2025年中考数学二轮专项复习 二次函数与其他函数综合试题

二次函数与其他函数的综合测试题 1、 选择题：（每小题3分，共45分） 1．已知h关于t的函数关系式为，（g为正常数，t为时间），则函数图象为（ ） （A） （B） （C） （D） 2．在地表以下不太深的地方，温度y（℃）与所处的深度x（km）之间的关系可以近似用关系式y＝35x＋20表示，这个关系式符合的数学模型是（ ） （A）正比例函数 （B）反比例函数． （C）二次函数 　　　（D）一次函数 3．若正比例函数y＝（1－2m）x的图像经过点A（，）和点B（，），当＜时＞，则m的取值范围是（ ） （A）m＜0 （B）m＞0 （C）m＜ （D）m＞ 4．函数y = kx + 1与函数在同一坐标系中的大致图象是（　　　） 　　　（A）　　　　　　　（B）　　　　　　（C）　　　　　　（D） 5．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数y＝ax＋c的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 6．抛物线的顶点坐标是（　　） A．（1，1）B．（1，－1）C．（－1，1）D．（－1，－1） 7．函数y=ax+b与y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列选项中正确的是（　　） A． ab>0， c>0 B． ab<0， c>0 C． ab>0， c<0 D． ab<0， c<0 8．已知a，b，c均为正数，且k=，在下列四个点中，正比例函数 的图像一定经过的点的坐标是（ ） A．（l，） B．（l，2） C．（l，－） D．（1，－1） 9．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F．设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为……………（ 　 ） 10．如图4，函数图象①、②、③的表达式应为（　　） （A），， （B）， ， （C），， （D），， 11．张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（ ） 12．二次函数y=x2-2x+2有 （ ） A． 最大值是1 B．最大值是2 C．最小值是1 D．最小值是2 13．设A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，若x1<x2<0，则y1与y2之间的关系是（ ） A． y2< y1<0 B． y1< y2<0 C． y2> y1>0 D． y1> y2>0 14．若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是 ( ) A． 9 B． 3 C．-9 D． 0 ( x 第3题图 y P D O )15．二次函数的图象与轴交点的个数是（　） A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．不能确定 2、 填空题：（每小题3分，共30分） 1．完成下列配方过程： ＝ ＝； 2．写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：_________． 3．如图，点P是反比例函数上的一点，PD⊥轴于点D，则△POD的面积为 ； 4、已知实数m满足，当m=___________时，函数的图象与x轴无交点． 5．二次函数有最小值，则m＝_________； 6．抛物线向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为___________； 7．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价__________； 8．某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为A（0，2），铅球路线最高处为B（6，5），则该学生将铅球推出的距离是________； 9．二次函数的图像与x轴交点横坐标为－2，b，图像与y轴交点到圆点距离为3，则该二次函数的解析式为___________； 10．如图，直线与双曲线在第一象限内的交点R，与x轴、y轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于 ． 3、 解答题：（1－3题，每题7分，计21分；4－6题每题8分，计24分；本题共45分） 1已知二次函数的图像经过A（0，1），B（2，－1）两点． （1）求b和c的值； （2）试判断点P（－1，2）是否在此函数图像上？ 2．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P(4，n)． （1）求n的值．（2）求一次函数的解析式． 3．看图，解答下列问题． 　　（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式； 　　 （2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴； 　 （3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象． 4．已知函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2） （1） 求这个函数的解析式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围． 5．某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示： 每件销售价（元） 50 60 70 75 80 85 … 每天售出件数 300 240 180 150 120 90 … 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律． （1）观察这些统计数据，找出每天售出件数与每件售价（元）之间的函数关系，并写出该函数关系式． （2）门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元． 求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大（纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计） 6．如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状． （1） （2） （1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；  （2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：≈1.8，≈1.9，≈2.1） 7．