第4章 一次函数 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1 C 解：(1)圆柱的高 圆柱的体积 2．圆柱的底面半径为10 cm，当圆柱的高变化时圆柱的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)设圆柱的体积为V，圆柱的高为h，则V与h的关系式是_________； (2)V＝100πh (3)当h＝1时，V＝100π；当h＝10时，V＝1 000π， ∴当h从1 cm变化到10 cm时， 圆柱的体积从100π cm3增大到1 000π cm3. (3)当h从1 cm变化到10 cm时，圆柱的体积如何变化？ A 3．（2024·毕节期中）已知点(1，y1)，(2，y2)都在直线y＝－x＋5上，则y1，y2的大小关系是 ( ) A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2 A 4．（2024·甘肃临夏州）一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．把函数y＝2x－1的图象向上平移3个单位，则下列各点中，在平移后的直线上的点是 ( ) A．(1，5) B．(2，4) C．(0，3) D．(2，6) D －2（答案不唯一） 6． （2024·甘肃）已知一次函数y＝－2x＋4，当自变量x＞2时，函数y的值可以是______________________．（写出一个合理的值即可） 解：(1)∵y＝2x＋2，令y＝0，得2x＋2＝0，解得x＝－1. ∴点A的坐标为(－1，0). 令x＝0，得y＝2， ∴点B的坐标为(0，2)； 7． （2024·贵阳期中）如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)求A，B两点的坐标； (2)若P是x轴上的点，且PO＝2AO，求△ABP的面积． B 8．园林队在某公司进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S(m2)与工作时间t(h)的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化的面积为( ) A．40 m2 B．50 m2 C．80 m2 D．100 m2 C 9．（2024·河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图①），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图②）．下列结论中，错误的是 ( ) A．当P＝440 W时，I＝2 A B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1 A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 10．如图，l1表示某公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，l2表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系． (1)分别求出l1，l2对应的函数表达式； 解：(1)根据函数图象可知，l1过点(0，0). 设l1的函数表达式为y＝kx. 把点(2，2)代入y＝kx，得2＝2k，解得k＝1. ∴l1的函数表达式为y＝x. 设l2的函数表达式为y＝ax＋b. (2)收入大于成本，即l1＞l2， 结合函数图象可知：当l1＞l2时，x＞2. (2)若该公司盈利（收入大于成本），请写出此时销售量的取值范围． B y＝x＋2或y＝－x＋2 2．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则该一次函数的表达式为__________________________． 0.64 1．（2024·贵阳期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s(km)与小红所花的时间t(h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小 红离终点的路程是__________km. 2．（2024·毕节期中）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8 h后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸从家驾车沿相同的路线经1 h到达滨海公园．如图是他们离家的路程s(km)与离家时间t(h)的关系图，请根据图象，解答下列问题： (1)小明家到滨海公园的路程为______km，小明在中心书城逗留的时间为______h； (2)小明出发_______h后爸爸驾车出发； 30 1.7 2.5 (3)图中点A表示的实际意义是______________________________ __________________________； (4)小明从家到中心书城，他离家的路程s(km)与坐车时间t(h)之间的函数关系式为________________. 小明出发 h后，在离家20 km处被爸爸追上 s＝15t(0≤t≤0.8) 1．下列函数中，y是x的一次函数的是 ( ) A．y＝2x2＋x＋1 B．y＝ C．y＝1－x D．y＝ax (2)∵A(－1，0)，∴OA＝1，∴PO＝2OA＝2. ∵点P在x轴上，∴点P的坐标为(2，0)或(－2，0). 当P(2，0)时，AP＝2－(－1)＝3，S△ABP＝AP·OB＝×3×2＝3. 当P(－2，0)时，AP＝－1－(－2)＝1， S△ABP＝AP·OB＝×1×2＝1. 综上所述，△ABP的面积为3或1. 由题意，可得b＝1，2a＋b＝2，解得a＝，b＝1. ∴l2的函数表达式为y＝x＋1； 忽视函数定义中的限制条件而致错 1．若y＝(a＋3)xa2－8＋5是关于x的一次函数，则a的值是 ( ) A．±3 B．3 C．－3 D．2 $$ 1 ❶一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，它与正比例函数y＝kx的图象相互平行．因此画一次函数图象时，只要确定__________个点，再过这两个点画直线就可以了．一次函数y＝kx＋b的图象也称为__________________． 两 直线y＝kx＋b 2 平行 ❷一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，b).与函数y＝kx的图象__________．在一次函数y＝kx＋b中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而__________；当k＜0时，y的值随着x值的增大而__________． ❸一次函数y＝kx＋b的图象向上（下）平移m个单位长度后得到y＝kx＋b±m的图象；向左（右）平移n个单位长度后得到y＝k(x±n)＋b的图象． 增大 减小 【例1】已知关于x的一次函数y＝mx＋(4－n). (1)当m，n为何值时，y的值随着x值的增大而减小？ (2)当m，n为何值时，函数图象与直线y＝－x＋3平行？ 【学生解答】 (2)由题意知，当m＝－1，4－n≠3，即当m＝－1，n≠1时，函数图象与直线y＝－x＋3平行． 解：(1)由题意知，当m＜0，且n为任意实数时，y的值随着x值的增大而减小； y＝2x－2 【例2】将直线y＝2x向右平移1个单位长度后所得图象对应的函数表达式为___________． 【名师点拨】一次函数图象的平移规律为“左加右减，上加下减”． 【学生解答】 C 1．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋3的图象是 ( ) y＝x＋1（答案不唯一） 2． （2024·内蒙古包头）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：_________________________． 解：(1)列表如下： 3．画出函数y＝|x－1|的图象． (2)描点、连线如图． x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 5 4 3 2 1 0 1 2 3 D 4．（2024·新疆）若一次函数y＝kx＋3的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是 ( ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 A ＜ 6．（2024·江苏镇江）点A(1，y1)，B(2，y2)在一次函数y＝3x＋1的图象上，则y1 __________ y2.（选填“＜”“＝”或“＞”） y＝2x＋1 7．（2024·六盘水期中）将直线y＝2x＋4向下平移3个单位长度后得到的函数表达式是______________． A 8．在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax＋a(a≠0)的图象过点P(1，2)，则该函数的图象可能是 ( ) A (2)求△AOB的面积． 11．（2024·毕节期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点B(－4，0)，与y轴交于点A，直线y＝－2x＋4过点A，且与x轴交于点C. (1)求直线AB的函数表达式； 解：(1)对于y＝－2x＋4，当x＝0时，y＝4， ∴A(0，4). 把A(0，4)，B(－4，0)分别代入y＝kx＋b， 得4＝b，0＝－4k＋b，解得k＝1，b＝4. ∴直线AB的函数表达式为y＝x＋4； (3)若P是直线AB上一动点，且S△PBC＝S△AOB，求点P的坐标． 5．（2024·湖南长沙）对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是 ( ) A．它的图象与y轴交于点(0，－1) B．y随x的增大而减小 C．当x＞时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限 9．（2024·青海）如图，一次函数y＝2x－3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是 ( ) A.（－，0） B．（，0） C．(0，3) D．(0，－3) 10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝－x＋与y轴交于点C，且点A(－1，m)，B(n，－2). (1)求m，n的值和点C的坐标； 解：(1)把A(－1，m)，B(n，－2)分别代入y＝－x＋， 得m＝－×(－1)＋＝3， －2＝－n＋，解得n＝3. ∴m＝3，n＝3. 令x＝0，则y＝，∴C； (2)∵C，∴OC＝， ∴S△AOB＝S△AOC＋S△COB＝OC·|xA|＋OC·|xB|＝××1＋××3＝＋＝. (2)若线段AC上有一点M，使得S△OCM＝S△AOC，求直线OM的函数表达式； (2)∵点M在线段AC上，∴可设点M(x，－2x＋4). 对于y＝－2x＋4，当y＝0时，－2x＋4＝0， 解得x＝2.∴C(2，0)，∴OC＝2. ∵S△OCM＝S△AOC，∴OC·|yM|＝×OC·OA， ∴×2·(－2x＋4)＝××2×4，解得x＝. ∴－2x＋4＝－2×＋4＝，∴M. 设直线OM的函数表达式为y＝ax， 把M代入y＝ax，得a＝，解得a＝1. ∴直线OM的函数表达式为y＝x； (3)∵点P是直线AB上一动点，∴设点P(a，a＋4). ∵B(－4，0)，C(2，0)，∴BC＝2＋4＝6. ∵S△PBC＝S△AOB，∴BC·|yP|＝OB·OA，即×6|a＋4|＝×4×4， 解得a＝－，或a＝－. ∴点P的坐标为或. $$ 1 D 1．已知y与x成正比例，并且当x＝1时，y＝5，那么y与x之间的函数关系式为 ( ) A．y＝8x B．y＝2x C．y＝6x D．y＝5x C 2． 某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W(J)与s(m)的对应关系如图所示，则下列结论正确的是( ) 3．已知直线经过原点和P(－4，3)，那么它的函数表达式为 _________________． A 解：(1)∵y与x＋1成正比，∴设函数解析式为y＝k(x＋1)(k≠0). ∵当x＝1时，y＝2，∴2k＝2，解得k＝1. ∴y与x之间的函数关系式为y＝x＋1； 5．（2024·毕节期中）已知y与x＋1成正比，当x＝1时，y＝2. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求当x＝－1时的函数值． (2)由(1)知函数关系式为y＝x＋1， ∴当x＝－1时，y＝－1＋1＝0. B 6．已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是 ( ) A．(－1，2) B．(1，－2) C．(2，3) D．(3，4) 4 7．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A(2，4)，B(0，2)两点，且与x轴交于点C，则△AOC的面积为__________． 8． 如图，直线y＝2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (1)求A，B两点的坐标； ①当点P在x轴的正半轴上时，点P的坐标为(3，0). 设直线BP的函数表达式为y＝kx＋b. 把B(0，3)代入，得b＝3. 把P(3，0)代入，得3k＋3＝0，解得k＝－1. ∴直线BP的函数表达式为y＝－x＋3； (2)过点B作直线BP，与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求直线BP的函数表达式． ②当点P在x轴的负半轴上时，点P的坐标为(－3，0). 设直线BP的函数表达式为y＝mx＋n. 把B(0，3)代入，得n＝3. 把P(－3，0)代入，得0＝－3m＋3，解得m＝1. ∴直线BP的函数表达式为y＝x＋3. 综上所述，直线BP的函数表达式为y＝x＋3或y＝－x＋3. A．W＝s B．W＝20s C．W＝8s D．s＝ y＝－x 4．如图，直线AB对应的函数表达式是 ( ) A.y＝－x＋3 B．y＝x＋3 C．