第05讲 解一元二次方程-因式分解法（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第05讲 因式分解法 课程标准 学习目标 ①用因式分解法解一元二次方程 ②整体法（换元法）解方程 1. 掌握因式分解的方法，并能够熟练利用因式分解法来解一元二次方程。 2. 掌握整体法（换元法）并能够熟练用其解方程。 3. 熟练掌握解一元二次方程的所有方法，在解方程时能够选择合适的方法解方程。 知识点01 因式分解解一元二次方程 1. 因式分解解一元二次方程的定义： 解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，在使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若，则A＝ 0 ，B＝ 0 。 2. 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 3. 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①移项：将方程的右边化为0； ②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式； ③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 【即学即练1】 1．因式分解：2a2b+6ab2＝　2ab（a+3b）　． 【分析】利用提取公因式法即可得结论． 【解答】解：2a2b+6ab2＝2ab（a+3b）． 故答案为：2ab（a+3b）． 2．分解因式：9a2﹣16b2＝　（3a+4b）（3a﹣4b）　． 【分析】先把9a2，16b2写成（3a）2，（4b）2，然后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：9a2﹣16b2 ＝（3a）2﹣（4b）2 ＝（3a+4b）（3a﹣4b）， 故答案为：（3a+4b）（3a﹣4b）． 3．分解因式4x2﹣4x+1＝　（ 2x﹣1）2　． 【分析】直接利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2分解即可． 【解答】解：4x2﹣4x+1＝（ 2x﹣1）2． 4．分解因式：x2+x﹣12＝　（x+4）（x﹣3）　． 【分析】原式利用十字相乘法分解即可得到结果． 【解答】解：原式＝（x+4）（x﹣3）． 故答案为：（x+4）（x﹣3） 【即学即练2】 5．用因式分解法解下列方程： （1）x2﹣4x＋3＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． 【分析】（1）利用十字相乘法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x＋3＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+2x）＝0， ∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0， ∴x1＝3，x2＝1． 6．（3x﹣1）2＝（x+1）2． 【分析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解． 【解答】解：方程两边直接开方得： 3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1）， ∴2x＝2，或4x＝0， 解得：x1＝1，x2＝0． 知识点02 整体法（换元法）解方程 1. 整体法（换元法）解方程： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 例题讲解：【例】解方程． 解：设，则原方程可化为． 解得． 当y=1时，即x-1=1，解得x=2； 当y=4时，即x-1=4，解得x=5． 所以原方程的解为x1=2，x2=5． 【即学即练1】 7．提出问题： 为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝﹣1（不符合要求，舍去）． 当y1＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： 运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0． 【分析】设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，求出y的值，再代入x2﹣2＝y求出x即可． 【解答】解：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0， 设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0， （y﹣6）（y﹣7）＝0， y﹣6＝0或y﹣7＝0， 解得，：y1＝6，y2＝7， 当 x2﹣2＝6 时，； 当 x2﹣2＝7 时，x＝±3， 所以原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3． 题型01 利用因式分解法解一元二次方程 【典例1】一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1 【分析】直接提取公因式x，进而分解因式解方程即可． 【解答】解：x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝0． 故选：B． 【变式1】一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：x2﹣6x+5＝0 （x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝1，x2＝5， 故选：A． 【变式2】方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 【分析】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0， x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣2． 故选：B． 【变式3】解方程 （1）； （2）x（5x+2）＝6（5x+2）． 【分析】（1）先移项，然后利用公式法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）x（5x+2）＝6（5x+2）， x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0， （x﹣6）（5x+2）＝0， x﹣6＝0或5x+2＝0， ∴． 【变式4】解方程： （1）x2﹣3x+2＝0； （2）x﹣1＝2（x﹣1）2． 