4.3.2 等比数列的前n项和公式学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和公式 一、学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 二、重难点 重点：等比数列的前n项和公式. 难点：等比数列的前n项和公式及应用. 三、自主预习 1.等比数列的前n项和公式： 或 .当时, 2.推导公式的方法是___________ 四、应用举例 例1 已知数列是等比数列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求n. 解：（1）因为，，所以. （2）由，，可得，即. 又由，得，所以. （3）把，，代入，得. 整理，得.解得. 例2 已知等比数列的首项为-1，前n项和为.若，求公比q. 解：若，则，所以. 当时，由，得. 整理，得，即.所以. 例3 已知等比数列的公比，前n项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比. 证明：当时，，，， 所以，，成等比数列，公比为1. 当时，， ， . 所以. 因为为常数，所以，，成等比数列，公比为. 例4 如图，正方形ABCD的边长为5 cm.取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 解：设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，则. 由于第个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点， 所以. 因此是以25为首项，为公比的等比数列. 设的前n项和为. （1）. 所以前10个正方形的面积之和为. （2）当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和， 而， 随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50. 所以所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 例5 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，， . 当时，.所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 例6 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…. （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中k，r为常数； （3）求的值（精确到1）. 解：（1）由题意，得，并且.① （2）将化成.② 比较①②的系数，可得.解方程组得. 所以（1）中的递推公式可以化为. （3）由（2）可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则. 所以. 5、 课堂练习 （一）课本练习 1.已知数列是等比数列. （1）若，，，求； （2）若，，，求； （3）若，，求与. 2.已知，且.对于，证明：. 3.设等比数列的前n项和为，已知，.求和. 4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64.求这个等比数列的首项和公比. 5.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 6.一个乒乓球从高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. （1）当它第6次着地时，经过的总路程是多少（精确到）？ （2）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到？ 7.某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到.每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产.这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？ 8.已知数列的前n项和为，若，求. （二）课本习题 1.已知数列是等比数列. （1）若，，求q与； （2）若，，求. 2.求和： （1）； （2）. 3.已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列.求证：，，成等差数列. 4.求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式： 1，11，111，1111，11111，…. 5.若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和. 6.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要几轮传染？需要多少天？(初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……) 7.已知数列为等比数列，，公比.若是数列的前n项积，求的最大值. 六、课后练习 1.已知正项等比数列中，，其前n项和为，且，则( ) A.31 B.32 C.63 D.64 2.设正项等比数列的前n项和为.若，则数列的公比是( ) A.2 B.或2 C. D.或 3.已知数列满足，，则数列的前n项和( ) A. B. C. D. 4.某公司为庆祝公司成立九周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“九年耕枟，硕果累累”8个字.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米高度至少要经过( ) A.3分钟 B.4分钟 C.5分钟 D.6分钟 5.已知数列满足且，则数列的前5项和为( ) A. B. C.91 D.151 6.在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，设数列的前n项和为，则( ) A. B. C. D. 7.