y＝－x＋3 D．y＝x＋3 解：(1)把x＝0代入y＝2x＋3，得y＝3， ∴点B的坐标为(0，3). 把y＝0代入y＝2x＋3， 得0＝2x＋3，解得x＝－. ∴点A的坐标为； (2)∵OA＝，∴OP＝2OA＝3. $$ 1 D 1．为发挥贵州高速的优势，加快区域间经济协调发展，一辆快车从贵阳开往兴义，一辆慢车从兴义开往贵阳，两车同时出发．设快车离兴义的距离为y1(km)，慢车离兴义的距离为y2(km)，行驶时间为x(h), 两车之间的距离为s(km).y1，y2与x的函数关系图象如图甲所示，s与x的函数关系图象如图乙所示，则下列判断中，错误的是 ( ) 2．甲、乙两辆汽车先后从A地出发到B地，甲车出发1 h后，乙车才出发，如图所示的l1和l2表示甲、乙两车相对于出发地的距离y(km)与乙车出发的时间x(h)之间的关系． (1)甲、乙两车的速度分别是多少？ (2)甲车相对于出发地的距离y(km)与乙车出发的时间x(h)之间的函数关系式为y甲＝60x＋60； 乙车相对于出发地的距离y(km)与乙车出发的时间x(h)之间的函数关系式为y乙＝90x； (2)试分别确定甲、乙两车相对于出发地的距离y(km)与乙车出发的时间x(h)之间的函数关系式； (3)当x＝1.5时，y甲＝60×1.5＋60＝150，y乙＝90×1.5＝135. ∵135＜150，∴乙车不能在1.5 h内追上甲车． 设乙车行驶a h可以追上甲车． 由题意，得90a＝60＋60a，解得a＝2. ∴乙车出发2 h才能追上甲车． (3)乙车能在1.5 h内追上甲车吗？若能，说明理由；若不能，求乙车出发几小时才能追上甲车． 3．（2024·黔南州期末）为持续响应贵州省千万师生阳光体育运动的号召，提高全体师生身体素质，某校坚持以“人人享受体育·健康拥抱未来”为主题，积极打造花样跳绳特色学校．因活动需要，计划再购买一批跳绳，经询问甲、乙两店得知，两家跳绳的单价一样，均为28元/根，但各自推出不同的优惠方案，如表： 优惠方案 甲店 乙店 全部按九折销售 50根以内（含50根）不打折；超过50根，超过的部分打七折 (1)设购买跳绳所需的总费用为y元，购买数量为x根，请分别写出在甲、乙两店购买跳绳所需的总费用y（元）与购买数量x（根）之间的函数关系式； 优惠方案 甲店 乙店 全部按九折销售 50根以内（含50根）不打折；超过50根，超过的部分打七折 优惠方案 甲店 乙店 全部按九折销售 50根以内（含50根）不打折；超过50根，超过的部分打七折 (2)小薇同学根据在甲、乙两店购买跳绳所需的总费用y（元）和购买数量x（根）之间的关系，画出的函数图象如图所示，结合图象，写出最优购买方案． 优惠方案 甲店 乙店 全部按九折销售 50根以内（含50根）不打折；超过50根，超过的部分打七折 (2)根据图象，当y甲＝y乙时，得25.2x＝19.6x＋420，解得x＝75. 由图象可知，当0≤x＜75时，y甲＜y乙； 当x＝75时，y甲＝y乙；当x＞75时，y甲＞y乙； ∴当0<x＜75时，选择甲店购买更划算； 当x＝75时，在甲、乙两店购买总费用相等，任选一家购买即可； 当x＞75时，选择乙店购买更划算． 优惠方案 甲店 乙店 全部按九折销售 50根以内（含50根）不打折；超过50根，超过的部分打七折 A．图甲中a＝3 B．当x＝时，两车相遇 C．当x＝时，两车相距60 km D．当x＝或时，两车相距200 km 解：(1)甲车的速度为＝60(km/h)， 乙车的速度为＝90(km/h)； 解：(1)在甲店购买跳绳所需的总费用：y甲＝0.9×28x＝25.2x； 在乙店购买跳绳所需的总费用：当0≤x≤50时，y乙＝28x； 当x＞50时，y乙＝28×50＋0.7×28(x－50)＝19.6x＋420. ∴y乙＝ $$ 1 【例】如图是气象台某天用仪器记录的空中气 温t(℃)与距地面高度h(km)之间的函数图象． (1)根据图象，求出图中的t关于h的函数表达式； (2)当空中气温为12 ℃时，求此时距离地面的高度． 【名师点拨】(1)用待定系数法解答即可；(2)将t＝12代入h关于t的函数表达式，求出对应h的值即可． 2 解：(1)设t关于h的函数表达式为t＝kh＋b（k，b为常数，且k≠0）. 将(0，24)和(4，0)分别代入t＝kh＋b，得b＝24，4k＋b＝0， 解得k＝－6，b＝24， ∴t关于h的函数表达式为t＝－6h＋24； 【学生解答】 (2)当t＝12时，得－6h＋24＝12，解得h＝2. 答：当空中气温为12 ℃时，此时距离地面的高度为2 km. 0.3 1．水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w(L)与滴水时间t(h)的关系可以用显示水量的容器做试验，并根据试验数据绘制出如图所示的函数图象．结合图象解答下列问题： (1)容器内原有水__________L； (2)w与t的函数关系式为____________．在这种滴水状态下，一天的滴水量是_______L. w＝0.4t＋0.3 9.6 解：(1)观察图象可知当y＝0时，x＝250. 答：一箱汽油可供摩托车行驶250 km； 2．某种型号的摩托车的油箱最多可以储油8 L，加满油后，油箱中的剩余油量y(L)与摩托车行驶路程x(km)之间的关系如图所示. 根据图象解答下列问题： (1)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ (2)摩托车每行驶100 km消耗多少升汽油？ (2)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0). 将点(0，8)，(250，0)代入关系式中， 得b＝8，250k＋b＝0. 解得k＝－0.032，b＝8. 故y关于x的函数关系式是y＝－0.032x＋8. 当x＝100时，y＝－0.032×100＋8＝4.8. 答：摩托车每行驶100 km消耗4.8 L汽油； (3)当y＝1时，即－0.032x＋8＝1. 解得x＝218.75. 答：行驶了218.75 km后，摩托车将自动报警． (3)油箱余油量小于1 L时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？ x＝2 3．如图，根据函数y＝kx＋b（k，b是常数，且k≠0）的图象， 解答下列问题： (1)方程kx＋b＝0的解为__________； (2)方程kx＋b＝－3的解为__________． x＝－1 B 4．（2024·黑龙江哈尔滨）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5 min内只进水不出水，在随后的10 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，当x＝9 min时，y等于 ( ) A．36 L B．38 L C．40 L D．42 L 5． （2024·陕西）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市. 他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80 kW·h，行驶了240 km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时, 该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少. 6．