4.1.2 乘法公式与全概率公式(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．已知P(A)＝0.2，P(B|A)＝0.15，则P(BA)＝(　　) A．0.02　　　　　　　 B．0.03 C．0.04 D．0.05 解析　由P(B|A)＝得P(BA)＝P(A)·P(B|A)＝0.2×0.15＝0.03. 故选B. 答案　B 2．从甲、乙两班中选一名同学参加一项活动，甲、乙两班人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占，选取的这位同学恰好是女生的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设A表示选一位同学是甲班的，表示选一位同学是乙班的．P(A)＝＝，P()＝. 设B表示选一位同学是女生． P(B|A)＝，P(B|)＝. 由全概率公式得 P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|) ＝×＋×＝. 故选D. 答案　D 3．已知P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0，P(B)＝，则P(B|)＝(　　) A． B． C． D． 解析　由全概率公式得 P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|) ＝×0＋×P(B|)＝. ∴P(B|)＝，故选B. 答案　B 4．(多选题)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有(　　) A．任取一个零件是第1台车床加工的次品的概率为0.06 B．任取一个零件是次品的概率为0.052 5 C．取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D．取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 解析　记Ai为事件“零件为第i(i＝1，2，3)台车床加工”，B为事件“任取一个零件为次品”，则P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45. 对于A，P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝0.25×0.06＝0.015，A错误； 对于B，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，B正确； 对于C，P(A2|B)＝＝＝，C正确； 对于D，P(A3|B)＝＝＝，D错误． 故选BC. 答案　BC 5．已知P(BA)＝0.35，P(B)＝0.1，则P(B)＝________． 解析　因为BA与B互斥， 所以P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B) ＝0.35＋0.1＝0.45. 答案　0.45 6．已知随机事件A，B，且P(A)＝0.7，P()＝0.6，条件概率P(|A)＝0.6，则P(A∪B)＝________． 解析　∵P()＝0.6，∴P(B)＝1－P()＝0.4，P(B|A)＝1－P(|A)＝0.4. 由乘法公式得P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.7×0.4＝0.28. ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7＋0.4－0.28＝0.82. 答案　0.82 7．开元通宝是我国唐代的一种货币，向如图所示的开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投进方空的概率约为0.5，在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概率约为0.3，则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是________． 解析　设Ai表示第i次把芝麻投进方空，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3， 因此由乘法公式可得 P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15， 即连续两次都可把芝麻投进方空的概率是0.15. 答案　0.15 8．小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 解析　(1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则 P(C)＝P(L1)P(C|L1)＋P(L2)P(C|L2)＋P(L3)·P(C|L3) ＝P(L1)P(C1)＋P(L2)P(C2)＋P(L3)P(C3) ＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7 ＝0.36. (2)P(L1|C)＝＝≈0.28. 所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28. [关键能力·综合提升] 9．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪1箱．现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱也是英语书的概率为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析　用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”，用Bk表示“丢失的1箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书”．由全概率公式得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝×＋×＋×＝. P(B1|A)＝＝＝. 故选B. 答案　B 10．(多选题)盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，第二次抽出的是黑球的概率不正确的是(　　) A． B． C． D． 解析　设A＝{第一次抽出的是黑球}，B＝{第二次抽出的是黑球}，则B＝AB＋B， 由全概率公式 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)， 由题意 P(A)＝，P(B|A)＝， P()＝，P(B|)＝， 所以P(B)＝＋ ＝. 故B正确，故选ACD. 答案　ACD 11．(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C 3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是________． 解析　A题库占＝， B题库占＝， C题库占＝， 则所求概率P＝×0.92＋×0.86＋×0.72＝0.85. 答案　0.85 12．据某国的一份资料报道，在某国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%的是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟的概率为________，不吸烟患肺癌的概率为________． 解析　以C记事件“患肺癌”，以A记事件“吸烟”，根据题意 P(C)＝0.001，P(A)＝0.20，P(C|A)＝0.004， 则P()＝1－0.20＝0.80， 由全概率公式有 P(C)＝P(C|A)P(A)＋P(C|)P()， 代入数据得 0．001＝0.004×0.2＋P(C|)×0.80， ∴P(C|)＝0.000 25. 答案　0.80　0.000 25 13．甲、乙、丙三人同时对一架模型飞机进行射击，三人击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2，被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． 解析　设事件A表示“飞机被击落”，事件Bi表示“飞机被i人击中”(i＝0，1，2，3)，则B0，B1，B2，B3构成样本空间的一个划分，且依题意，P(A|B0)＝0，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1.再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”(i＝1，2，3). 则P(B1)＝P(H123∪1H23∪12H3) ＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36. 同理P(B2)＝P(H1H23∪H12H3∪1H2H3)＝0.41， P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.14， P(B0)＝P(123)＝0.09. 由全概率公式，可知P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3) ＝0.09×0＋0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1 ＝0.458. 因此，飞机被击落的概率为0.458. [核心价值·探索创新] 14．在数字通讯中，信号是由数字0和1组成的长序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0.现假设发送信号为0和1的概率均为0.5，又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率分别为0.7和0.3，发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.求已知收到信号0时，发出的信号是0(即没有错误接收)的概率． 解析　设事件A0为“发送信号为0”，事件A1为“发送信号为1”，事件B0为“收到信号为0”，事件B1为“收到信号为1”．因为收到信号为0时，除发送信号为0外，还有发送信号为1时，由于干扰接收的信号为0，因此导致事件B0发生的原因有事件A0与A1，且它们互斥，故A0与A1构成一完备事件组． 由题意有P(A0)＝P(A1)＝0.5，P(B0|A0)＝0.7，P(B0|A1)＝0.1， 故P(B0)＝P(A0)P(B0|A0)＋P(A1)P(B0|A1)＝0.5×0.7＋0.5×0.1＝0.4. 由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为P(A0|B0)＝＝0.875. 15．已知某地居民肝癌的发病率为0.000 4.通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.01，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05.因为目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者．这个主张是否合适？ 解析　设A表示患有肝癌，B表示检测结果显示患有肝癌，则P(A)＝0.000 4，P(|A)＝0.01，P(B|)＝0.05.从而有P()＝1－P(A)＝1－0.000 4＝0.999 6，P(B|A)＝1－P(|A)＝1－0.01＝0.99.根据贝叶斯公式，则检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为 P(A|B)＝＝≈0.007 9. 这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到0.8%！也就是说，如果进行普查的话，在现有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1个人是真正患有肝癌的，从这个意义上来说，进行普查并不是一个好主意． 学科网（北京）股份有限公司 $$