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． （2）先移项得到2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或2x﹣2﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝2，x2＝1； （2）x﹣1＝2（x﹣1）2， 2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0， （x﹣1）（2x﹣2﹣1）＝0， x﹣1＝0或2x﹣2﹣1＝0， 所以x1＝1，x2＝． 题型02 用整体法（换元法）解方程 【典例1】已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A．﹣1或3 B．1或3 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3 【分析】先根据已知方程和方程的解，从而得到方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0中的2x+3相当于第1个方程中的x，从而得到2x+3＝1和2x+3＝﹣3，解方程即可． 【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3， ∴方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0， 2x+3＝1，2x+3＝﹣3， 2x＝﹣2，2x＝﹣6， x1＝﹣1，x2＝﹣3， 故选：C． 【变式1】已知关于x的一元二次方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，则方程a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为（　　） A．﹣2，3 B．﹣1，3 C．﹣3，2 D．﹣1，﹣2 【分析】根据方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，得到x+1＝﹣2，或x+1＝3，即可求解． 【解答】解：∵a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3， ∴a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）中，x+1＝﹣2，或x+1＝3， 解得：x＝﹣3或x＝2， 故选：C． 【变式2】若关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x1＝1，x2＝4，则关于y的一元二次方程的解为 　y1＝1，y2＝7　． 【分析】设t＝，则原方程可化为at2+6t﹣4＝0，根据关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x1＝1，x2＝4，得到t1＝1，t2＝4，于是得到结论． 【解答】解：设t＝， 则原方程可化为at2+6t﹣4＝0， ∵关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x1＝1，x2＝4， ∴t1＝1，t2＝4， ∴＝1或＝4， 解得y1＝1，y2＝7． 故答案为：y1＝1，y2＝7． 【变式3】阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．① 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　换元　法达到了降次的目的，体现了 　换元　的数学思想． （2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0． 【分析】（1）根据题意可以解答本题； （2）根据换元法可以解答此方程． 【解答】解：（1）由题意可得， 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想， 故答案为：换元、换元； （2）x4﹣x2﹣12＝0， 令a＝x2，则原方程可化为：a2﹣a﹣12＝0， 解得，a＝﹣3或a＝4， ∴x2＝﹣3（舍去），x2＝4， 解得，x1＝2，x2＝﹣2， 故原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 【变式4】阅读下列材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝t，则（x2）2＝t2，原方程化为t2﹣t﹣6＝0①，解①得t1＝﹣2，t2＝3．当t1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当t2＝3时，x2＝3，解得；∴原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． （1）利用换元法解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，新字母设为t，则t＝　x2﹣x　，原方程化为 　t2﹣4t﹣12＝0　，解得t＝　6或﹣2　． （2）求方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0的解． 【分析】（1）根据题意，可设t＝x2﹣x，于是原方程变形为t2﹣4t﹣12＝0，利用因式分解法求解即可． （2）根据t＝6，t＝﹣2，转化为方程x2﹣x＝6，x2﹣x＝﹣2，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意，可设t＝x2﹣x，于是原方程变形为t2﹣4t﹣12＝0， 解得t＝6，t＝﹣2， 故答案为：x2﹣x，t2﹣4t﹣12＝0；6或﹣2． （2）根据题意，得t＝6，t＝﹣2，方程转化为x2﹣x＝6，x2﹣x＝﹣2， 故x2﹣x﹣6＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣2； 当x2﹣x+2＝0时，此时Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＜0，方程无解， 故原方程的解为x1＝3，x2＝﹣2． 题型03 利用整体法（换元法）求式子的值 【典例1】若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则a+b的值是（　　） A．±2 B．±4 C．2 D．4 【分析】先根据平方差公式进行计算，求出（a+b）2＝16，再方程两边开方即可． 【解答】解：（a+b+1）（a+b﹣1）＝15， （a+b）2﹣1＝15， （a+b）2＝16， 开方得：a+b＝±4， 故选：B． 【变式1】已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则x2+y2＝（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．﹣3或2 【分析】设x2+y2＝a，原方程可化为a2﹣a﹣6＝0，利用因式分解分求出a的值，进而得出x2+y2的值． 