第二十一章 一元二次方程单元测试-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

试卷01 一元二次方程单元测试 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：．方程是一元二次方程，该选项符合题意； ．方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； ．方程含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； ．方程含有个未知数，且未知数的最高次数是，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：A． 2．下列一元二次方程的根是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】A．中，，不符合题意； B．中，，不符合题意； C．中，，不符合题意； D．中，，符合题意． 故选：D． 3．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：∵关于x的方程有实数根， 当时，即：时，方程为：，有实数根； 当时，， 解得：且， 综上所述：， 故选：B． 4．某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：根据题意，得. 故选：B． 5．用配方法解方程，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：， ∴， 即． 故选：A． 6．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是（    ） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是 【答案】D． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∴， 所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形，且边长a所对的角是． 故选：D． 7．已知方程的解是，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B． 【解析】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，； 故选：B． 8．已知一元二次方程可配成，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D． 【解析】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 9．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（    ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B． 【解析】解：由题意，方程可表示为，展开得：， 则，，， 解得，，， ∴， ∵， ∴当时，代数式取得最小值2020， 故选：B． 10．关于x的一元二次方程的两个根为，，且． 下列说法正确的是（    ） ①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，． A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①③④ 【答案】B． 【解析】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 综上所述，正确的有①②④ 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．若关于x的方程有一个根为，则另一个根为 ． 【答案】5． 【解析】解：设另一个根为m， ∵关于x的方程的一个根是， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∴， ∴另一个根为5， 故答案为：5． 12．一元二次方程的一般形式为 （二次项的系数为正数）． 【答案】． 【解析】解：去括号得：， ∴， 故答案为：． 13．如图，将一个容积为的包装盒剪开铺平．依题意，可列一元二次方程为 ． 【答案】． 【解析】解：由图及题意可得长方体包装盒的长为15cm，宽为xcm，高为， ∴可列一元二次方程为 故答案为：． 14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ∴且； 故答案为：且． 15．已知，是矩形的对角线，，，若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为 ． 【答案】． 【解析】解：∵，是矩形的对角线， ∴， ∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 故答案为： 16．若关于x的方程（其中h、k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 【答案】，． 【解析】解：令，则方程化为， ∵方程的解是，， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 17．若多项式，那么P的最小值是 ． 【答案】2002． 【解析】解： ， 当且时，P的最小值，最小值为2002， 故答案为：2002． 18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若关于x的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④． 【解析】解：∵， ， 解得：，， ∴方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得：， ∵是倍根方程， ∴或即或 ∴， 故②不正确； ③∵， 解方程得： ∴， ∴， 故③正确； ④设方程的根为，， ，， ∵关于x的方程是倍根方程， ∴令， ，， ，， ∴；故④正确． 故答案为：①③④． 三．解答题（19题8分，20题10分，共18分） 19．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【解析】（1）解： 或 ，； （2）解：∵方程，其中，，． ∴ ∴， ∴，． 20．解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），；（2），． 【解析】（1）解：， ， ， ， ∴， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 四．解答题（每小题12分，共60分） 21．已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）此方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）k的值为1或． 【解析】（1）证明：当时，方程为，方程有实数根． 当时，方程为一元二次方程，， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论k为任何实数，方程总有实数根． （2）解：∵方程的两个实数根为、， ∴，， ∴解方程得：， 解得：或． ∵此方程的两个实数根为、，且， ∴， ∴或， ∴或， 经检验均符合． ∴k的值为1或． 22．如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个1m宽的门． （1）所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？ （2）为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用． 【答案】（1）所围成矩形猪舍的长、宽分别是10m，8m时，猪舍面积为；（2）矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元．． 【解析】（1）解：设所围成矩形猪舍平行于墙的一边长为xm，则垂直于墙的一边长为， 依题意得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 答：所围成矩形猪舍的长、宽分别是10m，8m时，猪舍面积为； （2）解：∵以房墙的长12m为矩形猪舍一边的长， ∴矩形的另一边长为 ∴（元）． 答：矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元． 23．为解方程，我们可以将看成一个整体，然后设，则原方程可化为①， 解得，．当时，． ∴，∴， 当时，， ∴，∴， ∴原方程的根为，，， （1）在由原方程得到方程①的解题过程中，利用______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想． （2）请利用以上方法解方程： ①； ②． 【答案】（1）换元；（2）①，；②，，，． 