专题05 二次根式章末易错必刷题型专训（52题13个考点）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

专题05 二次根式章末易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 二次根式的相关概念】 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2025八年级·上海长宁·专题练习）二次根式思维导图 4．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间． (1)把这个公式变形成用h表示t的公式； (2)一个物体从64米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒？ 【易错必刷二 二次根式有意义的条件】 5．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）等式成立的条件是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若有意义，则能取的最小整数是 ． 7．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)． (2)． 8．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）已知x．y满足，求的平方根和立方根． 【易错必刷三 二次根式的化简】 9．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若，那么（　　） A． B． C． D．a为一切正实数 10．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知，化简二次根式的正确结果是 ． 11．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： (1) (2) 【易错必刷四 复合二次根式的化简】 13．（24-25八年级上·上海静安·期中）化简﹣（）2得（    ） A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2 14．（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）化简： ． 15．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： （1） （2） 16．（24-25八年级上·上海静安·期中）观察下面的解法：为求的值，可设， 显然则． 仿照上面的解法，求的值． 【易错必刷五 二次根式的混合运算】 17．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）当一个长方形的窗户的宽与高的比等于时，那么看上去就比较美观，若它的高为，则它的宽为（   ）． A． B． C． D． 18．（2025·上海闵行·模拟预测）计算 ． 19．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算：． 20．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算： (1)； (2)． 【易错必刷六 最简二次根式】 21．（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 23．（2025八年级上·上海松江·专题练习）化简： (1) (2) (3) (4)． 24．（24-25八年级上·上海·阶段练习）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【易错必刷七 同类二次根式】 25．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 26．（24-25八年级上·上海长宁·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 27．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知与最简二次根式是同类二次根式，求a的值． 28．（24-25八年级上·上海·阶段练习）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 【易错必刷八 分母有理化】 29．（2025·上海宝山·模拟预测） =（    ） A．9 B． C． D． 30．（24-25八年级上·上海·阶段练习）写出的一个有理化因式 ． 31．（2025·上海崇明·模拟预测）先化简，再求值其中． 32．（24-25八年级上·上海普陀·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： (1)； (2)． 【易错必刷九 已知字母的值，化简求值】 33．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）设，则代数式的值为（　　） A．6 B．4 C． D． 34．（24-25八年级上·上海闵行·期末）若，则代数式的值为 ． 35．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 36．（24-25八年级上·上海青浦·期末）已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【易错必刷十 已知条件式，化简求值】 37．（24-25八年级·上海长宁·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，那么的值是 ． 39．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）已知，求的值． 40．（2025·上海松江·模拟预测）已知，求代数式的值． 【易错必刷十一 比较二次根式的大小】 41．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）的结果应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 42．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）比较大小： （填“”、“=”、“”）． 43．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）比较与的大小． 44．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）规定一种新的运算，如，请比较与的大小． 【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】 45．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 46．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是 ． 47．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果与都是最简二次根式，且它们是同类二次根式，求正整数，的值． 48．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【易错必刷十三 二次根式的应用】 49．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和16，则图中阴影部分的面积和为 ． 51．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知矩形的长，宽． (1)求该矩形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长． 52．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次根式章末易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 二次根式的相关概念】 1．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据二次根式的定义：一般地，形如的式子为二次根式解决此题．熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键． 【详解】解：A．根据二次根式的定义，的被开方数是负数，不是二次根式，故A不符合题意． B．是二次根式，故B符合题意． C．的被开方数是负数，不是二次根式，故C不符合题意． D．是三次根式，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式． ②：被开方数，无意义，不是二次根式． ③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． ④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式． ⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式． ⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式． 综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个， 故选B． 3．（2025八年级·上海长宁·专题练习）二次根式思维导图 【答案】见解析 【分析】二次根式的概念，性质，乘除法运算，加减法运算及运用，由此即可求解． 【详解】 【点睛】本题主要考查二次根式，理解并掌握二次根式的概念，性质，乘除、加减、混合运算法则是解题的关键． 4．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间． (1)把这个公式变形成用h表示t的公式； (2)一个物体从64米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒？ 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）先求出，再开方即可； （2）将代入，即可求出物体落到地面所用的时间． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：当时， 则 （秒）， 答：落到地面需秒． 