已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2． （Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m 的值； （Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值． 参考答案： 1、 选择题： 1．A 2．D 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 9．A 10．C 11．D 12．C 13．C 14．A 15．C　 二、填空题：1．，，， ． 2 y= 3． 1 4．2或－1 5． 6． 7．10元或20元 8．6＋ 9． 或 10． 三、解答题： 1． 2．解：（1）由题意得：， （2）由点P（4，2）在上， ． 一次函数的解析式为． 3．解：（1）由图可知A（－1，－1），B（0，－2），C（1，1） 　　设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c 　　依题意，得　解得 ∴　y＝2x2＋x－2． 　　（2）y＝2x2＋x－2＝2（x＋）2－ 　　∴　顶点坐标为（－，），对称轴为x＝－ 　　（3）图象略，画出正确图象 4．解：（1）函数y=x2+bx-1的图象经过点（3，2） ∴9+3b-1=2，解得b=-2 ． ∴函数解析式为y=x2-2x-1 （2）y=x2-2x-1=(x-1)2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（1，-2） （3）当x=3 时，y=2， 根据图象知，当x≥3时，y≥2 ∴当x>0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3． 5．解：（1）由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件数与每件售价之间的函数关系为： ． （2）当时， ， 解得：； 设门市部每天纯利润为 ①当时， 当时， ②当时， 时，随的增大而减少 时， 时，纯利润最大为5296元． 6． （1）　　　　　　　（2） 解：（1）如图，建立直角坐标系， 　设二次函数解析式为　y＝ax2＋c 　　∵　D（－0.4，0.7），B（0.8，2.2），　∴　　　 　　∴　 　∴绳子最低点到地面的距离为0.2米． 　（2）分别作EG⊥AB于G，FH⊥AB于H， 　AG＝（AB－EF）＝（1.6－0.4）＝0.6． 　　在Rt△AGE中，AE＝2，EG＝＝＝≈1.9． 　∴　2.2－1.9＝0.3（米）．　　　　∴　木板到地面的距离约为0.3米． 7．解： (I)设点Ａ（x1，0），B(x2，0) ， 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根． ∵x1 ＋ x2 ＝m ，　x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2； 又AB＝∣x1 x2∣＝，∴m2－4m＋3=0 ． 解得：m=1或m=3(舍去) ，∴m的值为1 ． （II）设M(a，b)，则N(－a，－b) ． ∵M、N是抛物线上的两点， ( M N C x y O )∴ ①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 ． ∴a2＝－m＋2． ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N． ∴． 这时M、N到y轴的距离均为， 又点C坐标为（0，2－m），而S△M N C = 27 ， ∴2××（2－m）×=27 ． ∴解得m=－7 ． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 中考试题分类汇编--函数综合题 　1.　 如图，已知点A（tanα，0），B（tanβ，0）在x轴正半轴上，点A在点B的左边，α、β 是以线段AB为 斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角． 　　（1）若二次函数y＝－x2－kx＋（2＋2k－k2）的图象经过A、B两点，求它的解析式； 　　（2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由． 　解：（1）∵　α，β是Rt△ABC的两个锐角， 　　∴　tanα·tanβ＝1．tanα＞0，tanβ＞0． 　　由题知tanα，tanβ是方程 　　x2＋kx－（2＋2k－k2）＝0的两个根， 　　∴　tanx·tanβ＝（2＝2k－k2）＝k2－2k－2，∴　k2－2k－2＝1． 　　解得，k＝3或k＝－1． 　　而tanα＋tanβ＝－k＞0， 　　∴　k＜0．∴　k＝3应舍去，k＝－1． 　　故所求二次函数的解析式为y＝－x2＋x－1． 　　（2）不在． 　　过C作CD⊥AB于D． 　　令y＝0，得－x2＋x－1＝0， 　　解得x1＝，x2＝2． 　　∴　A（，0），B（2，0），AB＝． 　　∴　tanα＝，tanβ＝2．设CD＝m．则有CD＝AD·tanα＝AD． 　　∴　AD＝2CD． 　　又CD＝BD·tanβ＝2BD， 　　∴　BD＝CD． 　　∴　2m＋m＝． 　　∴　m＝．∴　AD＝． 　　∴　C（，）． 　　当x＝时，y＝≠ ∴　点C不在（1）中求出的二次函数的图象上． ( A M y x N Q O )2．已知抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式． （2）设抛物线顶点为，与轴交点为．求的值． （3）设抛物线与轴的另一个交点为，求四边形的面积． 解：（1）解方程组 得，． （2）顶点． （3）在中，令得，， 令得或，． 四边形（面积单位） 3．如图9，抛物线y=ax2+8ax+12a与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点在第一象限，满足∠ ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC. (1) 求线段OC的长. (2) 求该抛物线的函数关系式． (3) 在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？ 若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在， 请说明理由. 解：（1）；（2）；（3）4个点： 4．已知函数y=和y=kx+l(k≠O)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值； (2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 解；(1) ∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴∴ (2)将y＝代人y=kx+l，消去y．得kx2+x一2=0． ∵k≠O，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可． ∵△＝1＋8k， ∴1+8k≥0，解得k≥一 ∴k≥一且k≠0． 