（2024·天津）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6 km，文化广场离家1.5 km.张华从家出发，先匀速骑行了4 min到画社，在画社停留了15 min，之后匀速骑行了6 min到文化广场，在文化广场停留6 min后，再匀速步行了20 min返回家．如图，图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 解：(1)①0.15 0.6 1.5 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间/min 1 4 13 30 张华离家的距离/km ______ 0.6 ______ ______ 0.075 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为__________km/min； ③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数表达式； 张华离开家的时间/min 1 4 13 30 张华离家的距离/km ______ 0.6 ______ ______ (2)当张华离开家8 min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中(0.6＜y＜1.5)两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 解：(1)设y＝kx＋b(k≠0，0≤x≤240)， 代入(0，80)，(150，50)，得b＝80，150k＋b＝50， 解得k＝－，b＝80. ∴y＝－x＋80； (2)当x＝240时，y＝－×240＋80＝32，×100%＝32%. 答：王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的32%. ③y＝ (2)爸爸的速度为＝0.075(km/min). 设张华出发x min时和爸爸相遇． 根据题意，得0.15x－2.25＝0.075(x－8). 解得x＝22. 0．15×22－2.25＝1.05(km). 答：从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05 km. $$ 1 C 1．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则k和b的取值范围是 ( ) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 D 2．已知一次函数y＝(k＋1)x＋b的图象如图所示，则k的值可能是 ( ) A．4 B．0 C．1 D．－2 B 3．已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则下列结论一定正确的是 ( ) A. kb＞0 B．kb＜0 C．k＋b＞0 D．k＋b＜0 C 4．当b＞0时，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象大致是 ( ) B 5．（2024·铜仁期末）已知点(k，b)为第一象限内的点，则一次函数y＝kx－b的大致图象是 ( ) D 6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a（a为常数，a＜0）的图象可能是 ( ) B 7．（2024·毕节期中）一次函数y＝ax＋b和y＝bx＋a（a，b为常数，且a≠b）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( ) 由一次函数图象判断字母系数的符号 由字母系数的符号判断一次函数图象 两个一次函数图象的共存问题 $$ 1 ❶把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的________坐标和________坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象． ❷正比例函数y＝kx的图象是一条经过____________的直线．因此，画正比例函数的图象时，只要再确定一个点，过这点与________画直线就可以了． ❸在正比例函数y＝kx中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而________ ；当k＜0时，y的值随着x值的增大而________ ． 横　 纵 原点(0，0) 原点 减小 增大 2 解：列表： x 0 1 y1 0 2 y2 0 1 y3 0 0.5 描点、连线如图： 解：(1)k可取1或2（答案不唯一）； 【例2】已知正比例函数y＝(3－k)x. (1)若y的值随x的增大而增大，写出相应的k的两个值； (2)若y的值随x的增大而减小，写出相应的k的两个值． 【学生解答】 (2)k可取4或5（答案不唯一）. A A 2．函数y＝－2x的大致图象是 ( ) C 0 4．（教材P93习题T3变式）如图，正比例函数图象经过点A，则该函数的表达式是　 　． 5．函数y＝－3x的图象是经过点(0，　 　)和点(　 　，－3)的一条直线． 1 D D 7．已知正比例函数y＝(k－3)x，若y随x的增大而增大，则k的值可以是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024·上海）若正比例函数y＝kx的图象经过点(7，－13)，则y的值随x的增大而　 　．（选填“增大”或“减小”） 减小 A 9．若正比例函数y＝－3x的图象经过两点(－2，y1)和(－3，y2)，则y1和y2的大小关系为 ( ) A．y1<y2 B．y1>y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【变式】（2024·山西）已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是 ( ) A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 B B 10．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象分别是l1，l2，l3，l4，则下列关系正确的是 ( ) A．k1＜k2＜k3＜k4 B．k2＜k1＜k4＜k3 C．k1＜k2＜k4＜k3 D．k2＜k1＜k3＜k4 解：(1)100　 11．甲、乙两人在一次赛跑中，路程y(m)与时间x(s)的关系如图所示，根据图象，解答下列问题． (1)这是一次　　　　m的赛跑； (2)　　　　先到达终点； (2)甲 (3)100÷12.5＝8(m/s)， ∴乙在这次赛跑中的速度是8 m/s； (3)乙在这次赛跑中的速度是多少？ (4)分别求出甲、乙两人所跑路程与时间的函 数关系式． 12．已知正比例函数y＝x. (1)画出此函数的图象； (2)已知点A在此函数图象上，其横坐标为2，求出点A的坐标，并在图象上标出点A； (3) 在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)函数图象如图所示； (2)把x＝2代入y＝x，得y＝2， ∴点A的坐标为(2，2). 