4.2.1 等差数列的概念学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 一、学习目标 1.等差数列的概念、通项公式及其应用； 2.等差数列与一次函数的关系； 3.等差数列项与项之间的关系. 二、重难点 重点：用实例归纳等差数列定义及通项公式，用累加法进行证明. 难点 ：等差规律的符号化表达，等差数列通项公式的推导. 三、自主预习 1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 都等于同一个 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示. 2.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 叫做a与b的等差中项. 根据等差数列定义知道， . 3.等差数列的通项公式：设一个等差数列的首项为，公差为d，则通项公式为 . 四、应用举例 例1 已知等差数列的通项公式为，求等差数列的首项和公差. 分析1：有了通项公式，只要将代入，就能求得；由通项公式写出的表达式，由可求得公差. 解1：把代入通项公式，得. 当时，. 于是. 所以，数列的首项为3，公差为－2. 分析2：由于已知数列为等差数列，所以每一项与它前一项的差都等于公差，已求出首项，只需再求出，即为公差. 解2：把代入通项公式，得. 于是. 分析3：由于等差数列通项公式是关于的一次函数，即.一次项系数记为公差，可以直接从通项公式看出公差的值. 解3：因为，所以公差. 例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？ 分析：只要知道首项和公差，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差可以由任意一项和它前一项的差求得.求得通项公式以后，它是一个关于的方程，判断－289是否是数列中的项，只需要看－289是否能使得该方程有正整数解即可． 解：由已知条件，得. 把，代入，得 . 所以. 令，得. 所以－289是该数列中的第100项. 五、课堂练习 （一）课本练习 1.判断下列数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差. （1）95，82，69，56，43，30； （2）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111； （3）1，，3，，5，； （4）1，，，，，，. 2.求下列各组数的等差中项： （1）647和895； （2）和. 3.已知是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数. d 8 2 4.已知在等差数列中，，.求. 5.在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 6.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位.你能用表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？ 7.画出数列的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率. 8.在等差数列中，，，且，求. 9.已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足. （1）数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式. 10.已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d. （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）依次取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ （二）课本习题 1.已知为等差数列，，.求. 2.1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份. 3.已知等差数列的公差为d，求证.你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？ 4.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列. （1）写出数列的一个递推公式； （2）根据(1)中的递推公式，写出数列的一个通项公式. 六、课后练习 1.下列数列中，不是等差数列的是( ) A.1，4，7，10 B.，，， C.，，， D.10，8，6，4，2 2.“”是“数列为等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.等差数列中，，，则( ) A. B. C. D. 4.已知等差数列的前三项分别为，，，则该数列的通项公式为( ) A. B. C. D. 5.在数列中，若，则数列的通项公式为( ) A. B. C. D. 6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则( ) A.17 B.37 C.107 D.128 7.已知等差数列是递增数列，若，，则( ) A.2024 B.2023 C.4048 D.4046 8.若不全相等的非零实数a，b，c成等差数列且公差为d，那么，，( ) A.可能是等差数列 B.一定不是等差数列 C.一定是等差数列，且公差为 D.一定是等差数列，且公差为d 9.等差数列中，，公差为，，，则公差d的值为( ) A.1 B.0 C. D. 10.写出一个同时具有下列性质①②的等差数列的通项公式：__________. ①（，）； ②是递增数列. 11.已知数列满足，，. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 12.已知正项数列满足，，且. （1）求数列的通项公式； （2）求满足不等式的正整数n的最小值. 答案及解析 三、自主预习 1.差 常数 d 2.A 3. 五、课堂练习 （一）课本练习 1.