【解答】解：（x2+y2）2﹣y2＝x2+6， （x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣6＝0， 设x2+y2＝a， 原方程可化为a2﹣a﹣6＝0， 则（a﹣3）（a+2）＝0， a﹣3＝0或a+2＝0， 解得a＝3或a＝﹣2（不合题意）， 故x2+y2＝3． 故选：B． 【变式2】若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式3x2+6x+2011的值是 　2023　． 【分析】设x2+2x＝a，则原方程化成：a（a﹣2）＝8，解方程求出a，再把所求代数式的前两项提取公因数3，再把x2+2x的值整体代入，进行计算即可． 【解答】解：设x2+2x＝a，则原方程化成：a（a﹣2）＝8， a2﹣2a﹣8＝0， （a﹣4）（a+2）＝0， a﹣4＝0，a+2＝0， a1＝4，a2＝﹣2， ∴x2+2x的值为4或﹣2， 当x2+2x＝4时， 3x2+6x+2011 ＝3（x2+2x）+2011 ＝3×4+2011 ＝12+2011 ＝2023， ∵x2+2x≥﹣1， 代数式3x2+6x+2011的值是2023， 故答案为：2023． 【变式3】若实数x满足2（x2﹣x）2﹣x2+x﹣6＝0 则x2﹣x+1＝　3　． 【分析】首先假设x2﹣x＝y，得出方程等于y2﹣y﹣6＝0，进而求出y即可． 【解答】解：假设x2﹣x＝y，则原方程可化为：2y2﹣y﹣6＝0， ∴（2y+3）（y﹣2）＝0， ∴y1＝，y2＝2， 即x2﹣x＝或2． 当x2﹣x＝时，x2﹣x+1＝，即x2﹣x+＝0，Δ＝1﹣10＜0，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当x2﹣x＝2时，x2﹣x+1＝3， 故答案为：3． 【变式4】若（a+b）2﹣4a﹣4b+4＝0，则a+b+4＝　6　． 【分析】设y＝a+b，由原方程得到：y2﹣4y+4＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：设y＝a+b，则由原方程得到：y2﹣4y+4＝0， 整理，得（y﹣2）2＝0． 所以y1＝y2＝2． 所以a+b＝2． 所以a+b+4＝2+4＝6． 故答案为：6． 题型04 解含有绝对值的方程 【典例1】阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x3＝﹣5，x4＝2（舍去）． 综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5． 请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0． 【分析】讨论：当x+1≥0，原方程可化为x2﹣（x+1）﹣1＝0，当x+1＜0，原方程可化为x2+（x+1）﹣1＝0，然后分别利用因式分解法解方程，从而得到满足条件的x的值． 【解答】解：当x+1≥0，即x≥﹣1时， 原方程可化为x2﹣（x+1）﹣1＝0， 即x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1， 当x+1＜0，即x＜﹣1时， 原方程可化为x2+（x+1）﹣1＝0， 即x2+x＝0， x（x+1）＝0， x＝0或x+1＝0， 解得x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）， 综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1． 【变式1】阅读下面的例题与解答过程： 解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 解：当x≥0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去）； 当x＜0时，x2+x﹣2＝0，解得x3＝﹣2，x4＝1（舍去）． ∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论思想． 请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程： （1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0． 【分析】（1）当x≥0时，|x|＝x，当x＜0时，|x|＝﹣x． （2）当x≥1时，|x﹣1|＝x﹣1，当x＜1时，|x﹣1|＝1﹣x． 【解答】解：（1）当x≥0时，x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2； 当x＜0时，x2+2x＝0，解得x3＝﹣2，x4＝0（舍去）； ∴原方程的解为x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2； （2）当x≥1时，x2﹣2x﹣4x+4+5＝0，即x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3， 当x＜1时，x2﹣2x+4x﹣4+5＝0，即x2+2x+1＝0，解得x3＝x4＝﹣1， ∴原方程组的解为x1＝x2＝3，得x3＝x4＝﹣1． 题型05 用合适的方法解一元二次方程 【典例1】用适当的方法解方程： （1）2（x﹣1）2﹣8＝0； （2）x2﹣3x+2＝0． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）2（x﹣1）2﹣8＝0， 2（x﹣1）2＝8， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x1＝3，x2＝﹣1； （2）x2﹣3x+2＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， x﹣1＝0或x﹣2＝0， x1＝1，x2＝2． 【变式1】解方程： （1）（2x+3）2﹣25＝0； （2）3x2﹣4x+2＝0． 【分析】（1）先把方程变形得到（2x+3）2＝25，再把方程两边开方得到2x+3＝±5，然后解两个一次方程即可； （2）先计算出根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式的意义可判断方程没有实数解． 【解答】解：（1）（2x+3）2﹣25＝0， （2x+3）2＝25， 2x+3＝±5， 所以x1＝1，x2＝﹣4； （2）3x2﹣4x+2＝0， ∵a＝3，b＝﹣4，c＝2， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×2＝﹣8＜0， ∴方程没有实数解． 【变式2】解下列一元二次方程： （1）x2﹣6x﹣1＝0； （2）3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2）． 【分析】（1）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解一元二次方程先移项再提公因式，令每个因式为0，即可作答． 