3.3 第1课时 二项式定理(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　) A．33 B．29 C．23 D．19 解析　∵(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b， 又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12. ∴a＋b＝29. 答案　B 2．若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　) A．2 B． C．1 D． 解析　二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)7-k·＝C27-kakx7-2k， 令7－2k＝－3，得k＝5. 故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1. 答案　C 3．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　) A.32 B．－32 C．1024 D．512 解析　a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10，当a＝2－时，(a－2)10＝32. 答案　A 4．(多选)对于二项式(n∈N＋)，下列判断正确的有(　　) A．存在n∈N＋，展开式中有常数项 B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项 解析　二项式的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项可知， 当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项， 故选AD. 答案　AD 5．(2025·上海卷)在二项式(2x－1)5的展开式中，x3的系数为________． 解析　由通项公式Tk＋1＝C·25-k·x5-k·(－1)k＝C·(－1)k·25-kx5-k， 令5－k＝3，得k＝2， 可得x3项的系数为C·(－1)2·25-2＝80. 故答案为80. 答案　80 6．若将函数f(x)＝x4表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4，其中a0，a1，a2，a3，a4为实数，则a3＝________． 解析　由题可知f(x)＝x4＝[(x＋1)－1]4＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(－1)4，又f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4，所以a3＝C×(－1)＝－4. 答案　－4 7．(x3＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________． 解析　(x3＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数：C＝35， 第4项为T4＝C(x3)4(2x)3＝8Cx15＝280x15，故第4项的系数为280. 答案　35　280 8．(1)求(x＋x)12的展开式的第5项； (2)设(a＋b)20的展开式中，第3k项与第k＋2项是不同的两项，但系数相等，求第k项的系数． 解析　(1)可直接利用通项公式，得T5＝C(x)8·(x)4＝495x. (2)由通项公式知： T3k＝Ca21-3kb3k-1，Tk＋2＝Ca19-kbk+1. 依题意，有C＝C，但3k－1≠k＋1. 故由组合数性质可知，必有3k－1＝20－(k＋1)， 解之得k＝5.所以，T5＝C＝4845. [关键能力·综合提升] 9．＋的展开式中的常数项为(　　) A．32 B．34 C．36 D．38 解析　的展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)4-k·＝(－2)kCx12-4k(k＝0，1，2，3，4)，令12－4k＝0，得k＝3， 所以展开式中的常数项为(－2)3×C＝－32. 的展开式的通项为Tk＋1＝Cx8-k·＝Cx8-2k(k＝0，1，…，8)，令8－2k＝0， 得k＝4， 所以展开式中的常数项为C＝70. 所以＋的展开式中的常数项为－32＋70＝38.故选D. 答案　D 10．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，易知通项Tk＋1＝C(x2＋x)5-kyk，令k＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，其通项Tt＋1＝C(x2)3-txt＝Cx6-t，令t＝1，可得x5y2的系数为CC＝30. 法二　(x2＋x＋y)5表示5个因式(x2＋x＋y)的连乘积，要得到x5y2项，只需先从5个因式中选2个因式中的y，再在其余3个因式中选1个x即可，故x5y2的系数为CC＝30. 答案　C 11．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)(x－6)的展开式中，含x5的项的系数为________(用数字作答). 解析　含x5的项是由(x－1)，(x－2)，(x－3)，(x－4)，(x－5)，(x－6)的6项中的五项取x，另一项取常数得到的，所以展开式中含x5的项的系数为－1－2－3－4－5－6＝－21. 答案　－21 12．(1＋x)6展开式中x2的系数为________(用数字作答). 解析　(1＋x)6＝(1＋x)6＋(1＋x)6.又(1＋x)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，故(1＋x)6的展开式中x2的系数为C＋C＝30. 答案　30 13．已知在的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求展开式中所有的有理项． 解析　(1)T6＝C·()n-5·＝C·(－3)5·x是常数项，所以n－10＝0，即n＝10. (2)在展开式中Tk＋1＝(－3)k·Cx＝(－3)k·C·x是有理项，即∈Z且0≤k≤10，所以k＝2，5，8，即展开式中的有理项为T3＝C·(－3)2·x2＝405x2，T6＝C(－3)5，T9＝C(－3)8·x-2. [核心价值·探索创新] 14．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋). (1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式含x2的项； (2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？ 解析　(1)当m＝3，n＝4时， f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4. (1＋x)3展开式的通项为Cxk， (1＋2x)4展开式的通项为C(2x)k， f(x)g(x)的展开式含x2的项为 1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2. (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n. 因为h(x)的展开式中x的项的系数为12， 所以C＋2C＝12，即m＋2n＝12，所以m＝12－2n. x2的系数为C＋4C＝C＋4C＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1) ＝4n2－25n＋66＝4＋，n∈N＋， 所以n＝3，m＝6时，x2的项的系数取得最小值． 15．已知(x＋m)2n+1与(mx＋1)2n(n∈N＋，m≠0)的展开式中含xn项的系数相等，求实数m的取值范围． 解析　设(x＋m)2n+1的展开式的通项为Tk＋1＝C·x2n+1-kmk，令2n＋1－k＝n，得k＝n＋1， 故此展开式中，xn项的系数为C·mn+1. 由题意知，C·mn+1＝C·mn， ∴m＝＝，m随n的增大而减小． ∵n∈N＋，∴m＞，又当n＝1时，m＝， ∴＜m≤.故m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$