【解析】（1）解：在由原方程得到方程①的解题过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想， 故答案为：换元； （2）①， 设，则原方程可化为， 解得：，， 当时，， ∴， 当时，（无意义，舍去）； ∴原方程的解为，； ②， 设， 则原方程可化为：， 解得：，， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴原方程的根为，，，． 24．如图，菱形中，，交于点O，，，动点M 从A点出发沿方向以匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿方向以匀速直线运动到D点．若M，N 同时出发，设运动时间为t秒：    （1）当时，___________，___________．（用t表示） （2）当秒时，的面积为多少？ （3）点M到达点C后立即原路返回，速度保持不变，直到点N到达D后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）或或． 【解析】（1）∵四边形时菱形， ∴，，， 根据题意可知，， 当时， 点M在上，点N在上， ∴，． 故答案为：，； （2）当时，，， ∴，， ∴； （3）存在，理由如下： 当时， 根据题意得，， ∴，， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得，， ∴，， ∴， 无解； 当时， 根据题意得，， ∴，， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得，， ∴，， ∴， 解得或（舍）． 所以或或． 25．我们知道：关于x的一元二次方程（，a，b，c均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（m为整数），则n是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，a，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，p，q，r均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． （1）关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是__________________； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为_________． （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】（1）①；②或3；（2），幸运数”是；（3）或． 【解析】（1）解：①当时，代入得，， ∴，即， 故答案为：； ②依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或3； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或49或64， 解得或9或， ∵m为整数， ∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程” ∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为p，q， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵p，q为整数，， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 综上所述，m的值为5或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时， ∴ 方程的“幸运数”为 ∵与互为“开心数”， ∴，即 当时，方程为： 解得：或（舍去，不是整数） 当时，方程为： 解得： 综上所述，或． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷01 一元二次方程单元测试 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程的根是的是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 4．某校截止2023年底，校园绿化面积为1000平方米，为美化环境，该校计划2025年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是（    ） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是 7．已知方程的解是，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知一元二次方程可配成，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 9．若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（    ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 10．关于x的一元二次方程的两个根为，，且． 下列说法正确的是（    ） ①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，． A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①③④ 二、填空题（每小题4分，共32分） 11．若关于x的方程有一个根为，则另一个根为 ． 12．一元二次方程的一般形式为 （二次项的系数为正数）． 13．如图，将一个容积为的包装盒剪开铺平．依题意，可列一元二次方程为 ． 14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 15．已知，是矩形的对角线，，，若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为 ． 16．若关于x的方程（其中h、k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 17．若多项式，那么P的最小值是 ． 18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若关于x的一元二次方程是倍根方程，则必有． 三．解答题（19题8分，20题10分，共18分） 19．解方程： （1）； （2）． 20．解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 四．解答题（每小题12分，共60分） 21．已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）此方程的两个实数根为，，且，求k的值． 22．如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个1m宽的门． （1）所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？ （2）为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用． 23．为解方程，我们可以将看成一个整体，然后设，则原方程可化为①， 解得，．当时，． ∴，∴， 当时，， ∴，∴， ∴原方程的根为，，， （1）在由原方程得到方程①的解题过程中，利用______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想． （2）请利用以上方法解方程： ①； ②． 24．如图，菱形中，，交于点O，，，动点M 从A点出发沿方向以匀速直线运动到C点，动点N从B点出发沿方向以匀速直线运动到D点．若M，N 同时出发，设运动时间为t秒：    （1）当时，___________，___________．（用t表示） （2）当秒时，的面积为多少？ （3）点M到达点C后立即原路返回，速度保持不变，直到点N到达D后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 25．我们知道：关于x的一元二次方程（，a，b，c均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（m为整数），则n是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，a，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，p，q，r均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． （1）关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是__________________； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为_________． （2）若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； （3）若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$