4.2.3 二项分布与超几何分布(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A．取出的白球个数X服从二项分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 解析　对于AB，取出的白球个数X，黑球个数Y服从超几何分布，故A错误，B正确； 对于C，取出2个白球的概率为＝，故C错误； 对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为＝，故D正确，故选BD. 答案　BD 2．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　) A．[0.4，1)　　　　　 B．(0，0.4] C．[0.6，1) D．(0，0.6] 解析　根据独立重复试验发生n次的概率公式列式，得Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，结合0<p<1，解得0.4≤p＜1，故选A. 答案　A 3．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 解析　设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ，由P(ξ＝1)＝，得＝，化简得n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又该产品的次品率不超过40%，∴n≤4，应取n＝2，即这10件产品的次品率为＝20%. 答案　B 4．《九章算术》原名《九章》，是我国古代数学著作的代表之作，大约成书于秦汉时期，影响了中国数学和世界数学两千余年．小明的数学老师为了拓宽学生视野、增强学生民族自豪感，从《九章算术》中选出4道题目供学生思考解决，已知小明能够独立解决每道题目的概率均为，则小明恰好解决2道题目的概率是(　　) A． B． C． D． 解析　设4道题目中小明能独立解决的题数为X，则X～P， 所以P(X＝2)＝C··＝， 故选D. 答案　D 5．若X～H(2，3，5)，则P(X＝1)＝________． 解析　由超几何分布的概率公式可知：X～H(5，2，3)，则P(X＝1)＝＝. 答案　 6．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________． 解析　因为X～B(2，p)， 所以P(X＝k)＝Cpk(1－p)2-k，k＝0，1，2. 所以P(X≥1)＝1－P(X＜1)＝1－P(X＝0)＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2. 所以1－(1－p)2＝，结合0<p<1， 解得p＝. 答案　 7．如果X～B(20，p)，当p＝时，P(X＝2)＝________；P(X＝k)取得最大值时，k＝________． 解析　当p＝时， P(X＝2)＝C＝； P(X＝k)＝C·＝·C， 故当k＝10时取得最大值． 答案　　10 8．某班同学利用寒假在A小区进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，若生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数各占A小区总人数的比例如下表所示： A小区 低碳族 非低碳族 比例 在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X，求X的分布列． 解析　在A小区中随机选择的20户中，“非低碳族”有20×＝4(户)，由题可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝20，M＝4，n＝3.则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P [关键能力·综合提升] 9．为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则从无人休假店铺调剂1人到全部休假店铺，使得该店铺能够正常营业，否则全部休假店铺就停业，则该节假日两家店铺都能正常开业的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设“两家店铺不能都正常开业”为事件A，由题可得，有四人休假的概率为＝，有三个人休假的概率为C××＝，所以两家店铺不能都正常开业的概率为P(A)＝＋＝，所以该节假日两家店铺都能正常开业的概率为1－P(A)＝.故选D. 答案　D 10．(多选题)(2024·江苏镇江检测)甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队伍获胜，且比赛就此结束．现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的胜负是相互独立的，则下列说法正确的是(　　) A．甲队以3∶2获胜的概率为 B．甲队以3∶2获胜的概率为 C．乙队获胜的概率为 D．乙队获胜的概率为 解析　若甲队以3∶2获胜，则前四局甲胜两局，第五局甲胜，所以甲队以3∶2获胜的概率为C×＝，故A正确，B错误； 若乙队获胜，则前三局乙连胜，或比四局前三局乙胜两局，第四局乙胜，或比五局前4局乙胜两局，第五局乙胜，所以乙队获胜的概率为＋C·××＋C×＝，故C正确，D错误．故选AC. 答案　AC 11．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P(X＝4)＝________． 解析　由题意P(X＝4)＝＝＝. 答案　 12．(2025·天津卷节选)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为________． 解析　小桐一周跑11圈的概率P＝0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6. 答案　0.6 13．(2023·北京卷)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“＋”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 － ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 － － ＋ － ＋ 0 0 ＋ 第21天到 第40天 0 ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 ＋ － － － ＋ 0 － ＋ 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．(结论不要求证明) 解析　(1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个＋，也就是有16天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为＝0.4. (2)在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25， 于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C×0.42×C×0.35×0.25＝0.168. (3)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41天该农产品价格不变的概率最大． [核心价值·探索创新] 14．某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为(　　) A．C B．A C．C D．C 解析　由某人每次射击命中目标的概率为，各次射击的结果互不影响，得此人射击6次，3次命中的概率为C×，在有3次命中的前提下，恰有2次连续命中的概率为＝，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为C××＝A.故选B. 答案　B 15．为了应对暴力恐怖活动，警方从武警训练基地挑选反恐警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A，B，C，D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、爆破的概率分别为，，.这三项测试能否通过相互之间没有影响． (1)求A能够入选的概率； (2)规定：按入选人数得训练经费，每入选1人，则相应的训练基地得到5000元的训练经费，求该基地得到训练经费的分布列． 解析　(1)设A通过体能、射击、爆破分别记为事件M，N，P则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN，MP，NP，MNP，∴P(A)＝P(MN)＋P(MP)＋P(NP)＋P(MNP) ＝××＋××＋××＋××＝＝. (2)记ξ表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为η＝5000ξ，又ξ可能的取值为0，1，2，3，4. ∴P(ξ＝0)＝C＝， P(ξ＝1)＝C＝， P(ξ＝2)＝C＝＝， P(ξ＝3)＝C＝， P(ξ＝4)＝C＝， ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P ∴训练经费η＝5000ξ的分布列为 η＝5000ξ 0 5000 10 000 15 000 20 000 P 学科网（北京）股份有限公司 $$