3.1.1 基本计数原理(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为(　　) A．10　　　　　　　 B．16 C．20 D．24 解析　由分类加法计数原理可得不同的选法种数为6＋4＝10. 答案　A 2．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　) A．24种 B．9种 C．3种 D．26种 解析　不同的杂志本数为4＋3＋2＝9本，从其中任选一本阅读，共有9种选法． 答案　B 3．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两数a，b组成复数a＋bi(a，b∈R)，其中虚数有(　　) A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 解析　要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法， 第二步确定a，有7种方法， 故由分步乘法计数原理知， 共有6×7＝42个虚数． 答案　B 4．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　) A．7 B．12 C．64 D．81 解析　要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12种不同的配法． 答案　B 5．如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，要接通电源，使电灯发光的方法种数是________． 解析　在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，应用分类加法计数原理，共有2＋3＝5种接通电源使电灯发光的方法． 答案　5 6．有10种不同的玩具汽车，9种不同的洋娃娃，8种不同的闪光球，从中任取两种不同类的玩具，共有________种不同的取法． 解析　任取两种不同类的玩具，有三类，第1类，取玩具汽车、洋娃娃各一种．第2类，取洋娃娃，闪光球各一种；第3类，取玩具汽车、闪光球各一种，第1类中根据分步乘法计数原理知，有10×9＝90种不同的取法；第2类中有9×8＝72种不同的取法；第3类中有10×8＝80种不同的取法．由分类加法计数原理知，共有90＋72＋80＝242种不同的取法． 答案　242 7．设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有________个，焦点位于y轴上的有________个． 解析　(1)由题意知焦点位于x轴，m>n，当m＝2时，n有1种选择；当m＝3时，n有2种选择；当m＝4时，n有3种选择．故共有1＋2＋3＝6(个)满足题意的椭圆． (2)焦点位于y轴上，则m<n， 当m＝1时，n有3种选择； 当m＝2时，n有2种选择； 当m＝3时，n有1种选择． 共有3＋2＋1＝6(个)满足焦点在y轴上． 答案　6　6 8．设I＝{1，2，3，4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1，2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有多少个？ 解析　对子集A分类讨论： 当A是二元集{1，2}时，B可以为{1，2，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2}，共4种情况； 当A是三元集{1，2，3}时，B可以为{1，2，4}，{1，2}，共2种情况； 当A是三元集{1，2，4}时，B可以为{1，2，3}，{1，2}，共2种情况； 当A是四元集{1，2，3，4}时，B可以为{1，2}，共1种情况． 根据分类加法计数原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(种)结果， 即符合此条件的“理想配集”有9个． [关键能力·综合提升] 9．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 解析　由0到9这个数字组成的三位数共有9×10×10＝900个， 其中无重复数字的共有 9×9×8＝648个， 故有重复数字的三位数共有900－648＝252个，故选B. 答案　B 10．(2024·广东广雅中学月考)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有(　　) A．50种 B．60种 C．70种 D．80种 解析　根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种， 此时有2×10＝20种不同的选法； 若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种， 此时有2×3×10＝60种不同的选法； 则一共有20＋60＝80种不同的选法． 答案　D 11．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花________元． 解析　分三步，第一步：从01至10中选3个连续的号码有01，02，03；02，03，04；…；08，09，10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的号码有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法．共可组成8×9×10×6＝4320注，所以需要花费2×4320＝8640元． 答案　8640 12．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3中的一个． (1)当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有________种． (2)当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有________种． 解析　(1)当三个顶点都填1时，中间的只能填写2，若其中一个填2，另外两个填1，有3种，故共有1＋3＝4种． (2)同一条边上的三个数字不同时，有3×2×1＝6种． 答案　(1)4　(2)6 13．如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案有多少种？ 解析　如图，若区域①与③颜色相同，区域①有5种涂法，区域②有4种涂法，区域④有3种涂法，区域⑤有3种涂法，由分步乘法计数原理可知，不同的涂色方案有5×4×3×3＝180(种)； 若区域①与③颜色不同，区域①有5种涂法，区域②有4种涂法，区域③有3种涂法，区域④有2种涂法，区域⑤有2种涂法，由分步乘法计数原理可知，不同的涂色方案有5×4×3×2×2＝240(种). 综上，由分类加法计数原理可知，不同的涂色方案种数为180＋240＝420. 答案　420 [核心价值·探索创新] 14．(2024·青岛高二检测)如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能情况共有________种． 解析　电路不通可能是由一个或多个焊接点脱落造成的，问题比较复杂．但电路通的情况只有一种，即各个焊接点均未脱落．因为每个焊接点只有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，电路就会不通，故焊接点脱落的可能情况共有26－1＝63(种). 答案　63 15．三人传球，由甲开始发球，并作为第1次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有多少种？ 解析　如图所示： 第一个空与第四个空不能是甲，分三类讨论： (1)若第二个空是甲，则第一个空有2种选择方法，第三个空有2种选择方法，第四个空仅有1种选择方法．∴2×2＝4种方法； (2)若第三个空是甲，同上，有2×2＝4种方法； (3)若第二个、第三个空都不填甲，则仅有如下两种传球方法：甲→乙→丙→乙→丙→甲；甲→丙→乙→丙→乙→甲．∴共4＋4＋2＝10种方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$