【解答】解：（1）x2﹣6x﹣1＝0， 则x2﹣6x＝1， 那么x2﹣6x+9＝1+9＝10， ∴（x﹣3）2＝10， 解得， 即． （2）3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2）， 3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0， （3x+2）（x﹣2）＝0， 解得3x+2＝0，x﹣2＝0， 即． 【变式3】解一元二次方程： （1）x2﹣6x+3＝0； （2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9． 【分析】（1）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）先根据完全平方公式进行变形，再方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x+3＝0， 移项，得x2﹣6x＝﹣3， 配方，得x2﹣6x+32＝﹣3+32， （x﹣3）2＝6， 开方，得x﹣3＝±， 解得：x1＝3+，x2＝3﹣； （2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9， （2x﹣1）2＝（x+3）2， 开方得：2x﹣1＝±（x+3）， 2x﹣1＝x+3或2x﹣1＝﹣（x+3）， 解得：x1＝4，x2＝﹣． 1．方程x2﹣8x＝0的解是（　　） A．x1＝0 x2＝8 B．x＝8 C．x＝0 D．无解 【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：分解因式得：x（x﹣8）＝0， x＝0，x﹣8＝0， x1＝0，x2＝8， 故选：A． 2．已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（　　） A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0 C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0 【分析】由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可． 【解答】解：∵方程两根分别为x1＝3，x2＝﹣4， ∴x1+x2＝3﹣4＝﹣1，x1x2＝﹣12， ∴方程为x2+x﹣12＝0． 把方程的右边分解因式得：（x+4）（x﹣3）＝0， 故选：A． 3．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（　　） A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0或3x﹣4＝0 B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0或x﹣1＝1 C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2或x﹣3＝3 D．x（x+2）＝0，∴x+2＝0 【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x+2＝0． 【解答】解：用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对， 第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x+2＝0． 所以第一个正确． 故选：A． 4．关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（　　） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x﹣1）得x＝3 整理得x2﹣4x＝﹣3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝28， ∴x＝＝2±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣ 整理得x2﹣4x＝﹣3， 配方得x2﹣4x+2＝﹣1， ∴（x﹣2）2＝﹣1， ∴x﹣2＝±1， ∴x1＝1，x2＝3 移项得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2＝3 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】分别利用解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以（x﹣1），这样会漏解； 乙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以c的值错误； 丙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一般的平方； 丁利用解一元二次方程﹣因式分解法，计算正确； 故选：D． 5．关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1 【分析】设x2+x＝t，求出t的值，进而可得出结论． 【解答】解：设x2+x＝t，则此方程可化为t2+2t﹣3＝0， ∴（t﹣1）（t+3）＝0， ∴t﹣1＝0或t+3＝0， 解得t1＝1，t2＝﹣3， ∴x2+x的值是1或﹣3． 当x2+x＝﹣3时，x2+x+3＝0， ∵Δ＝1﹣12＝﹣11＜0， ∴此方程无解， ∴x2+x的值是1． 故选：B． 6．对于实数a，b定义运算“※”为a×b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，则关于x的方程x※（x+1）＝5的解是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝﹣4 【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：由题意，可得：x+（x+1）2＝5， 整理得：x2+3x﹣4＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣4． 故选：D． 7．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．﹣11 B．13 C．11或8 D．11和13 【分析】先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4． 因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3， 故周长＝3+6+4＝13． 故选：B． 8．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【分析】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值． 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 9．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣2或1 【分析】将x2﹣x看作一个整体，再用换元法解方程求出x2﹣x的值即可． 