（多选）设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则( ) A. B. C.为常数 D.为等比数列 8.（多选）设为数列的前n项和，已知，，，则( ) A.是等比数列 B. C. D. 9.已知等比数列的前n项和为，若，，则__________. 10.给出定义：使数列的前k项和为正整数的称为“好数”.已知数列满足，则在内的所有“好数”的和为__________. 11.已知数列满足且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 12.设数列的前n项和为，且满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）数列满足，且. （i）求数列的通项公式； （ii）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 答案及解析 3、 自主预习 1. 2.错位相减法 五、课堂练习 （一）课本练习 1.答案：（1）189 （2） （3），或， 解析：（1）因为，，， 可得. （2）因为，，且， 所以. （3）设等比数列的公比为q，因为，， 当时，可得，此时，满足题意； 当时，可得，解得，. 2.答案：证明见解析 解析：证明：记， 因为，且，所以两边同乘以，得： ， 所以， 所以. 所以，即证. 3.答案：当，时，，； 当，时，， 解析：设的公比为q，由题设得， 解得或， 当，时，，； 当，时，，. 4.答案：见解析 解析：设这三个数分别为x，y，z，则满足 由题意可得，， 联立方程组，可得，，或，，， 当这三个数为，，，可得这个等比数列的首项为2，公比为2； 当这三个数为，，，可得这个等比数列的首项为8，公比为. 5.答案： 解析：依题意设数列的首项为，公比为， 则，， 所以，即，所以， 解得，即，所求. 6.答案：（1） （2）第8次 解析：（1）由题可知，每次落地的高度形成以1为首项，0.61为公比的等比数列， 则当它第6次着地时，经过的总路程为 ， 所以当它第6次着地时，经过的总路程是； （2）由题意得， 整理得，所以， 则至少在第8次着地后，它经过的总路程能达到. 7.答案：424万元 解析：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金，则： 第一年剩余资金为：， 第二年剩余资金为：， …… 以此类推，第五年剩余资金为：， 由题意知，， 即，解得：， 故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金. 8.答案： 解析：当时：， 当时：①， ②， ：. 所以数列为以为首项，2为公比等比数列. 所以. （二）课本习题 1、（1）答案：， 解析：由，解得. . （2）答案： 解析：由题意知或 当，时，； 当，，. 2、（1）答案： 解析： . （2）答案： 解析：设，① 则.② ①-②，得. 当时，； 当时，.即. 3.答案：见解析 解析：证明：当时，，，不成等差数列，不合题意舍去. 当时，，，成等差数列，， ， ，，两边同乘，， ，，，成等差数列. 4.答案：见解析 解析：(方法一)， . (方法二).以下同方法一. 5.答案：， 解析：令，，， ，为等比数列，首项，公比为2， ，， . 6.答案：见解析 解析：由于一轮传染中，1人平㘬传染人，那么由1个初始感染者经过一轮传染后有人被传染，经过两轮传染后有人被传染，经过三轮传染后有人被传染，……经过n轮传染后有人被传染. 由，，得， ，. 又，故当，即大约需5轮传染可使感染者增加到1000人. 需要(天). 7.答案： 解析：， ， 当或11时最大，最大值为. 六、课后练习 1.答案：C 解析：设正项等比数列的公比为，由题意可得，即，解得或（舍去），则.故选C. 2.答案：A 解析：设等比数列的公比为q.因为，所以，所以，所以.又因为，所以，解得或（舍），故选A. 3.答案：C 解析：因为， 所以，则，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，故选C. 4.答案：B 解析：设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意可得（，），.所以前n分钟热气球上升的总高度，因为，所以数列为单调递增数列，又，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米高度，故选B. 5.答案：B 解析：数列满足，且，数列是首项为，公比为3的等比数列，，数列的前5项和为 .故选B. 6.答案：C 解析：设等差数列的公差为，由，，成等比数列，得，即，解得或（舍去），所以，从而.故，，两式相减，得，所以，所以. 7.答案：ACD 解析：设公比为q，， 则，解得， 故， 则，. 对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，为常数，故C正确； 对D，，， 故为等比数列，故D正确； 故选：ACD 8.答案：BD 解析：令，得，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以D正确.，所以B正确.由，，可得，所以不是等比数列，所以A错误.，所以C错误. 9.答案：3 解析：由数列为等比数列，设其公比为q，又，则，解得，所以，则，所以，，所以，，所以. 10.答案：2026 解析：设数列的前n项和为，则，所以.因为，所以一定成立.要使为正整数，需为正整数，令，，则，因为，所以，因为为增函数，且，，…，，，所以，，所以内的所有“好数”的和为. 11.答案：（1） （2） 解析：（1）当n为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列， ，所以，n为奇数； 当n为偶数时，由，知数列是公比为2的等比数列， ，所以，n为偶数， 所以 （2）记， ， ， 两式相减，得 ， 所以. 12.答案：（1）证明见解析 （2）（i） （ii） 解析：（1）证明：因为， 所以当时，，解得. 当时，，则， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列. （2）（i）因为数列满足，且， 所以，则时， . 当时，也符合上式，所以. （ii）因为不等式对恒成立，则， 令， 则，所以， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$