21.2 解一元一次方程学案2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦配方法和公式法解一元二次方程，通过探究具体方程引导学生掌握配方法步骤，再推导求根公式及根的判别式，搭建从具体到一般的学习支架，衔接前后知识脉络。 以探究活动培养抽象能力与推理意识，分层练习提升运算能力和应用意识，结构清晰助力学生构建知识体系，发展数学思维与表达，有效提升解一元二次方程的技能与素养。

人教版 学案 九年级上数学 编号：002 课题：21.2.1 解一元一次方程（第2课时）--配方法 【学习目标】 1．会用配方法解数字系数的一元二次方程． 2．掌握配方法的步骤，能使用配方法解一元二次方程 【活动设计】 知识点1：配方法解一元二次方程 探究：怎样解方程x2＋6x+4＝0? 解：移项，得x2＋6x＝-4， 两边都加上____即____，使左边配成x2＋bx＋()2的形式，得 ____＋____＋____＝____＋____， 左边写成平方形式，得 ______＝____， 开平方，得 ______＝______，　　(降次) 即 ________或________， 解一次方程，得x1＝____，x2＝____． 配方法：通过配成____________式的形式解一元二次方程的方法. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p的形式，那么就有： ①当p>0时，方程有两个不等的实数根 ②当p=0时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=-n ③当p<0时，方程无实数根. 例1：解下列方程： (1)x2-8x+1＝0；　　 (2)2x2＋1＝3x； (3)3x2－6x＋4＝0. 归纳：利用配方法解方程的步骤： (1) 移项； (2)二次项系数化为1； (3)左边配成完全平方式； (4)_______； (5)解一次方程. 练习：（1）x2+10x+9=0 (2) 【课堂测试】 1.用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是(　　) A．(x＋4)2＝－9 B． (x＋4)2＝－7 C．(x＋4)2＝25 D． (x＋4)2＝7 2. 填空： (1)x2＋10x＋____＝(x＋____)2； (2)x2－12x＋____＝(x－____)2； (3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； (4)x2－x＋____＝(x－____)2. 3.解下列方程： （1）4x2-6x-3=0； （2） 3x2+6x-9=0； （3）x2+4x-9=2x-11； （4）x(x+4)=8x+12. 课题：21.2.2解一元一次方程--公式法 【学习目标】 1. 掌握根的判别式及求根公式 2. 会熟练应用公式法解一元二次方程． 【活动设计】 知识点一：推导一元二次方程的求根公式 用配方法配一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0 提示步骤：1.将常数项移到等式的另一边： 2. 将二次项系数化1： 3. 配方可得： 4.直接开平方得： 5.整理得： 归纳总结： 1. 根的判别式：一般的，式子 叫做一元二次方程根的判别式 ,通常用希腊字母“ ”表示它，即 . 2.一元二次方程根的情况： ①当时，方程有___ _个 的实数根； ②当时，方程有__ _个 的实数根； ③当时，方程 ___实数根。 3.一元二次方程的求根公式：当时，方程的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程的的求根公式. 4．公式法：用__________解一元二次方程的方法叫做公式法. 例1 用公式法解下列方程： （1） （2） 解：（1） （2） 方程有 实数根， 方程有 实数根， __________________ __________________ 即 ， 即 ， （3） 5x2－4x＝x+1 （4） x2＋17＝8x. 总结：用公式法解一元二次方程的步骤： 1. 先将一元二次方程化为 ； 2. 分别确定 、 、 ； 3. 再计算判别式 4. 若判别式 0，则方程 ； 若判别式 0，则利用 代数求值解一元二次方程。 例2 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？ 【课堂测试】 1. 不解方程，判别下列一元二次方程的根的情况： (1)2x2＋3x－4＝0；　 　(2)16y2＋9＝24y； (3)5(x2＋1)－7x＝0. 2. 解下列方程 (1)x2-7x-18=0; （3）（x-2)(1-3x)=6 3.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$