3.1.2 第2课时 排列数的应用(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．若6个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　) A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 解析　第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝4×4×3×2×1＝96种方法． ∴共有120＋96＝216种方法． 答案　B 2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是(　　) A．A B．AA C．AAA D．以上都不对 解析　4个不同的黑球排在一起，有A种排法， 4个不同的红球排在一起，有A种排法． 把全体黑球、红球各视为一个元素， 有A种排法， 故共有AAA种排法． 答案　C 3．已知6个停车位置有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为(　　) A．A B．A C．A D．A 解析　3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有A种停放方法． 答案　D 4．(多选)从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中(　　) A．偶数有60个 B．比300大的奇数有48个 C.个位和百位数字之和为7的数有24个 D．能被3整除的数有48个 解析　对于A，其个位数字为2或4或6， 有3种情况，在剩余5个数字中任选2个， 安排在百位和十位，有A＝20种情况， 则有3×20＝60个三位偶数，A正确； 对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4＝16个三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4＝24个三位奇数，则符合题意的三位数有16＋24＝40个，B错误；对于C，个位和百位数字之和为7有(1，6)，(2，5)，(3，4)，共3种情况，则符合题意的三位数有3AA＝24个，故C正确； 对于D，能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)，8种选择，故能被3整除的数有8A＝48个，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 5．从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a，b，c，d，e，则使a·b·c＋d·e为奇数的不同排列方法有________种． 解析　(分类讨论：先选后排) 若a·b·c为奇数，d·e为偶数时，有A×A＝36种； 若a·b·c为偶数，d·e为奇数时，有A×A＝144种； 故a·b·c＋d·e为奇数的不同排列方法共有36＋144＝180种， 故答案为180. 答案　180 6．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和10月2日，不同的安排方法共有________种． 解析　安排甲、乙两人在后5天值班，有A种排法；安排其余5人值班时无约束条件，有A种排法，故有A×A＝2400(种)不同的安排方法． 答案　2400 7．一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有________种；要使数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有________种． 解析　要使文、理科间排，有两种情况：文科排1，3，5，理科排2，4，6或理科排1，3，5，文科排2，4，6，共有A·A＋A·A＝72.数学与物理连排，则把数学、物理当作一个元素，化学不得与数学、物理连排，用插空法得：A·A·2＝144. 答案　72　144 8．已知A，B，C，D，E共5名同学，按下列要求排列，分别求出满足条件的排列方法数． (1)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻； (2)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻，C，D，E也必须相邻； (3)把这5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B必须相邻． 解析　(1)第一步，把A，B这2名同学看作一个整体，和C，D，E共四个元素进行排列，其排列方法有A种；第二步，对“捆绑到一起”的A，B这2个元素进行内部排列，即“松绑”，其排列方法有A种；第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有A·A＝48(种). (2)第一步，把A，B这2名同学看作一个整体，把C，D，E这3名同学看成一个整体，故这两个整体排成一列的方法有A种；第二步，对“捆绑到一起”的A，B这2个元素进行内部排列，即“松绑”，其排列方法有A种，对“捆绑到一起”的C，D，E这3个元素进行内部排列，即“松绑”，其排列方法有A种；第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有A·A·A＝24(种). (3)第一步，先看成A，B，C，D，E这5名同学带着座位排列，而且满足A，B相邻的要求，由(1)可知，其排列方法有48种；第二步，把剩下的1个空位往已经坐好的5名同学中间(包括两端)插空，且不能插在A，B之间，其排列方法有A种；第三步，根据分步乘法计数原理知，符合题意的排列方法有48·A＝240(种). [关键能力·综合提升] 9．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有(　　) A．24种　　　　　 B．48种 C．96种 D．144种 解析　首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步乘法计数原理可得，实验顺序的编排方法共有AAA＝96(种). 答案　C 10．(多选题)由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是(　　) A．A＋AAA B．A＋A(A－A) C．A－A＋A(A－A) D．A－A－A(A－A) 解析　对于A，如果个位是0，则有A个无重复数字的五位偶数；如果个位不是0，则有AAA个无重复数字的五位偶数，所以共有A＋AAA个无重复数字的五位偶数，故A正确．对于B，由排列数的计算可知，AA＝A－A，所以A＋AAA＝A＋A(A－A)，故B正确．对于C，由于A－A≠A，所以A＋A(A－A)≠A－A＋A(A－A)，故C错误．对于D，由于这10个数字组成无重复数字的五位数共有A－A个，其中奇数共有A(A－A)个，则偶数共有A－A－A(A－A)个，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 11．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 解析　分两步：第1步，把两张连号的捆绑起来，有(1，2)，3，4，5；1，(2，3)，4，5；1，2，(3，4)，5；1，2，3，(4，5)，共4种捆绑方法．第2步，把被捆绑的两张连号参观券看成一张参观券，这样就相当于4张参观券分给4人，有A种方法．根据分步乘法计数原理，得不同排法共有4×A＝96种． 答案　96 12．5位同学排队演出，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在第一位，则排法种数为________． 解析　若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，有2×3×A＝36种排法；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，有2×A×A＝24种排法．故所有的排法种数为36＋24＝60. 答案　60 13．七名班委中有A，B，C三人，有七种不同的职务，现对七名班委进行职务具体分工． (1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？ (2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？ 解析　(1)先排正、副班长有A种方案．再安排其余职务有A种方案，依分步乘法计数原理知，共有AA＝720种分工方案． (2)七人中任意分工方案有A种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的分工方案有A－AA＝3600(种). [核心价值·探索创新] 14．(2024·浙江省联考)某年元宵节灯展后，如图所示悬挂着的六盏不同的花灯需要取下，每次取一盏，甲比乙先取下，丙比丁先取下，戊比己先取下，则共有________种不同的取法(用数字作答). 解析　因为每串两个灯取下的顺序确定，所以问题可转化为求六个元素的排列中甲在乙前，丙在丁前，戊在己前的排列数，先将六个元素全排列，有A种排法，因为甲、乙顺序确定，丙、丁顺序确定，戊、己顺序确定，所以满足条件的排法数有＝＝90(种)，即取下六盏不同的花灯，每次取一盏，共有90种不同的取法． 答案　90 15．从集合{1，2，3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？ 解析　设a，b，c∈N＋且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定． 因此，选法只有两类： (1)第一、三个数都是偶数，有A种选法； (2)第一、三个数都是奇数，有A种选法； 于是，选出3个数成等差数列的个数为A＋A＝180(个). 学科网（北京）股份有限公司 $$