3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．若展开式的所有二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为(　　) A．10　　　　　　 B．－10 C．5 D．－5 解析　由二项式系数之和为32，即2n＝32，可得n＝5， 展开式的通项Tk＋1＝C(2x2)5-k·(－x－)k＝(－1)k·C·25-kx. 令10－k＝0，得k＝4， 所以常数项为(－1)4C·2＝10，故选A. 答案　A 2．已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则C＋C＋…＋C的值等于(　　) A．64 B．32 C．63 D．31 解析　因为C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C＋C＋…＋C＝2n－C＝2n－1＝26－1＝63，故选C. 答案　C 3．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析　当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①； 当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②； ①＋②，得a0＋a2＋a4＝41. 答案　B 4．(多选题)二项式(2x－1)7的展开式中，二项式系数最大的项是(　　) A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 解析　本题考查二项式系数的性质．因为二项式(2x－1)7展开式的各项的二项式系数为C(k＝0，1，2，3，4，5，6，7)，易知当k＝3或k＝4时，C最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第4项和第5项，故选CD. 答案　CD 5．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________． 解析　令x＝1，可得的展开式中各项系数的和为(1＋a)·(2－1)5＝2， ∴a＝1. 故＝＝＋10·－， 故该展开式中常数项为1×80＝80，故答案为80. 答案　80 6．已知多项式x3(x＋1)2＝(x－1)5＋a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋…＋a4(x－1)＋a5，则a5＝________，a4＝________． 解析　令x＝1得a5＝4，设t＝x－1，则x＝t＋1， 则多项式等价为(t＋1)3(t＋2)2＝t5＋a1t4＋a2t3＋…＋a4t＋a5，则a4为一次项t的系数， 则a4＝1×C×2＋C×22＝4＋12＝16， 故答案为4，16. 答案　4　16 7．已知(1－3)n的展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则n＝________，展开式中含x的项的系数为________． 解析　二项式(1－3)n的通项为Tk＋1＝C·1n－k·(－3)k＝C·(－3)k·x， 因为(1－3)n的展开式的各项系数的绝对值之和为1024. 所以有C＋C·31＋C·32＋…＋C·3n＝1024， 即(1＋3)n＝1024，即4n＝1024，解得n＝5. 在通项公式中，令k＝3，得展开式中含x的项的系数为C·(－3)3＝－270. 答案　5　－270 8．在二项式的展开式中，________． 给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256. 试在给出的两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式的常数项． 解析　选择①. C＋C＋C＝46，即1＋n＋＝46， 即n2＋n－90＝0，即(n＋10)(n－9)＝0， 解得n＝9或n＝－10(舍去). 选择②. C＋C＋C＋…＝256，即2n-1＝256，解得n＝9. (1)展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项， T5＝Cx-5x2＝x-3， T6＝Cx-4x＝x. (2)展开式的通项为 Tk＋1＝Cx－(9-k)x＝C2k-9x， 令＝0，得k＝6， 所以展开式中常数项为第7项， 常数项为T7＝C×2-3＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)关于(a－b)10的说法，正确的是(　　) A．展开式中的二项式系数之和为1024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 解析　根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的． 答案　ABD 10．(多选题)已知的展开式中共有7项，则(　　) A．所有项的二项式系数之和为64 B．所有项的系数之和为1 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共4项 解析　因为的展开式中共有7项， 所以n＝6. 对于A，所有项的二项式系数之和为26＝64，所以A正确； 对于B，令x＝1，则所有项的系数之和为＝，所以B错误； 对于C，由于二项展开式共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确； 对于D，展开式的通项公式为 Tk＋1＝Cx6-k·＝Cx，当k＝0，2，4，6时，展开式的项为有理项，所以有理项共有4项，所以D正确． 答案　ACD 11．已知(2x＋m)5＋(x－1)4展开式中所有项系数和为1，则实数m的值为________，x4的系数为________． 解析　因为(2x＋m)5＋(x－1)4展开式中所有项系数和为1，所以令x＝1，有(2＋m)5＝1，解得m＝－1，则(2x＋m)5＋(x－1)4＝(2x－1)5＋(x－1)4，所以其展开式中x4的系数为C24×(－1)＋1＝－79. 答案　－1　－79 12．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0～1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________． 解析　观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1. 答案　2n－1　32 13．(2024·安徽宿州高二检测)已知(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n为正整数). (1)若a2＝15a0－13a1，求n的值； (2)n＝2022，A＝a0＋a2＋a4＋…＋a2022，B＝a1＋a3＋a5＋…＋a2021，求A＋B和A2－B2的值．(结果用指数幂的形式表示) 解析　(1)(1－3x)n展开式的通项公式为Tk＋1＝C(－3x)k＝C(－3)kxk，则a0＝C(－3)0，a1＝C(－3)1，a2＝C(－3)2， 因为a2＝15a0－13a1， 所以C(－3)2＝15－13C(－3)， 化简得3n2－29n－10＝0，即(n－10)(3n＋1)＝0， 解得n＝10或n＝－(舍去). (2)当n＝2022时，(1－3x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2022x2022， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2022＝(－2)2022＝22022， 令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2021＋a2022＝42022. 因为A＝a0＋a2＋a4＋…＋a2022，B＝a1＋a3＋a5＋…＋a2021， 所以A＋B＝a0＋a1＋a2＋…＋a2022＝22022， A－B＝a0－a1＋a2－…－a2021＋a2022＝42022， 所以A2－B2＝(A＋B)(A－B)＝22022·42022＝26066. [核心价值·探索创新] 14．在①展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64∶1；②展开式中前三项的二项式系数之和为22这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答． 问题：已知二项式(1＋3x)n，________． (1)求展开式中系数最大的项； (2)求(1＋3x)n(1－x)5中含x2项的系数． 解析　选条件①. (1)令x＝1，得展开式中所有项的系数和为4n，又展开式中所有项的二项式系数之和为2n， 所以＝2n＝64，解得n＝6， 所以(1＋3x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C3kxk(k＝0，1，2，3，4，5，6). 设展开式中系数最大的项为第k＋1项， 则即 解得≤k≤， 又0≤k≤6，k∈N，所以k＝5， 故展开式中系数最大的项为T6＝C(3x)5＝1458x5. (2)由(1)，得(1＋3x)n(1－x)5＝(1＋3x)6(1－x)5， 故含x2项的系数为C＋C×32＋C×3×C×(－1)＝55. 选条件②. (1)由前三项的二项式系数之和为22，得C＋C＋C＝22， 即1＋n＋＝22，可得n＝6， 所以(1＋3x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C3kxk(k＝0，1，2，3，4，5，6). 设展开式中系数最大的项为第k＋1项， 则即 解得≤k≤， 又0≤k≤6，k∈N，所以k＝5， 故展开式中系数最大的项为T6＝C(3x)5＝1458x5. (2)解析同方案一中的(2). 15．某地区现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产(单位：吨/公顷)比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)? 解析　设耕地平均每年减少x公顷，该地区现有人口为P人， 粮食单产为M吨/公顷，依题意得 ≥·(1＋10%)， 化简得x≤103×. ∵103× ＝103× ≈103×≈4.1，∴x≤4. 即按规划，耕地平均每年至多只能减少4公顷． 学科网（北京）股份有限公司 $$