5．已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。 （1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）； （2）若P，A两点在抛物线y=－ x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上； （3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由. （1）30,（,）; （2）∵点P（,），A（，0）在抛物线上，故 -× +b× +c=,-×3+b× +c=0, ∴b=,c=1. ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1,C点坐标为（0，1）. ∵-×02+×0+1=1， ∴ 点C在此抛物上. 6.如图，二资助函数的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）. （1）求二次函数的关系式. （2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离. 解：（1）∵M（1，－2），N（－1，6）在二次函数y = x2+bx+c的图象上， ∴ 解得 二次函数的关系式为y = x2－4x+1. （2）Rt△ABC中，AB = 3，BC = 5，∴AC = 4， 解得 ∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移个单位. 7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S. （1）求点A的坐标. （2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式. （3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由. （4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________. 解：（1）由 可得 ∴A（4，4）。 （2）点P在y = x上，OP = t， 则点P坐标为 点Q的纵坐标为，并且点Q在上。 ∴， 即点Q坐标为。 。 当时，。 当， 当点P到达A点时，， 当时， 。 （3）有最大值，最大值应在中， 当时，S的最大值为12. （4）. 8．已知一次函数y=+m(O<m≤1)的图象为直线，直线绕原点O旋转180°后得直线，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-，-1)、B(，-1)、C(O，2)． (1)直线AC的解析式为________，直线的解析式为________ (可以含m)； (2)如图，、分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，当m在其范围内变化时，判断四边形EFGH中有哪些量不随m的变化而变化?并简要说明理由； (3)将(2)中四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围； (4)若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=x平移时，判断△ABC介于直线，之间部分的面积是否改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由) 解： (1)y= +2 y=-m (2)不变的量有： ①四边形四个内角度数不变， 理由略； ②梯形EFGH中位线长度不变(或EF+GH不变)，理由略． (3)S= 0<m≤1 0<s≤ (4)沿y=平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面积为，则 0<≤ 9． 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD． (1)求点C的坐标； (2)求直线AD的解析式； (3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)OA=6，OB=12 ， 点C是线段AB的中点，OC=AC. 作CE⊥x轴于点E． ∴ OE=OA=3，CE=OB=6． ∴ 点C的坐标为(3，6). (2)作DF⊥x轴于点F △OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4． ∴ 点D的坐标为(2，4). 设直线AD的解析式为y=kx+b． 把A(6，0)，D(2，4)代人得， 解得， ∴ 直线AD的解析式为y=-x+6 . (3)存在． Q1(-3，3)； Q2(3，-3)； Q3(3，-3) ； Q4(6，6) . 10. 在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动.设运动时间为t(秒). (1)用含t的代数式表示点P的坐标; (2)当t为何值时,△OPQ为直角三角形? (3)在什么条件下,以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式. 解:(1)作PM⊥y轴,PN⊥x轴.∵OA=3,OB=4,∴AB=5. ∵PM∥x轴,∴.∴.∴PM=t. ∵PN∥y轴,∴.∴.∴PN=3-t. ∴点P的坐标为(t,3-t). (2)①当∠POQ=90°时,t=0,△OPQ就是△OAB,为直角三角形. ②当∠OPQ=90°时,△OPN∽△PQN,∴PN2=ON•NQ.(3-t)2=t(4-t-t). 化简,得19t2-34t+15=0.解得t=1或t=. ③当∠OQP=90°时,N、Q重合.∴4-t=t,∴t=. 综上所述,当t=0,t=1,t=,t=时,△OPQ为直角三角形. (3)当t=1或t=时,即∠OPQ=90°时,以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线.当t=1时,点P、Q、O三点的坐标分别为P(,),Q(3,0),O(0,0).设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-0),即y=a(x2-3x).将P(,)代入上式,得a=-.∴y=-(x2-3x). 即y=-x2+x. 说明:若选择t=时,点P、Q、O三点的坐标分别是P(,),Q(,0),O(0,0).求得抛物线的解析式为y=-x2+x,相应给分. 11．已知：抛物线（m>0）与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点. （1）求C点、C′点的坐标（可用含m的代数式表示） ( O y x )（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示） （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长. 12．抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（ A ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（-1，-1） D．（1，-1） 13．如图，△OAB是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF. （1）当A′E//轴时，求点A′和E的坐标； （2）当A′E//轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与轴的交点的坐标； （3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由. 解：（1）由已知可得∠A，OE=60o , A，E=AE 由A′E//轴,得△OA，E是直角三角形， 设A，的坐标为（0，b） AE=A，E=,OE=2b 所以b=1，A，、E的坐标分别是（0，1）与（，1） （2）因为A，、E在抛物线上，所以 所以，函数关系式为 由得 与x轴的两个交点坐标分别是（，0）与（，0） （3）不可能使△A′EF成为直角三角形. ∵∠FA，E=∠FAE=60o,若△A′EF成为直角三角形,只能是∠A，EF=90o或∠A，FE=90o 若∠A，EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A，、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾； 同理若∠A，FE=90o也不可能 所以不能使△A′EF成为直角三角形. 14.已知抛物线y=x²—4x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线. ⑴求平移后的抛物线解析式; ⑵若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,求实数m的取值范围; ⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax²+bx+c(a＞0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -个单位长度，试探索问题⑵． (1)解： 配方，得， 向左平移4个单位，得　 ∴平移后得抛物线的解析式为 (2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3) 解，得　 ∴两抛物线的交点为（0，1） 由图象知，若直线y＝m与两条抛物线有且只有四个交点时， m＞－3且m≠1 （3）由配方得， 向左平移个单位长度得到抛物线的解析式为 ∴两抛物线的顶点坐标分别为， 解　得，　 ∴两抛物线的交点为（0，c） 由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是： m＞且m≠c 15.直线分别与轴、轴交于B、A两点． ⑴求B、A两点的坐标； ⑵把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平 面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD 求D点的坐标． 解：如图（1）令x=0，由 得 y=1 令y=0，由 得 ∴B点的坐标为（，0），A点的坐标为（0，1） （2）由（1）知OB=，OA=1 ∴tan∠OBA== ∴∠OBA=30° ∵△ABC和△ABO关于AB成轴对称 ∴BC=BO=，∠CBA=∠OBA=30° ∴ ∠CBO=60° 过点C作CM⊥x轴于M，则在Rt△BCM中 CM=BC×sin∠CBO=×sin60°= BM=BC×cos∠CBO=×cos60°=∴OM=OB－BM=－= ∴C点坐标为（，） 连结OC ∵OB=CB，∠CBO=60° ∴△BOC为等边三角形 过点C作CE∥x轴，并截取CE=BC则∠BCE=60° 连结BE则△BCE为等边三角形． 作EF⊥x轴于F，则EF= CM=，BF=BM= OF=OB+BF=+= ∴点E坐标为（，） ∴D点的坐标为（0，0）或（，） 16．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示． (1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象； (3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时，y>0． ( (第25题) ) 解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)， 得方程组 解得 ∴抛物线的解析式为 顶点坐标为 (2)所画图如图． (3)由图象可知，当-1<x<4时，y>0． ( (第28题) )17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B(5，0)，M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60°． (1)求直线CB的解析式： (2)求点M的坐标； (3)∠DMC绕点M顺时针旋转α(30°<α<60°)后，得到∠D1MC1(点D1，C1依次与点D，C对应)，射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F，设DE=m，BF=n． 求m与n的函数关系式． 解：(1)过点C作CA⊥OB，垂足为A．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠CBO=60°， 0D=BC=2，∴CA=BC·sin∠CBO=, BA=BC·cos∠CBO=1． ( (第(1)小题) )∴点C的坐标为(4，)． 设直线CB的解析式为y=kx+b，由B(5，0)，C(4，)， 得 解得 ∴直线CB的解析式为y=-x+5． (2)∵∠CBM+∠2+∠3=180°，∠DMC+∠1+∠2=180°，∠CBM=∠DMC=∠DOB=60° ∴∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3． ( (第(2)小题) )∴△ODM∽△BMC． ∴OD·BC=BM·OM． ∵B点为(5，0)，∴OB=5． 设OM=x，则BM=5-x． ∵OD=BC=2，∴2×2=x(5-x)． ( (第(3)小题图①) )解得x1=1，x2=4． ∴M点坐标为(1，0)或(4，0)． (3)(I)当M点坐标为(1，0)时， 如图①，OM=1，BM=4． ∵DC∥OB，∴∠MDE=∠DMO． 又∠DMO=∠MCB,∴∠MDE=∠MCB． ∵∠DME=∠CMF=a,∴△DME∽△CMF. ( (第(3)小题图②) ) ∴CF=2DE． ∵CF=2+n，DE=m， ∴2+n=2m，即m=1+(0<n<4)． (Ⅱ)当M点坐标为(4，0)时，如图②． OM=4,BM=1. 同理可得△DME∽△CMF， ∴DE=2CF. ∵CF=2-n，DE=m，∴m=2(2-n)，即m=4-2n(<n<1)． 18．