【解答】解：设x2﹣x＝y，则原方程可化为：y2﹣4y﹣12＝0， 解得y＝﹣2，y＝6； 当y＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8＜0，原方程没有实数根，故y＝﹣2不合题意，舍去； 当y＝6时，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0，Δ＝1+24＞0，故y的值为6； ∴x2﹣x+1＝y+1＝6+1＝7． 故选：A． 10．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（　　） A． S＝21+4＝25 B． S＝21﹣4＝17 C． S＝21+4＝25 D． S＝21﹣4＝17 【分析】利用配方法把方程变形，结合图形解答． 【解答】解：x2﹣4x﹣21＝0 x2﹣4x+4＝21+4 （x﹣2）2＝25 正方形面积（阴影部分）S＝21+4＝25， 故选：C． 11．如果3x2+6x﹣8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝　﹣7或1　． 【分析】根据题意得到方程3x2+6x﹣8＝2x2﹣1，求出方程的解即可． 【解答】解：根据题意得：3x2+6x﹣8＝2x2﹣1， ∴x2+6x﹣7＝0， 分解因式得：（x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0，x﹣1＝0， 解方程得：x1＝﹣7，x2＝1． 故答案为：﹣7或1． 12．若实数x满足，则＝　3　． 【分析】利用换元法设x+＝t，解t2﹣2t﹣3＝0即可，注意t＞0． 【解答】解；设x+＝t，则（x+）2＝x2++2，x2+＝t2﹣2 原方程变为 t2﹣2t﹣3＝0 解得t1＝3，t2＝﹣1（不合题意舍去） ∴x+＝3． 13．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是　24或8　． 【分析】由x2﹣16x+60＝0，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x＝6时，是等腰三角形；与x＝10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【解答】解：∵x2﹣16x+60＝0， ∴（x﹣6）（x﹣10）＝0， 解得：x1＝6，x2＝10， 当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高， ∴BD＝4，AD＝＝2， ∴S△ABC＝BC•AD＝×8×2＝8； 当x＝10时，如图②，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°， S△ABC＝BC•AC＝×8×6＝24． ∴该三角形的面积是：24或8． 故答案为：24或8． 14．一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　　． 【分析】先解方程得出x1＝6，x2＝3，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可． 【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣6）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝6，x2＝3， ∵菱形一条对角线长为6， ∴菱形的边长为6， ∴菱形的另一条对角线为， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 15．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣3，按照这个规定，方程min{x，x﹣1}＝x2﹣3的解为 　x1＝2，x2＝﹣1　． 【分析】根据题意可得：x﹣1＝x2﹣3从而整理可得：x2﹣x﹣2＝0，然后利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：∵min{x，x﹣1}＝x2﹣3， ∴x﹣1＝x2﹣3， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 16．选择适当方法解下列方程： （1）x2﹣5x+1＝0（用配方法）； （2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）； （3）2x2﹣2x﹣5＝0（公式法）； （4）（y+2）2＝（3y﹣1）2． 【分析】（1）利用配方法得到（x﹣）2＝，然后根据直接开平方法求解； （2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程； （3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解； （4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）x2﹣5x＝﹣1， x2﹣5x+（）2＝﹣1+（）2， （x﹣）2＝， x﹣＝±， 所以x1＝，x2＝； （2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0， （x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0， 所以x1＝2，x2＝3； （3）△＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）＝48 x＝＝＝， 所以x1＝，x2＝； （4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0， （y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）＝0， y+2+3y﹣1＝0或y+2﹣3y+1＝0， 所以y1＝﹣，y2＝． 17．T＝（a+3）2﹣（2+a）（2﹣a） （1）化简T； （2）若a是方程x2+3x﹣4＝0的一个根，求T的值． 【分析】（1）利用乘法公式进行计算即可； （2）把x＝a代入已知方程，得到a2+3a＝4，然后代入化简后的T中求值即可． 【解答】解：（1）T＝（a+3）2﹣（2+a）（2﹣a） ＝a2+6a+9﹣（4﹣a2） ＝a2+6a+9﹣4+a2 ＝2a2+6a+5； （2）∵a是方程x2+3x﹣4＝0的一个根， ∴a2+3a﹣4＝0，即：a2+3a＝4， ∴T＝2a2+6a+5＝2（a2+3a）+5＝2×4+5＝13． 18．已知关于x的方程x2+bx+c＝0可以变形为（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式． 下面通过列表探究x2﹣8x+4＝0的变形： 变形 m n p x（x﹣8）＝﹣4 0 8 ﹣4 （x﹣4）2＝12 4 4 12 （x﹣1）（x﹣t）＝3 1 t 3 （x+1）（x﹣9）＝﹣13 ﹣1 9 ﹣13 （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系； （2）记x2+bx+c＝0的两种变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求的值． 