2， (2)产品被接受的概率： P＝0.98＋(C·0.96×0.12＋C·0.97×0.1)×0.93＝0.817. (3)Y的取值为1000元，1100元，1200元，1300元． P(Y＝1000)＝1－(C·0.96×0.12＋C·0.97×0.1)＝1－0.96＝0.469， P(Y＝1100)＝0.531×0.1＝0.053 1， P(Y＝1200)＝0.531×0.9×0.1＝0.047 79， P(Y＝1300)＝0.531×0.92×1＝0.430 11， ∴Y的分布列为 Y 1000 1100 1200 1300 P 0.469 0.053 1 0.047 79 0.430 11 [核心价值·探索创新] 14．小明家住在C区，他的学校在D区，从家骑自行车到学校的路有L1L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，. (1)若走L1路线，求至少遇到1次红灯的概率； (2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望； (3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由． 解析　(1)法一　设“走L1路线至少遇到一次红灯”为事件A，则P(A)＝C××＋C××＋C××＝，所以走L1路线，至少遇到一次红灯的概率为. 法二　设“走L1路线没有遇到一次红灯”为事件A，则“走L1路线至少遇到一次红灯”为事件，故P(A)＝＝××＝.所以P()＝1－P(A)＝1－＝， 所以走L1路线，至少遇到一次红灯的概率为. (2)依题意，X的可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝. 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝×0＋×1＋×2＝. (3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，Y～B，所以E(Y)＝3×＝2>E(X)，所以应选择L2路线． 15．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金，假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立，已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为. (1)求一投保人在一年度内出险的概率p； (2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元). 解析　各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p). (1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P()＝1－P(ξ＝0)＝， 又P(A)＝， 故p＝0.001. (2)该险种总收入为104a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出：104ξ＋5×104，盈利：η＝104a－(104ξ＋5×104)，由ξ～B(104，10-3)知，E(ξ)＝10，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－105－5×104.由E(η)≥0⇔104a－105－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元).故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 学科网（北京）股份有限公司 $$