3.3.1 抛物线及其标准方程学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学学案聚焦抛物线的定义、标准方程及应用这一核心知识点，通过自主预习中的定义填空与标准方程表格，衔接椭圆、双曲线的定义学习，以类比支架构建圆锥曲线知识脉络，帮助学生初步理解定义与方程形式。 资料特色在于注重实际应用与分层练习，应用举例结合卫星接收天线、拱桥等现实情境，引导学生用数学眼光抽象模型。练习从基础填空到综合问题，培养推理与运算能力，答案解析规范过程，强化数学语言表达，有效提升数形结合思想与应用意识。

3.3.1 抛物线及其标准方程 一、学习目标 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合思想. 二、重难点 重点：抛物线的定义、标准方程. 难点：抛物线标准方程的推导. 三、自主预习 1.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条 l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 . 2.抛物线的标准方程： 图形 标准方程 交点坐标 准线方程 4、 应用举例 例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知拋物线的焦点是，求它的标准方程. 解：（1）因为，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是. （2）因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，所以抛物线的标准方程是 例2 一种卫星接收天线如左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（1）.已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标. 解：如图（2），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即拋物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上. 设抛物线的标准方程是. 由已知条件得，点的坐标是， 代入方程，得，即. 所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是. 五、课堂练习 （一）课本练习 1.根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是； （3）焦点到准线的距离是2. 2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 3.填空. （1）抛物线上一点M与焦点间的距离是，则点M到准线的距离是___________，点的横坐标是___________； （2）抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是___________. （二）课本习题 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）； （2）. （3）. （4）. 2.填空题. （1）准线方程为的抛物线的标准方程是________； （2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是________. 3.如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7 m，高为0.7 m.根据图中的坐标系求这条抛物线的方程. 4.图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水下降1 m后，水面宽多少？(精确到0.1 m) 六、课后练习 1.已知F是抛物线的焦点，P为抛物线C上一点.若，则点P的横坐标为( ) A.12 B.16 C.18 D.19 2.若点P与点之间的距离比点P到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 3.已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若，则( ) A. B. C.2 D.4 4.点P在抛物线上，则点P到直线的距离与到直线的距离之和的最小值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.已知抛物线的焦点为F，，点Q在抛物线C上，且，则( ) A.4 B.5 C.8 D.9 6.（多选）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有( ) A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的渐近线方程为 C. D.点P到抛物线的焦点的距离为4 7.（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有( ) A.抛物线的准线方程为 B.若，则线段AB的中点到x轴的距离为3 C.以线段AF为直径的圆与x轴相切 D.以线段AB为直径的圆与准线相切 8.设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，若，O为坐标原点，则__________. 9.分别根据下列条件，求抛物线的标准方程. (1)准线方程是； (2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点； (3)抛物线的焦点F在x轴上，直线与抛物线交于点A，. 答案及解析 三、自主预习 1.定直线 准线 2. 五、课堂练习 （一）课本练习 1.答案：（1） （2） （3）或 解析：（1）由题意可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为， 则，可得，所以，抛物线的标准方程为； （2）由题意可知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为， 则，可得，因此，抛物线的标准方程为； （3）抛物线的焦点到准线的距离为， 所以，抛物线的标准方程为或. 2.答案：（1）焦点坐标为，准线方程为 （2）焦点坐标为，准线方程为 （3）焦点坐标为，准线方程为 （4）焦点坐标为，准线方程为 解析：（1）， ，即， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为. （2）， ，即， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为. （3）， ， ，即， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为. （4）， ， ，即， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 3.答案：（1）a； （2）或 解析：（1）由已知结合抛物线定义得点M到准线的距离是a； 抛物线的准线方程为， 设M的横坐标，于是有，即， 所以点M到准线的距离是a；点M的横坐标是； （2）抛物线的准线，设所求点坐标为， 由（1）知，此时，即， 所以所求点坐标或. 故答案为：（1）a；；（2）或. （二）课本习题 1.（1）答案：焦点坐标为，准线方程为. （2）答案：焦点坐标为，准线方程为. （3）答案：焦点坐标为，准线方程为. （4）答案：焦点坐标为，准线方程为. 2.（1）答案： （2）答案： 3.答案： 解析：设所求抛物线的方程为， 依题意，知点在抛物线上， 代入方程，得， 解得， 所求抛物线的方程为. 4.答案：4.9 m 解析：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设该抛物线的方程为. 拱顶离水面2 m，水面宽4 m，点在抛物线上， ，解得， 拋物线的方程为. 当水面下降1 m时，，代入，得， 即.故这时水面宽为4.9 m. 六、课后 1.答案：C 解析：由抛物线，可得，所以准线方程为.如图所示，设点，其中，过点P作，垂足为A，由抛物线的定义得，所以，解得，即点P的横坐标为18.故选C. 2.答案：D 解析：由题意得，点P与点之间的距离等于点P到直线的距离，所以点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，解得，所以点P的轨迹方程是.故选D. 3.答案：C 解析：如图，，过点M作准线的垂线MK，垂足为K，则，又，所以，则，即直线FA的斜率是，解得.故选C. 4.答案：B 解析：由抛物线定义知，点P到直线的距离等于点P到抛物线焦点的距离，所以点P到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，即为焦点到直线的距离，即为.故选B. 5.答案：B 解析：由题意得，设，因为，所以，则，所以，即，所以，所以，所以，故选B. 6.答案：ACD 解析：双曲线的离心率，故A正确；双曲线的渐近线方程为，故B错误； 由，有相同的焦点，得，解得，故C正确； 抛物线的焦点为，点在上，则，故或，所以点P到的焦点的距离为4，故D正确.故选ACD. 7.答案：BC 解析：对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误；对于B，设点，，由抛物线的定义可得，解得， 所以线段AB的中点到x轴的距离为，故B正确； 对于C，，AF的中点坐标为，所以AF的中点到x轴的距离为，所以以线段AF为直径的圆与x轴相切，故C正确； 对于D，因为点A，B没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，所以以线段AB为直径的圆与准线不一定相切，故D错误.故选BC. 8.答案：14 解析：设，，， 易知，， 则，，. 因为，所以，即. 由抛物线的定义可得，，，所以. 9.答案：(1) (2) (3)或 解析：(1)准线方程可化为，所以抛物线的焦点在y轴上，开口向上，设抛物线的标准方程为，则，所以，所以抛物线的标准方程是. (2)双曲线的标准方程为，左顶点为， 所以抛物线的焦点为，所以抛物线的开口向左， 设抛物线的标准方程为，则，所以， 所以抛物线的标准方程是. (3)若抛物线的开口向右，设抛物线的标准方程为， 当时，，则，即， 解得或， 所以抛物线的标准方程为或. 若抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为， 当时，，则，解得或， 所以抛物线的标准方程为或. 综上可知，抛物线的标准方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$