点A如图所示； (3)存在． ∵△AOP为等腰直角三角形，点P为x轴上一点，∴∠AOP≠90°. 分两种情况进行讨论： ①当∠APO＝90°时，有AP＝OP＝2，即点P的坐标为(2，0)； ②当∠OAP＝90°时，有OA＝AP. 即点P的坐标为(4，0). 综上所述，满足条件的点P的坐标为(2，0)或(4，0). 【例1】在同一平面直角坐标系中，分别作出下列函数的图象： (1)y1＝2x; (2)y2＝x; (3)y3＝x. 【学生解答】 1．（2024·四川德阳）正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是 ( ) A. B．－ C．－1 D．－ 　正比例函数图象上点的坐标 3．已知直线y＝－x经过点(4，a)，则a的值为 ( ) A．2 B．－1 C．－2 D．1 y＝x 6．（2024·六盘水期中）关于正比例函数y＝－，下列结论正确的是 ( ) A．k＝－2 B．图象必经过点(－1，2) C．图象不经过原点 D．y随x的增大而减小 (4)由100÷12＝(m/s)和(3)可得，甲所跑的路程与时间的函数关系式为y＝x，乙所跑的路程与时间的函数关系式为y＝8x. ∵A(2，2)，∴OA＝＝2， ∴PA＝OA＝2. ∴OP＝＝＝4， $$ 1 ❶一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有__________的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量． ❷对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的__________． ❸表示函数的方法一般有：__________法、__________法和__________法． 唯一 函数值 列表 关系式 图象 2 B 【例1】下列关于变量x，y的关系式：①3x－2y＝5；②y＝|x|；③2x－y2＝10.其中，y是x的函数的是 (　　) A．①②③　　　　 B．①② C．②③ D．①③ 【名师点拨】判定y是x的函数的关键：当x取一个值时，y是否有唯一值与之对应． 【学生解答】 所挂物体质量 【例2】小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg) 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 30 32 34 36 38 40 (1)上表所反映的变化过程中的两个变量，_________________是自变量，__________是因变量； (2)直接写出y与x的关系式：______________． 【学生解答】 弹簧长度 y＝2x＋30 答案见上 D 1．下列变化过程中，两个变量存在函数关系的是 ( ) A.人的身高与年龄 B.光照时间与果树产量 C.三角形的底边长与面积 D.速度一定的汽车行驶的路程与时间 C 2．李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如表是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是 ( ) A.金额 B.数量 C.单价 D.金额和数量 300.00 金额 44.248 数量/L 6.78 单价/元 C x≠0 C 5．(2024·江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中, 温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为 ( ) A B 7．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中, 水面高度h随时间t的变化规律如图所示，这个容器的形状可能是图中的 ( ) 19 8．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是－2.若输入x的值是－8，则输出y的值是__________. 9．(2024·毕节期末)某小组同学测量一个蓄水50 m3的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/min 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/m3 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； 解：(1)放水时间t　水池中剩余水量y　 (2)y＝50－2t； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ (3)将y＝0代入， 即0＝50－2t， 解得t＝25. 答：当放水25 min时，水池的水恰好全部放完． 放水时间t/min 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/m3 48 46 44 42 40 … 10． 在一定限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)有如下关系(假设都在弹性限度内)． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 (1)由表格可知，弹簧原长为_______cm，所挂物体每增加1 kg，弹簧伸长________ cm； 解：(1)12　0.5 (2)请写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围) (3)当所挂物体质量为10 kg时，弹簧长度是多少？ (2)y＝0.5x＋12； (3)当x＝10时，y＝0.5x＋12＝0.5×10＋12＝17. 答：当所挂物体质量为10 kg时，弹簧长度为17 cm. 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧长度y/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 D 11． 如图①，四边形ABCD是长方形，动点E从点B出发，以1 cm/s的速度沿着B→C→D→A运动至点A停止．记点E的运动时间为t(s)，△ABE的面积为S(cm2)，其中S与t之间的函数关系如图②所示，那么下列说法错误的是 ( ) A．AB＝3 cm B．长方形ABCD的周长为10 cm C．当t＝3时，S＝3 D．当S＝1.5时，t＝6 3．(2024·毕节期中)函数y＝中自变量x的值可以是( ) A.0 B．1 C．2 D．－2 4．(2024·四川内江)在函数y＝中，自变量x的取值范围是__________． 6．(2024·广西)激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束，则L到M的距离d(km)与时间t(s)的关系式为 ( ) A.d＝t B．d＝3×105t C.d＝2×3×105t D．