4.2.2 离散型随机变量的分布列(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 　 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中b＝，则P(|X|＝1)＝(　　) X －1 0 1 P a b c A． B． C． D． 解析　∵b＝. ∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 答案　D 2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，4，…，n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值为(　　) A．3 B．4 C．10 D．不能确定 解析　由条件知P(ξ＝i)＝(i＝1，2，…，n)， ∴P(ξ<4)＝×3＝0.3，解得n＝10. 答案　C 3．若随机变量η的分布列如下： η －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是(　　) A．x≤1 B．1≤x≤2 C．1<x≤2 D．1≤x<2 解析　由分布列知，P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P(η<2)＝0.8，故1<x≤2. 答案　C 4．(多选题)若随机变量X的分布列如下(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 解析　易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，P(X≥2)＝0.7，P(X≤1)＝0.3. 答案　ABD 5．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P m 则m＝________，P(X≤2)＝________． 解析　由离散型随机变量X的分布列，得 ＋m＋＝1，解得m＝. 所以，P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 答案　　 6．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝________． 解析　由题意，“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，则ξ的分布列为 ξ 0 1 P p 2p 因为p＋2p＝1，所以p＝，即P(ξ＝0)＝. 答案　 7．若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则a＝________． X 0 1 P 解析　由离散型随机变量X的分布列，得 解得a＝1.故答案为1. 答案　1 8．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现 故障时间x/年 0＜x≤1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2 轿车数量/辆 2 3 45 5 45 每辆利润/万元 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列． 解析　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝. (2)依题意得，X1的分布列为 X1 1 2 3 P X2的分布列为 X2 1.8 2.9 P [关键能力·综合提升] 9．已知ξ的分布列如下，其中a，b都是非零实数，则＋的最小值是(　　) ξ 1 2 3 4 P a b A.12 B．6 C． D． 解析　根据分布列的性质知a>0，b>0，且a＋b＝1－－＝，所以＋＝·(a＋b)＝≥＝6，当且仅当a＝b＝时等号成立，故选B. 答案　B 10．已知随机变量ξ的分布列为 ξ －2 －1 0 1 2 3 P 若P(ξ2<x)＝，则实数x的取值范围是(　　) A．4<x≤9 B．4≤x<9 C．x<4或x≥9 D．x≤4或x>9 解析　由随机变量ξ的分布列，知： ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P(ξ2＝0)＝， P(ξ2＝1)＝＋＝，P(ξ2＝4)＝＋＝，P(ξ2＝9)＝， ∵P(ξ2＜x)＝， ∴实数x的取值范围是4<x≤9. 答案　A 11．设随机变量X的概率分布表如下所示，则P(|X－2|＝1)＝________． X 1 2 3 4 P m 解析　由|X－2|＝1可解得x＝3或x＝1，再由分布列的性质可得 m＝1－＝， ∴P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3) ＝＋＝. 答案　 12．随机变量X的分布列为 X x1 x2 x3 P p1 p2 p3 若p2－p1＝p3－p2，则p3－p2的取值范围是________． 解析　设p2－p1＝p3－p2＝d， 则p2＝p1＋d，p3＝p1＋2d， 则p1＋p2＋p3＝3p1＋3d＝1，∴p1＝－d. 又0≤p1≤1，∴0≤－d≤1， ∴－≤d≤. 同理，由0≤p3≤1，得－≤d≤， ∴－≤d≤， ∴p3－p2的取值范围是. 答案　 13．某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核，每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每次考核是否合格互不影响． (1)求该学生不被淘汰的概率； (2)假设该学生不放弃每一次考核的机会，用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的分布列． 解析　记事件Ai，Bi(i＝1，2)分别表示第i次(补考为第2次考核该项目)身体体能考核合格，外语考核合格，由题意知，P(Ai)＝，P(Bi)＝. (1)不被淘汰的情况包括A1B1，1A2B1，A11B2，1A21B2四种，且P(A1B1)＝×＝， P(1A2B1)＝××＝， P(A11B2)＝××＝， P(1A21B2)＝×××＝. 故该学生不被淘汏的概率为＋＋＋＝. (2)法一　随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2. P(ξ＝0)＝P(A1B1)＝×＝，P(ξ＝1)＝P(1A2B1)＋P(1 2)＋P(A11B2)＋P(A11 2)＝××＋×＋××＋××＝， P(ξ＝2)＝P(1A21B2)＋P(1A212)＝×××＋×××＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 法二　随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2. P(ξ＝0)＝P(A1B1)＝×＝，P(ξ＝2)＝P(1A21B2)＋P(1A2 1 2)＝×××＋×××＝. 根据分布列的性质，可知P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P [核心价值·探索创新] 14．某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动： (1)若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的安排方案，试求该支教队男、女老师的人数； (2)在(1)的条件下，记X为选出的2位老师中女老师的人数，写出X的分布列． 解析　(1)不妨设男老师总共有x人，则女老师共有8－x人(1≤x≤8，x∈N＋)， 从这8位老师中选出至少1名女老师，共有C－C＝28－＝18种不同的方法， 即有x(x－1)＝20，解得x＝5，8－x＝3， 所以该支教队共有男老师5人，女老师3人． (2)X可取值为0，1，2， X＝0表示选派2位男老师，这时 P(X＝0)＝＝＝， X＝1表示选派1位男老师与1位女老师， 这时P(X＝1)＝＝， X＝2表示选派2位女老师，这时 P(X＝2)＝＝， X的分布列为 X 0 1 2 P 15.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响，已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． (1)求学生小张选修甲的概率； (2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率； (3)求ξ的分布列． 解析　(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z. 则解得 所以学生小张选修甲的概率为0.4. (2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选． 所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)·(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.24，即事件A的概率为0.24. (3)根据题意知，随机变量ξ所有可能的取值为0，2，由(2)可知，P(ξ＝0)＝0.24，根据分布列的性质知，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)＝0.76. 所以ξ的分布列为 ξ 0 2 P 0.24 0.76 学科网（北京）股份有限公司 $$