如图，边长为1的等边三角形OAB的顶点O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，动点D在线段OA上移动(不与O，A重合)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥OB，垂足为F。点M，N，P，Q分别是线段BE，ED，DF，FB的中点。连接MN，NP，PQ，QM。记OD的长为t . (1) 当时，分别求出点D和点E的坐标； (2) 当时，求直线DE的函数表达式； (3)如果记四边形MNPQ的面积为S，那么请写出面积S与变量t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，是否存在s的最大值？若存在，求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由。 19．如图，在中，，点，在直线上运动，设，． （1）如果，，试确定与之间的函数关系式； ( Ｂ Ｃ Ｅ Ａ Ｄ （第22题图） )（2）如果的度数为，的度数为，当满足怎样的关系式时，（1）中与之间的函数关系式还成立，试说明理由． 　解：（1）在中，， 　　， 　　 ． 　　又， 　　． 　　又， 　　． 　　． 　　． 　　即，所以． 　　（2）当满足关系式时，函数关系式仍然成立． 　　此时，． 　　又， 　　． 　　又仍然成立． 　　从而（1）中函数关系式成立． ( Ｎ B A M P C O （第23题图） )20．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标分别为，动点分别从同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于，连结，已知动点运动了秒． （1）点的坐标为（ ， ）（用含的代数式表示）； （2）试求面积的表达式，并求出面积的最大值及相应的值； （3）当为何值时，是一个等腰三角形？简要说明理由． 解：（1）由题意可知，，， 点坐标为． （2）设的面积为，在中，，边上的高为，其中． ． 的最大值为，此时． （3）延长交于，则有． ( Ｎ B A M P C O （第23题图） Ｑ )①若， ． ， ． ②若，则， ． ③若，则． ， 在中，． ，． 综上所述，，或，或． 21. （2006·北京市海淀区）已知抛物线的部分图象如图1所示。 图1 图2 （1）求c的取值范围； （2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式； （3）若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较与的大小.22. 解：（1）根据图象可知 且抛物线与x轴有两个交点 所以一元二次方程有两个不等的实数根。 所以，且 所以 （2）因为抛物线经过点（0，-1） 把代入 得 故所求抛物线的解析式为 （3）因为反比例函数的图象经过抛物线上的点（1，a） 把代入，得 把代入，得 所以 画出的图象如图所示. 观察图象，除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为和 把和分别代入和可知， 和是的两个交点 根据图象可知：当或或时， 当时， 当时， 22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2）. （1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值. （2）若abc＝4，且a≥b≥c，求|a|＋|b|＋|c|的最小值. 解：⑴由题意，a＋b＋c＝2，　∵a＝1，∴b＋c＝1 　　　　　 抛物线顶点为A（－，c－） 设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0 ∴|BC|＝| x1－x2|＝＝＝ ∵△ABC为等边三角形，∴ －c＝ 　　　　 即b2－4c＝2·，∵b2－4c＞0，∴＝2 ∵c＝1－b，　∴b2＋4b－16＝0，　b＝－2±2 所求b值为－2±2 　　　　　　　 ⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾. ∴a＞0． 　　　 ∵b＋c＝2－a，bc＝ ∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋＝0的两实根． ∴△＝（2－a）2－4×≥0，　 ∴a3－4a2＋4a－16≥0, 即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4.　　　 ∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负． ①若a、b、c均大于０，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾；　　 ②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0, 则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，　　　 ∵ a≥4，故2a－2≥6 当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6． 　 ( y x O )23. 已知抛物线与y 轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 y=-x+2 并且线段CM的长为 （1） 求抛物线的解析式。 （2） 设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0）， 且点A在B的左侧，求线段AB的长。 （3） 若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。 （1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线 过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以　　　　 若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M 过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在 所以，，解得，。 ∴所求抛物线为： 或 　 以下同下。 （1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M（x ，y） ∵点M在直线上，∴ 由勾股定理得，∵ ∴=，即 解方程组 得 ∴M（-2，4） 或 M‘ （2，0） 当M（-2，4）时，设抛物线解析式为，∵抛物线过（0，2）点， ∴，∴ 当M‘（2，0）时，设抛物线解析式为 ∵抛物线过（0，2）点，∴，∴ ( N M y O A B D （G） C M ’’’’ )∴所求抛物线为： 或 　 （2）∵抛物线与x轴有两个交点， ∴不合题意，舍去。 ∴抛物线应为： 抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得 （3）∵AB是⊙N的直径，∴r = ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4 设直线与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴ ，作NG⊥CM于G，在= r 即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径，∴直线CM与⊙N相切 24． 已知：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P． (1)求A、B、P三点坐标； (2) 在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零； (3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由. 解：(1)求得A(1，0)，B (3，0)， P (2，1) (2)作图正确 当1＜x＜3时，y>0 ( x O y 1 2 3 4 5 -1 -2 -1 -2 1 2 3 -3 )(3)由题意列方程组得： 转化得：x2-6x+9=0 1. ＝0，∴方程的两根相等， 方程组只有一组解 ∴此抛物线与直线有唯一的公共点 25． 已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C. (1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长； (2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）； (3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式． 解：(1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝ ( y A O B x C D G H )∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠ ，∴△ABO∽△ABC ，∴，由此可求得：AC＝ 方法二：由题意知：tan∠OAB= (2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝--4′ ∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB2＝AO×OD----6′，即 化简得：y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y= 方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。 (3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：，消去y得：x2-4kx-4b=0，则有，由题设知： x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，则16k2-24k -16=0，解之得：k1=2，k2=，当k1=2、b=-1时， △＝16k2+16b=64-16>0，符合题意；当k2=，b=-1时，△＝16k2+16b=4-16<0，不合题意（舍去），∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1 26．如图，已知抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，与y轴交于点C（0， 3），点P是抛物线的顶点，若m-n= -2，m·n =3． （1）求抛物线的表达式及P点的坐标； （2）求△ACP的面积S△ACP． 解： （1）设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，∵抛物线过C（0，3），∴c=3， 又∵抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点， ∴m、n为一元二次方程ax2+bx+3=0的解， ∴m+n=- ，mn=， 由已知m-n= -2，m·n =3，∴解之得a=1，b=-4；m=1，n=3， ∴ 抛物线的表达式为y=x2-4x+3，P点的坐标是（2，1） （2）由（1）知，抛物线的顶点P（2，-1），过P作PD垂直于y轴于点D，所以，S△BCP =S梯形CBPD-S△CPD=S△COB+ S梯形OBPD- S△CPD， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴S△BCP =S△COB+ S梯形OBPD- S△CPD=×3×3+×1×（3+2）-×2×4=3． 27．已知抛物线：（，为常数，且，）的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，，． 注：抛物线的顶点坐标为． （1）请在横线上直接写出抛物线的解析式：________________________； （2）当时，判定的形状，并说明理由； （3）抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 解：（1）． （2）当时，为等腰直角三角形． 理由如下： 如图：点与点关于轴对称，点又在轴上， ． 过点作抛物线的对称轴交轴于，过点作于． 当时，顶点的坐标为，． 又点的坐标为， ．． 从而，． 由对称性知，． 为等腰直角三角形． （3）假设抛物线上存在点，使得四边形为菱形，则． 由（2）知，，． 从而为等边三角形． ． 四边形为菱形，且点在上，点与点关于对称． 与的交点也为点，因此． 点的坐标分别为， ． 在中，． ，． 故抛物线上存在点，使得四边形为菱形，此时． ( A D L B C 10 10 10 图10 )28．如图10（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y. （1）写出y与x的关系式； （2）当x＝2，3.5时，y分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？ （1）y＝2x2 （2）8；24.5 （3）5秒 29、 如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点， （1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式； （2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上； （3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由. 