d＝3×106t $$ 1 应用函数图象解决实际问题的一般步骤： (1)确定函数模型； (2)求出函数表达式； (3)利用函数表达式或函数图象的性质解决问题． 2 【例】如图，直线l1，l2分别反映了使用一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用＝灯的售价＋电费，单位：元）与照明时长x（单位：h）之间的关系，假设两种灯的使用寿命都是2 000 h，照明效果一样． 【名师点拨】(1)根据图象信息设l1的函数表达式为y＝k1x＋2，l2对应的函数表达式为y＝k2x＋20，再代数求值即可；(2)求出两个一次函数的交点即可得到答案． 【学生解答】 (1)根据图象分别求出直线l1，l2对应的函数表达式； (2)当照明时长为______h时，白炽灯的费用等于节能灯的费用；当照明时长_______h时，使用白炽灯更省钱． (2)1 000 ＜1 000 解：(1)设l1的函数表达式为y＝k1x＋2，将(500，17)代入， 得17＝500k1＋2，解得k1＝0.03. 故l1的函数表达式为y＝0.03x＋2(0≤x≤2 000)； 设l2的函数表达式为y＝k2x＋20， 将(500，26)代入，得26＝500k2＋20， 解得k2＝0.012. 故l2的函数表达式为y＝0.012x＋20(0≤x≤2 000)； B 1．如图，射线l甲，l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行路程s(m)与时间t(min)的函数图象，则他们行进的速度关系是( ) A．甲、乙同速 B．甲比乙快 C．乙比甲快 D．无法确定 0＜x＜500 2． 活动中心为了宣传夏令营活动，需要印刷一批如图①所示的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的费用y（元）与宣传单数量x(x＞0)（张）之间的函数图象如图②所示, 则当图文社乙的费用小于图文社甲的费用时，印刷宣传单的数量范围是______________． 3． 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置．每辆车的改装费为b元，据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y0（元），y1（元）与正常营运时间x（天）之间分别满足关系式：y0＝ax，y1＝b＋50x，图象如图所示． 解：(1)90 4 000 100 试根据图象，解答下列问题： (1)每辆车改装前每天的燃料费a＝________元，每辆车的改装费b＝________元，正常营运_________天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本； (2)设正常营运x天后节省燃料费40万元． 由(1)，得y0＝90x，y1＝4 000＋50x. 根据题意，得100[90x－(4 000＋50x)]＝400 000，解得x＝200. 答：正常营运200天后共节省燃料费40万元． (2)某出租车公司一次性改装了100辆出租车，那么正常营运多少天后共节省燃料费40万元？ D 4．（2025·贵阳模拟）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s(km)与所用的时间t(min)之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是 ( ) A．前10 min，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度为0.06 km/min C．经过30 min，甲比乙走过的路程少 D．经过20 min，甲、乙都走了1.6 km 5． 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①.经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y(%)与充电时间x(h)的函数图象分别为图②中的线段AB，AC. 根据以上信息，解答下列问题： (1)在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用_________h； 4 (2)求线段AB，AC对应的函数表达式； (3)已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在目前电量为20%的情况下，用快速充电器将其充满电后，正常使用a h，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电—耗电—充电”的时间恰好是6 h，求a的值． 解：(1)30 km 6．在一条笔直的公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地, 同时乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回．如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的关系图象, 根据图象解答以下问题： (1)A，B两地之间的距离为_________； (2)求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示 的实际意义； (3)若两人之间的距离不超过3 km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围． (2)由(0，20)及(2，100)可得yAB＝40x＋20， 由(0，20)及(6，100)可得yAC＝x＋20； (3)根据题意，得×(6－2－a)＝10a，解得a＝. (2)由图可知甲的速度为30÷2＝15(km/h)， 乙的速度为30÷1＝30(km/h)，易得y甲＝30－15x. 当x＜1时，y乙＝30x. 令30－15x＝30x，解得x＝. 此时y＝30×＝20. ∴点M的坐标为，表示 h时，甲、乙两人相遇，此时距离B地20 km； (3)设x h时，甲、乙两人相距3 km； ①若是相遇前，则(30－15x)－30x＝3，解得x＝； ②若是相遇后且乙到达A地前，则30x－(30－15x)＝3，解得x＝； ③若是甲到达B地前而乙到达A地返回B地过程中，即当1＜x≤2时，易得y乙＝30－30(x－1)＝－30x＋60， 则(－30x＋60)－(30－15x)＝3，解得x＝. ∴当≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系． $$ 1 解决一次函数与动点问题，关键在于按运动阶段分类讨论，不同的运动阶段对应不同的自变量范围，列出不同的函数表达式． D 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm. 点P从点A出发，以2 cm/s 的速度在矩形的边上沿 A→B→C→D 运动，点P与点D重合时停止运动． 设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm2)，则S随t变化的函数大致图象为( ) A 2．