3.1.3 组合与组合数(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)已知C＝C，则x的值是(　　) A．2　　　　　　　　 B．6 C． D．3 解析　根据组合数性质C＝C可得到： 若C＝C，则 根据题意得到： 解得x＝2或x＝6. 答案　AB 2．5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有(　　) A．A种　　　　　 B．C种 C．58种 D．85种 解析　由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可．故共有C种不同的放法． 答案　B 3．5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有(　　) A．A种 B．C种 C．58种 D．85种 解析　由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法，……，第5个球也有8种放法．故不同的放法共有8×8×8×8×8＝85种． 答案　D 4．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　) A．140种 B．120种 C．35种 D．34种 解析　分三种情况：①1男3女共有CC种选法．②2男2女共有CC种选法．③3男1女共有CC种选法，则共有CC＋CC＋CC＝34种选法． 答案　D 5．C＝________，C＝________． 解析　C＝＝15， C＝C＝18. 答案　15　18 6．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案) 解析　从6人中任选3人，不同的选法有C＝20(种)，从6人中任选3人是男生，不同的选法有C＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法20－4＝16(种). 答案　16 7．某书店有11种杂志，其中2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是________(用数字作答). 解析　10元钱刚好用完有两种情况：5种2元1本的；4种2元1本的和2种1元1本的．分两类完成：第1类，买5种2元1本的，有C种不同买法；第2类，买4种2元1本的和2种1元1本的，有C·C种不同买法．根据分类加法计数原理，可得不同买法的种数是C＋C·C＝266(种). 答案　266 8．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名； (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者； (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．则全程赛程共需比赛多少场？ 解析　(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝30场． (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A＝4场． (3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35场． [关键能力·综合提升] 9．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 解析　和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数有C＝1种取法，取2奇数2偶数有C·C＝60种取法，取4个数均为奇数有C＝5种取法．故共有1＋60＋5＝66种不同的取法． 答案　D 10．(多选题)我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”．某老师将其中的《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五经算术》《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，且每人至少分一本，则不同的分配方法的种数为(　　) A．CCA B．CA C．CAA D．CA 解析　依题意，6本不同的书分给5名数学爱好者，且每人至少分一本，则有1人分得两本书，剩余4人各分得一本书． 若分三步完成，第一步：选择1个人，有C种选法；第二步：为这个人选两本书，有C种选法；第三步：剩余4人各分得一本书，有A种分法． 故由分步乘法计数原理知，不同的分配方法的种数为CCA，故A正确．若分两步完成，第一步：先分组，选择两本书，将书分成“2，1，1，1，1”的五组，有C种分法；第二步：将五组分配给5个人，有A种分法．故由分步乘法计数原理知，不同的分配方法的种数为CA，故D正确．故选AD. 答案　AD 11．若C∶C∶C＝3∶4∶5，则n－m＝________． 解析　由题意知 由组合数公式得 解得n＝62，m＝27. n－m＝62－27＝35. 答案　35 12．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法为________种(用数字作答). 解析　当恰好有1个空盒子时，必有1个盒子内放入2个小球．从4个小球中取出2个小球，有C种取法，此时把它看成1个小球，与另2个小球(共3个小球)分别放入4个盒子中，有A种放法，所以满足题意的放法有C·A＝144(种). 答案　144 13．电视台有8个节目准备分两天播出，每天播出4个，其中某电视剧和某专题报道必须在第一天播出，某访谈节目必须在第二天播出，共有多少种播出方案？ 解析　8个节目中有3个有限制条件，即有5个无限制条件，某电视剧和某专题报道必须在第一天播出，则需在5个无限制条件的节目中选出2个安排在第一天播出，某访谈节目和剩下的3个节目在第二天播出，因此分两步计数．第1步，从无限制条件的5个节目中选出2个连同某电视剧和某专题报道在第一天播出，有CA种播出方案；第2步，某访谈节目和剩余的3个节目在第二天播出，有CA种播出方案．根据分步乘法计数原理，播出方案共有CACA＝5760(种). [核心价值·探索创新] 14．体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放足球的个数不少于其编号，则不同的放法有________种． 解析　本题采用隔板法求解，先在编号为2，3的箱子中分别放1个、2个足球，这样原问题就转化为求将6个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，每个箱子至少放一个足球的放法种数，把剩下的6个足球排成一行，在6个足球之间的5个空隙中插入两个隔板把它们分成三部分，如图所示的是其中的一种插入方法． 从左到右把第一、二、三部分分别放入1，2，3号箱子中，即可使每个箱子放足球的个数不少于其编号．而插入两个隔板的方法种数为C＝10，故所求不同的放法有10种． 答案　10 15．某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图). (1)图中有多少个矩形？ (2)从A点走向B点最短的走法有多少种？ 解析　(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C·C＝210(个). (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C＝C＝210种走法． 学科网（北京）股份有限公司 $$