【易错必刷二 二次根式有意义的条件】 5．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）等式成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握被开方数具有非负性是解题的关键．首先根据二次根式的性质，列出符合题目的条件，求解即可． 【详解】解：∵等式成立， ∴， 解得， 故选：C． 6．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若有意义，则能取的最小整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列出不等式解答即可，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：若有意义，则， ∴能取的最小整数是7， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海长宁·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)． (2)． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了零次幂的性质，二次根式有意义的条件； （1）根据二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可； （2）根据零次幂的性质，二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：； （2）由题意，得， 解得：且． 8．（24-25八年级上·上海长宁·单元测试）已知x．y满足，求的平方根和立方根． 【答案】平方根为，立方根为 【分析】本题考查二次根式的性质、分式的意义、平方根及立方根的定义，二次根式的性质 (二次根式的双重非负性)． 首先根据分式的分母不为0及二次根式的性质求出x、y的值，再代值计算即可． 【详解】解：依题意，得：， 即； 由得， 由得， 综上知；， 故 平方根为，立方根为． 【易错必刷三 二次根式的化简】 9．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）若，那么（　　） A． B． C． D．a为一切正实数 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质，列出不等式进行求解即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知，化简二次根式的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：由中被开方数总要大于等于0可知， ∵分母， ∴分子，则， 又，则， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质与运算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质与运算法则化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）先利用二次根式的性质与运算法则化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【详解】（1） ， ， ； （2） ， ． 12．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷四 复合二次根式的化简】 13．（24-25八年级上·上海静安·期中）化简﹣（）2得（    ） A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求解可得答案. 【详解】解:1-3x≥0,x≤,2x-1≤＜0, 原式=-(1-3x)=1-2x-1+3x=x, 故选C. 【点睛】主要考查了根据二次根式的意义及化简.二次根式规律总结:当a＞0时, =a;当a<0时, =-a.二次根式=a,(a≥0). 14．（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，二次根式的混合运算，先把二次根式下的形式变成完全平方形式，然后再开平方，最后进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 15．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先化简得到，再去括号变形得到，计算即可得到答案. （2）先进行二次根式的除法和乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【详解】（1） = = = （2） 【点睛】本题考查二次根式的化简和二次根式的混合运算，解题的关键是先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 16．（24-25八年级上·上海静安·期中）观察下面的解法：为求的值，可设， 显然则． 仿照上面的解法，求的值． 【答案】 【分析】先求出()2的值，再根据与()2的关系即可求出答案. 【详解】解：可设x= 显然则 x2=()2 = = =6, ∵x＞0, ∴=. 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是找出规律再进行计算，要注意结果的符号. 【易错必刷五 二次根式的混合运算】 17．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）当一个长方形的窗户的宽与高的比等于时，那么看上去就比较美观，若它的高为，则它的宽为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ； 故选：D． 18．（2025·上海闵行·模拟预测）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算．先算乘法，再算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算二次根式的乘法和化简二次根式，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式． 20．（24-25八年级上·上海崇明·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接化简二次根式，再合并得出答案； （2）先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行除法运算后化简，进而得出答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷六 最简二次根式】 21．（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．根据最简二次根式的定义，即可判断答案． 【详解】A、是最简二次根式，所以选项A符合题意； B、因为，所以不是最简二次根式，所以选项B不符合题意； C、因为，所以不是最简二次根式，所以选项C不符合题意； D、因为，所以不是最简二次根式，所以选项D不符合题意． 故选：A． 22．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并，得 ． 解得， 故答案为：． 23．（2025八年级上·上海松江·专题练习）化简： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)156 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法计算，即可求解； （2）根据二次根式的性质化简，即可求解； （3）化成最简二次根式即可求解； （4）化成最简二次根式即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简方法与运用，熟练掌握时，；时，；时，是解题的关键． 24．（24-25八年级上·上海·阶段练习）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 【易错必刷七 同类二次根式】 25．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）若与可以合并成一项，则的值可能是（    ） A．50 B．15 C．0.5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，先把每个选项中的m的值代入，根据二次根式的性质进行化简，如果和是同类二次根式就可以合并，否则不能合并． 【详解】解：A、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、当时，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、当时，，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； D、当时，，与是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意； 故选：D． 26．（24-25八年级上·上海长宁·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式，根据同类二次根式的定义解答即可．熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：． 27．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知与最简二次根式是同类二次根式，求a的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 28．（24-25八年级上·上海·阶段练习）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 【答案】(1)不是； (2)不是． 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． （1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． （2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：； ． ∴和不是同类二次根式； （2）解：； ． ∴和不是同类二次根式． 