如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形．设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2.若S＝S1－S2，则S随t变化的函数大致图象为 ( ) 3．如图①，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示． (1)求△ABC的面积； (2)求y关于x的函数表达式． 解：(1)根据图②可知， 当x＝4时，y开始不变，∴BC＝4； 当x＝9时，y继续变化，∴CD＝9－4＝5. 因此，S△ABC＝×5×4＝10； (2)根据点P的运动路径，分三段求解： ①当0≤x≤4时，点P在BC上，y＝AB·BP＝×5x＝x； ②当4≤x≤9时，点P在CD上，y＝S△ABC＝10； ③当9≤x≤13时，点P在DA上，y＝AB·AP＝×5×(13－x)＝－x＋. 综上所述，y关于x的函数表达式为y＝ $$ 1 ❶设计方案的选择问题 方法：(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；(2)用特殊值试探法、选择法，取小于（或大于）一元一次方程的解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 2 ❷解的合理性 说明：在列方程解实际问题时，求出解后要注意验证所求的解是否符合实际问题的情况．若符合，说明这就是要求的解；若不符合，则说明这个问题无解． 注意：对于实际问题，检验解的结果是否合乎实际意义是必要的． 【例】我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8 t时，水价为每吨1.5元，超过8 t时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水x t，应缴水费y元． (1)当0＜x≤8时，请写出y与x的函数关系式：　　　　　___________； (2)当x＞8时，请写出y与x的函数关系式：　　　　　　___________； (3)如果该户居民这个月缴水费23元，那么这个月该户用了多少吨水？ 解：(1)y＝1.5x 【学生解答】 (2)y＝2.2x－5.6 (3)∵1.5×8＝12＜23， ∴该户当月用水超过8 t. 令y＝2.2x－5.6中y＝23， 则23＝2.2x－5.6， 解得x＝13. 答：这个月该户用了13 t水． 1．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200 kW·h时，按0.55元/(kW·h)计费；月用电量超过200 kW·h时，其中的200 kW·h仍按0.55元/(kW·h)计费，超过部分按0.7元/(kW·h)计费．设某户家庭月用电量为x kW·h时，应缴电费y元． 解：(1)当月用电量不超过200 kW·h时， y与x之间的关系式是y＝0.55x； 当月用电量超过200 kW·h时， y与x之间的关系式是y＝0.55×200＋0.7(x－200)，即y＝0.7x－30； (1)分别求出月用电量不超过200 kW·h和超过200 kW·h时，y与x之间的关系式； (2)∵0.55×200＝110（元）＜117元， ∴小明家5月份的用电量超过200 kW·h. 将y＝117代入y＝0.7x－30，得0.7x－30＝117，解得x＝210. 答：小明家5月份用电量为210 kW·h. (2)若小明家5月份缴电费117元，则小明家5月份用电量为多少？ 2．某校为了准备校庆，学校需要采购一批演出服装．现有质量较好且价格合理的A，B两家公司供选择，这两家公司给出的价格都是每套服装100元，经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装单价打八折，但校方需要承担1 500元的运费；B公司给出的优惠条件是购买服装不超过100套时不打折，超过100套时，超出部分每套打七折，校方不用承担运费． (1)分别求出学校购买A，B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与购买服装的数量x（套）之间的函数关系式； (2)当x＝180时，y1＝80×180＋1 500＝15 900， y2＝70×180＋3 000＝15 600. ∵y1＞y2，∴学校选择B公司的服装花费更少． (2)如果该校根据演出人数决定购买180套服装，请通过计算说明学校选择哪家公司的服装花费更少． 3．某销售公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是付给推销员的月报酬．公司付给推销员月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同．根据图象，解答下列问题： (1)求每种付酬方案y关于x的函数表达式； 解：(1)设方案一的函数表达式为y＝kx， 将(30，1 200)代入表达式，得30k＝1 200， 解得k＝40. 即方案一的函数表达式为y＝40x. 设方案二的函数表达式为y＝kx＋b， 将(0，600)，(30，1 200)代入表达式， 得b＝600，30k＋b＝1 200，解得k＝20，b＝600. 即方案二的函数表达式为y＝20x＋600； (2)根据函数图象，并结合实际情况可知， 方案一：推销员没有底薪，每推销一件产品可获得40元的报酬； 方案二：推销员的底薪为600元，每推销一件产品可获得20元的报酬； (2)根据图中表示的两种方案，请说明公司是如何付给推销员报酬的； (3)由两方案的图象交点(30，1 200)可知： 若销售量x的取值范围为0＜x＜30，则选择方案二； 若销售量x＝30，则选择两个方案都可以； 若销售量x的取值范围为x＞30，则选择方案一． (3)如果你是推销员，那么你会选择哪种方案？ 4． 某校八年级开展了《哪一款手机资费套餐更合适》项目学习．以下是小明同学活动报告的部分内容. 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐 名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 A 90元 30GB 500 min 3元/GB 0.1元/min B 150元 60GB 1 000 min 3元/GB 0.1元/min 套餐说明：(1)月资费＝月费＋超出套餐资费（流量超出费＋语音超时费）；(2)套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过300 min 建立模型 (1)语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费为y元，每月使用流量x GB. A套餐：当x＞30时，yA＝90＋3(x－30)＝3x； B套餐：当x＞60时，yB＝　　　　　　． 建立模型 (2)为了直观比较，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象（如图）. 