【分析】（1）①把x2﹣8x+4＝0两边加上3，然后把方程左边分解因式，从而得到t的值； ②m与n的和等于一次项系数﹣8的相反数； （2）把（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2化为一般式得到m1n1﹣p1＝m2n2﹣p2，所以p1﹣p2＝m1n1﹣m2n2，从而得到所求代数式的值． 【解答】解：（1）①x2﹣8x+4＝0， x2﹣8x+7＝3， （x﹣1）（t﹣7）＝3， 所以t＝7； ②m+n＝8； （2）∵（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1， ∴x2﹣（m1+n1）x+m1n1＝p1， 即x2﹣（m1+n1）x+m1n1﹣p1＝0， 同理可得x2﹣（m2+n2）x+m2n2﹣p2＝0， ∴c＝m1n1﹣p1＝m2n2﹣p2， ∴p1﹣p2＝m1n1﹣m2n2， ∴＝1． 19．阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0． 解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0． （2）解方程：﹣＝1． （3）若实数x满足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值． 【分析】（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，求得a的值之后，继而可得x2＝1或x2＝9，解之即可； （2）设＝m，则原方程可化为m﹣＝1，即m2﹣m﹣2＝0，求得m的值后，即可得＝﹣1、＝2，解之即可； （3）设x+＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，解之求得y之后，即可得． 【解答】解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0， 即（a﹣1）（a﹣9）＝0， 解得：a＝1或a＝9， 当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3； （2）设＝m，则原方程可化为m﹣＝1，即m2﹣m﹣2＝0， ∴（m+1）（m﹣2）＝0， 解得：m＝﹣1或m＝2， 当m＝﹣1时，＝﹣1，即x2+x+1＝0，由Δ＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解； 当m＝2时，＝2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1或x＝﹣， 经检验x＝1和x＝﹣都是原分式方程的解； （3）设x+＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0， ∴（y+1）（y﹣4）＝0， 解得：y＝﹣1或y＝4， 即x+＝﹣1（方程无解，舍去）或x+＝4， 故x+＝4． 20．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请阅读并解答下列问题： 若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值． 解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100， ∵a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20， ∴（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝202﹣2×100＝200， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【类比应用】 （1）若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　20　； （2）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176，求（2024﹣x）（x﹣2010）的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，则一块三角板的面积为 　22　． 【分析】（1）①利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可； ②令a＝2024﹣x，b＝x﹣2010，从而得到a、b的和，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∵xy＝8，x+y＝6， ∴x2+y2＝62﹣2×8＝20， 故答案为：20． ②令a＝2024﹣x，b＝x﹣2010， ∴a+b＝14， ∵（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176， ∴a2+b2＝176 ∴（a+b）2﹣2ab＝176， ∴， ∴（2024﹣x）（x﹣2010）＝10， （2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为， ∴m+n＝14，，即m2+n2＝108， ∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88， ∴mn＝44， ∴， ∴一块三角板的面积是22． 故答案为：22． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 因式分解法 课程标准 学习目标 ①用因式分解法解一元二次方程 ②整体法（换元法）解方程 1. 掌握因式分解的方法，并能够熟练利用因式分解法来解一元二次方程。 2. 掌握整体法（换元法）并能够熟练用其解方程。 3. 熟练掌握解一元二次方程的所有方法，在解方程时能够选择合适的方法解方程。 知识点01 因式分解解一元二次方程 1. 因式分解解一元二次方程的定义： 解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，在使两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若，则A＝ ，B＝ 。 2. 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 3. 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①移项：将方程的右边化为0； ②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式； ③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程； ④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。 