答案：（1）是等差数列，公差为 （2）不是等差数列 （3）不是等差数列 （4）是等差数列，公差为 解析：（1）由， 即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数， 所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为； （2）通过观察可知，，，… 该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数， 所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列； （3）通过观察可知，，，… 该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数， 所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列； （4）由， 即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数， 所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为. 2.答案：（1）771 （2） 解析：（1）设647和895的等差中项为a，则， 故647和895的等差中项为771； （2）设和的等差中项为b，则， 故和的等差中项为. 3.答案：见解析 解析：对第一行：由题意得，，，， 利用等差数列性质知，解得：； 又，解得：， 对第二行：由题意得，，，，，， 故可填写表格如下： d 8 15 2 4.答案：6 解析：设等差数列的公差为d，则在等差数列中， ，， ， . 5.答案：10.5，14，17.5 解析：在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列， ，解得， ， ， ， 插入的这3个数为10.5，14，17.5. 6.答案：，第10排的座位数33个 解析：由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项，， 则， . 综上可知，，第10排的座位数个. 7.答案： 解析：由题知，数列是一个等差数列， 其首项为18，公差为，则，可得图象如下： 因此，通过图象上所有点的直线的斜率为. 8.答案： 解析：设等差数列的公差为d， 则， 所以. 9.答案：（1）数列是等差数列，证明见解析 （2） 解析：（1）数列是等差数列， 证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 又因为， 故 ， 而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列， 而，， 所以. 10.答案：（1）这个新数列是等差数列，首项为，公差为d （2）这个新数列是等差数列，首项为，公差为2d （2）这个新数列是等差数列，猜想见解析 解析：（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉， 其余各项组成一个新的数列为：，，，…， 这个新数列是等差数列，首项为，公差为d. （2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项， 组成一个新的数列为：，，，…，，…， 这个新数列是等差数列，首项为，公差为2d. （3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项， 组成一个新的数列为：，，，…，，…， 这个新数列是等差数列，首项为，公差为. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. （二）课本习题 1.答案：1 解析：由题意，知，， ，， ，. 2.答案：列表略，本世纪回归的年份为2062年 解析：根据历史记载，哈雷彗星在1607年以后的回归时间依次为1682年，1759年，1835年，1910年，1986年.列表略.预测它在本世纪回归的年份为2062年. 3.答案：见解析 解析：等差数列的通项公式. 数列的图像是直线上的一系列孤立的点，且直线的斜率为d， 又直线的斜率公式，. 4.（1）答案： 解析：由题意，知数列：1，3，6，…，. （2）答案： 解析：，，，，， …， ， 以上个式子相加，，.又也符合上式，. 六、课后练习 1.答案：C 解析： A 是 （常数），所以是等差数列. B 是 （常数），所以是等差数列. C 不是 ，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. D 是 （常数），所以是等差数列. 2.答案：B 解析：如果数列是等差数列， 根据等差中项的定义可得， 反之成立， 不一定得到数列是等差数列. 故选B. 3.答案：A 解析：设等差数列的公差为d，依题意得解得所以. 4.答案：C 解析：设该等差数列的公差为d.因为等差数列的前三项分别为，，，所以，解得，所以，，所以.故选C. 5.答案：A 解析：因为，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.故选A. 6.答案：C 解析：因为能被3除余2且被7除余2，所以既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且，所以，即，所以.故选C. 7.答案：C 解析：设等差数列的公差为. 方法一：因为，，所以所以所以. 方法二：由，得，即，所以，所以. 8.答案：B 解析：若，，是等差数列，则，因为a，b，c成等差数列，所以，则，整理化简得，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，所以，，一定不是等差数列.故选B. 9.答案：A 解析：，，又，，即，解得，由于，所以，故选A. 10.答案：2n（答案不唯一） 解析：设数列的公差为d，则由性质①可得，整理得，所以，再根据②可知，显然满足题意.取，则（【另解】注意到，不妨令，满足题意）.（注：满足题意的答案均可.） 11.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）将两边取倒数， 得，即， 即，故数列是等差数列. （2）由（1）知数列是等差数列，且公差为2，首项， 所以， 即数列的通项公式为. 12.答案：（1） （2）5 解析：（1）由已知得，， 所以数列是等差数列，设其公差为d. 由，得. 所以，即，所以. （2）由，得，所以原不等式可化为， 不等式的两边同时平方可得，即， 所以，整理得，解得或. 因为，所以n的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$