解：(1)由题意，得yB＝150＋3(x－60)＝3x－30； 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)当x＞60时，求B套餐每月手机资费y（元）与每月使用流量x(GB)之间的关系式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出B套餐的大致图象； (2)由题意，得当0≤x≤60时，y＝150； 当x＝70时，y＝3x－30＝3×70－30＝180. 函数图象如图； (3)<50　>50 (3)根据图象可知：当x　　　　时，选择A套餐更合适；当x　　　　时，选择B套餐更合适． 解：(1)y1＝0.8×100x＋1 500＝80x＋1 500，∴y1＝80x＋1 500. 当0≤x≤100时，y2＝100x； 当x＞100时，y2＝100×100＋0.7×100(x－100)＝70x＋3 000. ∴y2＝ $$ 1 如果两个变量x，y间的对应关系可以表示成____________ (k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数．特别地，当b＝__________时，称y是x的正比例函数． y＝kx＋b 0 2 【例1】已知函数y＝(m－1)x＋1－3m，当m_________时，y是x的一次函数；当m_________时，y是x的正比例函数． 【名师点拨】根据一次函数和正比例函数的定义可知，当m－1≠0时，y是x的一次函数；当1－3m＝0时，y是x的正比例函数． 【学生解答】 解：∵这棵树每个月长高2 cm， ∴x个月长高2x cm，因而y＝50＋2x， ∴y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 【例2】一棵树现在的高度为50 cm，每个月长高2 cm，x个月后这棵树的高度为y cm.写出x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ 【名师点拨】判断y是否为x的一次函数或正比例函数，关键要准确把握一次函数和正比例函数的定义及一般形式． 【学生解答】 1． 大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种，据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表． 气温/℃ … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数/(次/min) … 70 84 98 112 … B 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为 ( ) A．9 ℃ B．10 ℃ C．11 ℃ D．12 ℃ 气温/℃ … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数/(次/min) … 70 84 98 112 … D D 4．(1)在函数y＝(m－2)x＋5中，当m______时，y是x的一次函数； (2)若函数y＝4x＋3－a是正比例函数，则a＝________． ≠2 3 y＝16x 5． (2024·毕节期中)宋代词人蒋捷曾在《一剪梅·舟过吴江》中提到：“流光容易把人抛，红了樱桃，绿了芭蕉”．昭通鲁甸樱桃上市后，每千克樱桃16元，则购买樱桃的费用y(元)与樱桃重量x(kg)之间的关系式是__________． 解：(1)y＝1.2x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数； 6．(教材P81例1变式)写出下列各题中两变量之间的关系式，并判断它们是否为一次函数，是否为正比例函数． (1)某小区的物业费是按房屋面积每月每平方米1.2元来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y(元)与房屋面积x(m2)之间的函数关系； (2)S＝a2，S不是a的一次函数，也不是a的正比例函数； (2)正方形的面积S(cm2)与边长a(cm)的关系； (3)已知等腰三角形的周长是18 cm，腰长y(cm)与底边长x(cm)的关系． A 7．(易错题)已知y＝(m－3)x|m|-2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是 ( ) A．－3 B．3 C．±3 D．±2 C B 8．某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如下表． 尺码 … S M L XL 2XL … 衣长/cm … 67±2 69±2 71±2 73±2 75±2 … 若小明需要定制6XL，则他的衣长可能是 ( ) A．79 cm B．84 cm C．86 cm D．87 cm 解：(1)y＝20－0.5x(0≤x≤40) 9．某种报纸的价格是每份0.5元，若小明共有20元，买x份该种报纸后剩余的钱数为y元．请先填写下表，再解答后面的问题： 份数/份 1 2 3 4 … 剩余钱数/元 … (1)写出买该种报纸后剩余的钱数y(元)与所买报纸份数x(份)之间的函数关系式为_________； 19.5 19 18.5 18 (2)当x＝6时，y＝20－0.5×6＝17. 答：买6份该种报纸后，还剩余17元； (2)买6份该种报纸后，还剩余多少元？ (3)若小明买完报纸后剩余10元，则他购买了多少份该种报纸？ (3)当y＝10时，20－0.5x＝10，解得x＝20. 答：他购买了20份该种报纸． 份数/份 1 2 3 4 … 剩余钱数/元 19.5 19 18.5 18 … 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D.设∠A＝x°，∠CBD＝y°. (1)求y与x之间的关系式； (2)这个函数是一次函数吗？若是，请指出k，b的值，并写出x的取值范围；若不是，请说明理由． 13 11． 下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以推测：第4个图形中，火柴棒有__________根，第n个图形中，火柴棒有__________根．若用y表示火柴棒的根数，x表示正方形的个数，则y与x的函数关系式是__________，y是x的__________函数． (3n＋1) y＝3x＋1 一次 ≠1　＝ 　一次函数与正比例函数的概念 2．下列函数中，是正比例函数的是 ( ) A．y＝4x－1 B．y＝5x2 C．y＝ D．y＝－6x 3．下列函数中，是一次函数的是 ( ) A．y＝＋1 B．y＝＋1 C．y＝x2＋1 D．y＝x＋1 (3)y＝9－x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 【变式】若函数y＝(k＋3)x＋k2－9是关于x的正比例函数，则k的值为 ( ) A．－3 B．±3 C．3 D． 解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C. ∴∠ABC＝(180°－∠A). 又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝(180°－∠A). ∴y＝(180－x)＝－x＋45. ∴y与x之间的关系式为y＝－x＋45； (2)这个函数是一次函数，k＝－，b＝45， x的取值范围是0＜x＜180. $$