【易错必刷八 分母有理化】 29．（2025·上海宝山·模拟预测） =（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的运算，先进行分母有理化，再进行二次根式的混合运算即可求出答案． 【详解】解：原式 故选：C． 30．（24-25八年级上·上海·阶段练习）写出的一个有理化因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键； 有理化因式即为与之乘积为有理式的因式，根据定义求解即可． 【详解】解：， ∴的一个有理化因式是， 故答案为：． 31．（2025·上海崇明·模拟预测）先化简，再求值其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．先计算括号内的分式的减法，再将除法转化为乘法，然后利用分式的乘法运算法则化简原式，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 32．（24-25八年级上·上海普陀·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；． 这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可； （2）把原式的分子分母同时乘以，再计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解； ． 【易错必刷九 已知字母的值，化简求值】 33．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）设，则代数式的值为（　　） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先利用已知条件得a＋2＝ ，两边平方后得到＋4a＝1，再把＋4−a＋6变形为a（＋4a）−a＋6，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a＝−2， ∴，即＋4a＝1， ∴＋4−a＋6＝a（＋4a）−a＋6 ＝a×1−a＋6 ＝6． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 34．（24-25八年级上·上海闵行·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则求出，根据减法法则求出，把原式利用提公因式法因式分解，代入计算即可． 【详解】解：， ，， 则 ， 故答案为：1 35．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，再约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 36．（24-25八年级上·上海青浦·期末）已知：，． (1)求和的值； (2)求式子的值． 【答案】(1)， (2)24 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴ ． 【易错必刷十 已知条件式，化简求值】 37．（24-25八年级·上海长宁·课后作业）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过完全平方公式将转化成的形式，此题得解. 【详解】由二次根式的定义可知 等式两边同时平方 , 故选D. 【点睛】本题考查了二次跟式的求值，通过完全平方公式将已知与所求联系起来是解题的关键. 38．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴x、y同号， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为：． 39．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）已知，求的值． 【答案】16 【详解】解析：因为二次根式、平方数与绝对值均为非负数，根据几个非负数的和为零，得它们分别为零可求出x，y，z的值，代入代数式求值即可． 答案：解：∵，，，且， ∴解得 ∴． 易错：解：根据几个非负数的和为零，则它们分别为零可得，∴． 错因：虽然了解若几个非负数的和为零，则它们分别为零，但整体思想不到位． 满分备考：到目前为止，我们已学习三个非负数：绝对值、平方数与二次根式，它们有独特性质，即若几个非负数的和为零，则它们分别为零，常利用此性质解题． 40．（2025·上海松江·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】解：原式= ， 当时，原式=． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【易错必刷十一 比较二次根式的大小】 41．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）的结果应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可． 【详解】解：原式= ∵ ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范围是解决本题的关键． 42．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）比较大小： （填“”、“=”、“”）． 【答案】 【分析】根据，结合，得到，解答即可． 本题考查了二次根式的大小比较，比较被开方数的大小是解题的关键． 【详解】解：根据，又，故， 故答案为：． 43．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）比较与的大小． 【答案】 【分析】观察得代数式的被开方数的差相等，先将代数式转变为分式的形式，比较分式的大小即可求解． 【详解】解：∵， ， 且， ∴． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，解题的关键是借助被开方数的差相等，将代数式转化为分式的形式进行比较． 44．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）规定一种新的运算，如，请比较与的大小． 【答案】 【分析】根据新定义可得：，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义的含义是解题的关键． 【易错必刷十二 已知最简二次根式求参数】 45．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先化简，然后依据是正整数可得到问题的答案． 【详解】解：， ∵是正整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是． 故选：D. 【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 46．（24-25八年级上·上海静安·期中）已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是 ． 【答案】3 【分析】由为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，再将12分解质因数，从而得出结果． 【详解】解：为正整数，也是正整数， 则是一个完全平方数， 又∵， ∴是一个完全平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握如果是正整数，那么是一个完全平方数． 47．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果与都是最简二次根式，且它们是同类二次根式，求正整数，的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出方程组求解即可． 【详解】解：∵与都是最简二次根式 方程组整理为： ： ∴ 把代入（1），得： ∴ 【点睛】本题考查了解方程组的问题，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义、加减消元法是解题的关键． 48．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：． 【易错必刷十三 二次根式的应用】 49．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键． 先设设原长方形纸片的长为，结合老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，列式计算，算出原长方形纸片的长，进而求出原长方形纸片的宽，再列式计算即可得出答案． 【详解】解：依题意，设原长方形纸片的长为， ∵老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片， ∴ ∴（负值已舍去） ∴ ∴原长方形纸片的宽为： ∴原长方形纸片的面积为： 故选：C． 50．（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和16，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 大正方形的边长为4，小正方形的边长为2， 图中阴影部分的面积为：， 故答案为：4． 51．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知矩形的长，宽． (1)求该矩形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用： （1）根据周长公式列式，利用二次根式的性质先化简再求和； （2）先通过二次根式的乘法计算出矩形的面积，进而根据面积相等求出正方形的边长． 【详解】（1）解：长方形的周长． （2）解：长方形的面积， 根据面积相等，则正方形的边长． 52．（2025八年级上·上海长宁·专题练习）观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式： ． (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律； 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个式子是：n； 证明如下： ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$