【即学即练1】 1．因式分解：2a2b+6ab2＝　 　． 2．分解因式：9a2﹣16b2＝　 　． 3．分解因式4x2﹣4x+1＝　 　． 4．分解因式：x2+x﹣12＝　 　． 【即学即练2】 5．用因式分解法解下列方程： （1）x2﹣4x＋3＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0． 6．（3x﹣1）2＝（x+1）2． 知识点02 整体法（换元法）解方程 1. 整体法（换元法）解方程： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 例题讲解：【例】解方程． 解：设，则原方程可化为． 解得． 当y=1时，即x-1=1，解得x=2； 当y=4时，即x-1=4，解得x=5． 所以原方程的解为x1=2，x2=5． 【即学即练1】 7．提出问题： 为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y1＝4，y2＝﹣1（不符合要求，舍去）． 当y1＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： 运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0． 题型01 利用因式分解法解一元二次方程 【典例1】一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1 【变式1】一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【变式2】方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 【变式3】解方程 （1）； （2）x（5x+2）＝6（5x+2）． 【变式4】解方程： （1）x2﹣3x+2＝0； （2）x﹣1＝2（x﹣1）2． 题型02 用整体法（换元法）解方程 【典例1】已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A．﹣1或3 B．1或3 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3 【变式1】已知关于x的一元二次方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，则方程a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为（　　） A．﹣2，3 B．﹣1，3 C．﹣3，2 D．﹣1，﹣2 【变式2】若关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x1＝1，x2＝4，则关于y的一元二次方程的解为 　 　． 【变式3】阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．① 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到了降次的目的，体现了 　 　的数学思想． （2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0． 【变式4】阅读下列材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝t，则（x2）2＝t2，原方程化为t2﹣t﹣6＝0①，解①得t1＝﹣2，t2＝3．当t1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当t2＝3时，x2＝3，解得；∴原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． （1）利用换元法解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，新字母设为t，则t＝　 　，原方程化为 　 　，解得t＝　 　． （2）求方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0的解． 题型03 利用整体法（换元法）求式子的值 【典例1】若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则a+b的值是（　　） A．±2 B．±4 C．2 D．4 【变式1】已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则x2+y2＝（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．﹣3或2 【变式2】若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式3x2+6x+2011的值是 　 　． 【变式3】若实数x满足2（x2﹣x）2﹣x2+x﹣6＝0 则x2﹣x+1＝　 　． 【变式4】若（a+b）2﹣4a﹣4b+4＝0，则a+b+4＝　 　． 题型04 解含有绝对值的方程 【典例1】阅读下面的材料，解答问题． 材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x3＝﹣5，x4＝2（舍去）． 综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5． 请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0． 【变式1】阅读下面的例题与解答过程： 解方程：x2﹣|x|﹣2＝0． 解：当x≥0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去）； 当x＜0时，x2+x﹣2＝0，解得x3＝﹣2，x4＝1（舍去）． ∴原方程的解是x1＝2，x2＝﹣2． 在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论思想． 请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程： （1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0． 题型05 用合适的方法解一元二次方程 【典例1】用适当的方法解方程： （1）2（x﹣1）2﹣8＝0； （2）x2﹣3x+2＝0． 【变式1】解方程： （1）（2x+3）2﹣25＝0； （2）3x2﹣4x+2＝0． 【变式2】解下列一元二次方程： （1）x2﹣6x﹣1＝0； （2）3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2）． 【变式3】解一元二次方程： （1）x2﹣6x+3＝0； （2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9． 1．方程x2﹣8x＝0的解是（　　） A．x1＝0 x2＝8 B．x＝8 C．x＝0 D．