解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k ∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称， ∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4） ∴y=ax2+4 ∴0=4a+4 得 a=-1 ∴l2的解析式为y=-x2+4 (2)设B(x1 ,y1) ∵点B在l1上 ∴B(x1 ,x12-4) ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称 ∴B、D关于O对称 ∴D(-x1 ,-x12+4). 将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4 ∴左边=右边 ∴点D在l2上. (3)设平行四边形ABCD的面积为S,则 S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1| a.当点B在x轴上方时，y1＞0 ∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大， ∴S既无最大值也无最小值 b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0 ∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小， ∴当y1 =-4时，S由最大值16，但他没有最小值 此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.9分 ∴AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形 此时S最大=16. 30.已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A, B两个不同的点． (l）试判断哪个二次函数的图象经过A, B两点； (2）若A点坐标为（-1, 0)，试求B点坐标； (3）在（2）的条件下，对于经过A, B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？ 解：(l）对于关于x的二次函数y = 由于△＝(-m ) 2-4×l×=-m2-2<0, 所以此函数的图象与x轴没有交点 对于关于x的二次函数 y =. 由于△＝(-m ) 2-4 ×l×=-m2-2<0, 所以此函数的图象与x轴没有交点 对于关于x的二次函数 由于 所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点. 故图象经过A、B两点的二次函数为 (2 )将A(-1,0)代入，得=0. 整理，得m2-2m = 0 . 解之，得m=0，或m = 2． 当m =0时，y＝x2-1．令y = 0，得x2-1 = 0. 解这个方程，得x1=-1，x2=1 此时，B点的坐标是B (l, 0)． 当m=2时，y=x2-2x-3.令y=0，得x2-2x-3=0. 解这个方程，得x1=-1，x2=3 此时，B点的坐标是B（3，0）. (3) 当m =0时，二次函数为y＝x2-1，此函数的图象开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值 y 随：的增大而减小． 当m=2时，二次函数为y = x2-2 x-3 = (x-1)2-4, 此函数的图象开口向上，对称轴为x = l，所以当x < l 时，函数值y随x的增大而减小. 31．如图1，已知直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标； （2）求线段的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． ( P A 图2 图1 ) 解：（1）解：依题意得解之得 ( 图1 D M A C B 第26题 Ｅ )（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1） 由（1）可知： 过作轴，为垂足 由，得：， 同理： 设的解析式为 的垂直平分线的解析式为：． （3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）． ( P A 图2 第26题 H G B ) 抛物线与直线只有一个交点， ， 在直线中， 设到的距离为， 到的距离等于到的距离． 32.已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点A()、B(). (1) 求这个抛物线的解析式； (2) 设（1）中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线的顶点坐标为（） (3) ( D B A O C ¡ü ¡ú )P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标. 解：（1）解方程得 由，有 所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）. 将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入. 得解这个方程组，得 所以，抛物线的解析式为 （2）由，令，得 解这个方程，得 所以C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）. 过D作轴的垂线交轴于M. 则 ， 所以，. （3）设P点的坐标为（） 因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为. 那么，PH与直线BC的交点坐标为， PH与抛物线的交点坐标为. 由题意，得①，即 解这个方程，得或（舍去） ②，即 解这个方程，得或（舍去） P点的坐标为或. 33．已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点． （1）求一次函数与二次函数的解析式； （2）判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明； （3）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？ 解：（1）把代入得， 一次函数的解析式为； 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴， 设二次函数解析式为， 把代入得， 二次函数解析式为． （2）由 解得或， ， 过点分别作直线的垂线，垂足为， 则， 直角梯形的中位线长为， 过作垂直于直线于点，则，， ， 的长等于中点到直线的距离的2倍， 以为直径的圆与直线相切． （3）平移后二次函数解析式为， 令，得，，， 过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点， 要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离， 此时，半径为2，面积为， 设圆心为中点为，连，则， 在三角形中，， ，而，， 当时，过三点的圆面积最小，最小面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$