无解 2．已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（　　） A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0 C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0 3．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（　　） A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0或3x﹣4＝0 B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0或x﹣1＝1 C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2或x﹣3＝3 D．x（x+2）＝0，∴x+2＝0 4．关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（　　） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以（x﹣1）得x＝3 整理得x2﹣4x＝﹣3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝28， ∴x＝＝2±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣ 整理得x2﹣4x＝﹣3， 配方得x2﹣4x+2＝﹣1， ∴（x﹣2）2＝﹣1， ∴x﹣2＝±1， ∴x1＝1，x2＝3 移项得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2＝3 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1 6．对于实数a，b定义运算“※”为a×b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，则关于x的方程x※（x+1）＝5的解是（　　） A．x＝﹣4 B．x＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝﹣4 7．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．﹣11 B．13 C．11或8 D．11和13 8．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 9．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣2或1 10．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（　　） A． S＝21+4＝25 B． S＝21﹣4＝17 C． S＝21+4＝25 D． S＝21﹣4＝17 11．如果3x2+6x﹣8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝ 　． 12．若实数x满足，则＝　 　． 13．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是　 　． 14．一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　 　． 15．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣3，按照这个规定，方程min{x，x﹣1}＝x2﹣3的解为 　 　． 16．选择适当方法解下列方程： （1）x2﹣5x+1＝0（用配方法）； （2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）； （3）2x2﹣2x﹣5＝0（公式法）； （4）（y+2）2＝（3y﹣1）2． 17．T＝（a+3）2﹣（2+a）（2﹣a） （1）化简T； （2）若a是方程x2+3x﹣4＝0的一个根，求T的值． 18．已知关于x的方程x2+bx+c＝0可以变形为（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式． 下面通过列表探究x2﹣8x+4＝0的变形： 变形 m n p x（x﹣8）＝﹣4 0 8 ﹣4 （x﹣4）2＝12 4 4 12 （x﹣1）（x﹣t）＝3 1 t 3 （x+1）（x﹣9）＝﹣13 ﹣1 9 ﹣13 （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系； （2）记x2+bx+c＝0的两种变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求的值． 19．阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：x2﹣3|x|+2＝0． 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0． 解得：y1＝1，y2＝2． 当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2． ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4﹣10x2+9＝0． （2）解方程：﹣＝1． （3）若实数x满足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值． 20．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请阅读并解答下列问题： 若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值． 解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100， ∵a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20， ∴（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝202﹣2×100＝200， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【类比应用】 （1）若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　20　； （2）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176，求（2024﹣x）（x﹣2010）的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，则一块三角板的面积为 　22　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$